Проект "Признаки делимости"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №5 ГОРОДА СЫЗРАНИ ГОРОДСКОГО ОКРУГА СЫЗРАНЬ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

              Признаки делимости

Работу выполнила:

Григорьева Наталья

ученица 6 «Б» класса  

Научный руководитель:

Паравина Алина Сергеевна,

учитель математики

г. Сызрань

2016

                                           ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение                                                                        3

Основная часть                                                                 4

1.Исторические сведения                                                        4

2.Признаки делимости                                                        4

2.1.Основные признаки делимости                                        4

2.2.Дополнительные признаки делимости                                5

2.3 Курьёз делимости                                                        9

3.Применение                                                                10

3.1.Разложение на простые множители                                        10

3.2.Нахождение НОК и НОД                                                 10

3.3.Сокращение дробей                                                        10

3.4.Сравнение дробей                                                         11

3.5.Сложение и вычитание дробей                                        11

3.6.Решение задач                                                                12

3.7.Практическая часть                                                        13

3.8.Шпаргалка                                                                17

Заключение                                                                18

Список литературы                                                        19

                                    ВВЕДЕНИЕ

.

В данной работе рассматриваются признаки делимости. Эта тема выбрана, потому что именно с помощью признаков делимости  легко можно ответить на вопрос «Делится ли нацело число на…?». Также признаки делимости помогают без проблем находить НОК (Наименьшее Общее Кратное) и НОД (Наибольший Общий Делитель), а это не менее важно.

 Цель моей работы: доказать, что признаки делимости – это важное и существенное понятие в математике, значительно облегчающее процесс оценки и расчетов.  

         Задачи:                                        

• Ознакомиться с дополнительными признаками делимости
• Узнать об истории возникновения признаков
• Рассмотреть практическое применение признаков делимости в математике

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Исторические сведения

 Основатель метода, позволяющего получить признак делимости на любое число, Блез Паскаль (1623-1662), родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623 года. Он был французским религиозным мыслителем, математиком и физиком, одним из величайших умов 17 столетия.

2. Признаки делимости

Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление.

2.1.Основные признаки делимости.

В математике существует пять основных признаков делимости. Это признаки делимости на: 2, 3, 5, 9 и на 10.

Признак делимости на 2 

Число делится на 2, если число оканчивается чётной цифрой или нулём.

Например: Число 248 будет делиться на 2, так как в конце этого числа стоит чётная цифра 8.

Число не разделится на 2, если число оканчивается на нечётную цифру.

Например: Число 235 не разделится на 2, так как на конце этого числа стоит нечётная цифра.

Признак делимости на 3

                                                                                                                                                                                                                                                                                                       Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3.

Например: Число 342 (3 + 4 + 2 = 9) будет делиться на 3, так как сумма его цифр равна 9, а число 9 делится на 3.

Число не делится на 3, если сумма цифр числа не делится на 3.

Например: Число 526 (5 + 2 + 6 = 13) не разделится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 13, а 13 не делится на 3.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если последняя цифра числа 0 или 5.

Например: Число 675 будет делиться на 5, так как на конце этого числа стоит цифра 5.

Число не делится на 5, если на конце не стоит ни 0, ни 5. 

Например: Число 456 не разделится на 5, так как на конце этого числа не стоит ни 5, ни 0.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9.

Например: Число 963 (9 + 6 + 3 = 18) будет делиться на 9, так как сумма цифр этого числа равна 18, а число 18 делится на 9.

Число не разделится на 9, если сумма цифр числа не делится на 9.

Например: Число 735 (7 + 3 + 5 = 15) не разделится на 9, так как сумма цифр этого числа равна 15, а число 15 не делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10, если последняя цифра числа нуль.

Например: Число 840 будет делиться па 10, так как это число оканчивается на нуль.

Число не делится на 10, если последняя цифра числа не является нулём.

Например: Число 123 не делится на 10, так как это число не оканчивается на нуль.

Эти признаки делимости проходят по школьной программе. Дальше я рассмотрю дополнительные признаки делимости. 

2.2. Дополнительные признаки делимости

В своей работе я поставила себе задачу ознакомиться с дополнительными признаками делимости. Здесь я перечислю те признаки делимости, которые я узнала дополнительно.

Признак делимости на 4

Число делится на 4, если две последние цифры числа нули или образуют число, которое делится на 4.

Например: Число 328 будет делиться 4, так как две последние цифры этого числа образуют число 28, которое разделится на 4.

Число не разделится на 4, если две последние цифры этого числа не образуют число, которое делится на 4 или на конце его не стоит два нуля.

Например: Число 567 не разделится на 4, так как две последние цифры этого числа – 67, они образуют число, которое не разделится на 4.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится и на 2 и на 3.

Например: Число 642 (6 + 4 + 2 = 12) будет делиться на 6, так как сумма цифр этого числа делится на 3, и оно оканчивается на чётную цифру.

Число не делится на 6, если оно не делится ни на 2, ни на 3(только на 2, только на 3).

Например: Число 749 (7 + 4 + 9 = 20) не разделится на 6, так как сумма цифр этого числа равна 20, а 20 не делится на 3, и так как это число оканчивается на нечётную цифру (следовательно, не делится на 2).

Признак делимости на 7

Число делится на 7, если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7.

Например: Число 707 будет делиться на 7, так как число десятков этого числа равно 70, а удвоенное число единиц 14. В разности этих чисел (70 – 14 = 56) получается число, которое делится на 7.

Число не разделится на 7, если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц не будет делиться на 7.

Например: Число 892 не разделится на 7, так как число десятков этого числа 89, а удвоенное число единиц равно 4. В разности этих чисел (89 – 4 = 85) получается число, которое не разделится на 7.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если три последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 8.

Например: Число 1848 будет делиться на 8, так как три последние цифры данного числа  образуют число – 848, которое  разделятся на 8.

Число не разделится на 8, если три последние цифры этого числа не образуют число, которое делится на 8 или на конце его не стоит три нуля.

Например: Число 2679 не разделится на 4, так как три последние цифры этого числа - 679, а 679 не делится на 8.

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если разность между суммой цифр числа, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр стоящих на чётных местах, делится на 11.

Например: Число 1925 будет делиться на 11, так как разность между суммой цифр числа, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр стоящих на чётных местах (9 + 5) – (1 + 2) =  =11), 11 делится на 11.

Число не разделится 11, если разность между суммой цифр числа, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр числа стоящих на чётных местах, не разделится на 11.

Например: Число 6817 не разделится на 11, так как разность между суммой цифр числа, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр стоящих на чётных местах (8 + 7) – (6+1) = 8, 8 не разделится на 11.

Признак делимости на 12

Число делится на 12, если число делится и на 4 и на 3.

Например: Число 2028 (2 + 0 + 2 + 8) делится на 12, так как сумма цифр этого числа делится на 3, и две последние цифры этого числа  - 28, 28 делится на 4.

Число не разделится на 12, если число не делится ни на 4, ни на 3 (только на 3, только на 4).

Например: Число 5897 (5 + 8 +  9 + 7 = 29) не разделится на 12, так как сумма цифр этого числа не делится на 3, а две последние цифры этого числа  - 97, 97 не делится на 4.

Признак делимости на 13

Число делится на 13, если число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, делится на 13.

Например: Число 845 (84 + (4 × 5) = 104) будет делиться на 13, так как число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, делится на 13.

Число не разделится на 13, если число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, не делится на 13.

Например: Число 678 (67 + (8 × 4) = 99)не разделится на 13, так как число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, не делится на 13.

Признак делимости на 14

Число делится на 14, если число делится и на 2 и на 7.

Например: Число 784 будет делиться на 14, так как разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц (78 – (4×2) = 70) делится на 7, и на конце этого числа стоит чётная цифра.

Число не разделится на 14, если число не делится ни на 2, ни на 7 (только на 2, только на 7).

Например: Число 563 не разделится на 14, так как разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц (56 – (3×2) = 50)не делится на 7, и на конце этого числа стоит нечётная цифра.

Признак делимости на 15

Число делится на 15, если число делится и на 3 и на 5.

Например: Число 315 (3 + 1 + 5 = 9) будет делиться на 15, так как сумма цифр этого числа делится на 3, и оно оканчивается цифрой 5.

Число не разделится на 15, если число не делится ни на 3, ни на 5 (только на 3, только на 5).

Например: Число 677 (6 + 7 + 7 = 20) не разделится на 15, так как сумма цифр этого числа не делится на 3, и это число не оканчивается ни цифрой 5, ни цифрой 0.

Признак делимости на 19

Число делится на 19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например: Число 646 (64 + (6×2) = 76) будет делиться на 19, так как число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Число не разделится на 19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, не делится на 19.

Например: Число 789 (78 + (9×2) = 96) не разделится на 19, так как число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, не делится на 19.

Признак делимости на 23

Число делится на 23, если число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, делится на 23.Например: Число 28842 будет делиться на 23, так как число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков (288 + (3×42) = 414 продолжаем 4 + (3×14) = 46) делится на 23.

Число не разделится на 23, если число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, не делится на 23.

Например: Число 34567 не разделится на 23, так как число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков (345 + (3×67) = 546  продолжаем 5 + (3×46) = 143) не делится на 23. 

            Признак делимости на 25

Число делится на 25, если две последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 25.

Например: Число 675 будет делиться на 25, так как две последние цифры этого числа  - 75, 75 делится на 25.

Число не разделится на 25, если две последние цифры образуют число, которое не делится на 25.

Например: Число 987 не разделится на 25, так как две последние цифры этого числа – 87, 87 не делится на 25.

Признак делимости на 99

Разобьём число на группы по две цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99, если само число делится на 99.

Например: Число 80909037 будет делиться на 99, так как 80 + 90 + 90 + 37 = 297 разделится на 99.

Признак делимости на101

Разобьём число на группы по две цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101, если само число делится на 101.

Например: Число 590547 будет делиться на 101, так как 59 – 05 + 47 = 101 делится на 101.

2.3 Курьёз делимости

2 438 195 760                3 785 942 160

4 753 869 120                4 876 391 520

Эти четыре десятизначных числа содержат все цифры от 0 до 9 и каждое из этих чисел делится на 2,3,4,5,6,7,8,9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

3. ПРИМЕНЕНИЕ

                   3.1.Разложение на простые множители.

      Разложение на простые множители - одна из операций, где используются признаки делимости. Если мы знаем признаки делимости на такие числа как: на 2, на 3, на 7, на 11, на 13 и т. д., то раскладывать числа на простые множители значительно легче.

Например: Разложение на простые множители числа 600

Здесь я использую признаки делимости на 2, на 3 и на 5.        

                              3.2.Нахождение НОК и НОД

 Признаки делимости также помогают в нахождение Наименьшего Общего Кратного (НОК) и Наибольшего Общего Делителя (НОД).

   Я знаю, что один из способов нахождения НОК (также как и НОД) – это разложение чисел на простые множители (об этом в предыдущем пункте), поэтому на НОК я подробно останавливаться не буду.

    НОД также можно быстро найти с помощью признаков делимости.

Например: НОД(36;12) = 12. Применяются  признаки делимости: на 2, на 3, на 4, на 6, на 9, на 12.  

                                  3.3.Сокращение дробей

  Сокращение дробей связано с нахождением НОД (об этом в предыдущем пункте) Следовательно, это понятие также связано с признаками делимости.

Например: Сокращаем дробь , НОД(28,35) = 7, получается такая запись: .

                                      3.4.Сравнение дробей

Сравнение дробей также связано с признаками делимости. В сравнении дробей мне помогает НОК.

Например: сравниваем дроби и. Находим НОК знаменателей:

 Получается запись:

                          3.5.Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание дробей связано с признаками делимости по тому же принципу, что и сравнение дробей. Поэтому подробно эти операции я рассматривать не буду. (Сейчас я приведу только пример)

Например: складываем дроби и . Для этого необходимо найти НОК знаменателей (НОК(36;24) = 72 (см. «Сравнение дробей»)) Получается запись:

                                    3.6. Решение задач

 С помощью признаков делимости можно решать различные математические задачи.

В работе я решила рассмотреть задачи на нахождение НОК и НОД.(см. «Нахождение НОК и НОД).

На нахождение НОД:

Условие: Для новогодних подарков приготовили 184 мандарина и 138 яблок.

Вопрос: В какое наибольшее число подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки, так чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок?

Ответ: 46 подарков, т.к. НОД (184;138) = 46.

На нахождение НОК:

Условие: Мальчик хочет купить несколько пачек мороженого по 8 руб., но у него только 5-рублёвые монетки, а у продавца нет сдачи.

Вопрос: Какое наименьшее число пачек мороженого он может купить?

Ответ: 5 пачек, т.к. НОК (8;5) = 40.

                                    3.7. Практическая часть

Задача 1.

Если из задуманного трехзначного числа вычесть 7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть 8, то полученная разность разделится на 8; если вычесть 9, то полученная разность разделится на 9. Какое наименьшее из возможных чисел задумано?

Решение:

Задуманное число делится на 7, 8, 9. Наименьшим числом, делящимся на 7, 8 и 9, есть число 7*8*9 = 504.

Ответ: 504.

Задача 2.

В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их десятками, то не хватило трех тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?

Решение:

Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это значит, что, как и при счете дюжинами, оставалось 7 тарелок. Значит, число тарелок без делится без остатка на 10 и на 12, то есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только одно число 540 делится на 60. Значит, тарелок было 540 + 7 = 547.

Ответ: 547 тарелок.

Задача 3.

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 72, в записи которого встречаются все цифры от 1 до 9.

Решение:

Искомое число должно делиться на 72, а значит, на 9 и на 8; 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, которое делится на 9. Для того, чтобы число делилось на 8, оно должно оканчиваться такими тремя цифрами, которые образуют трехзначное число, делящееся на 8. Учитывая все это, цифры необходимо расставить так, чтобы наименьшие стояли левее. Таким число является 123457968.

Ответ: наименьшее число 123457968.

Задача 4.

Маугли попросил своих друзей – обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали поровну орехов и понесли Маугли. Но по дороге поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате Маугли достались лишь 35 орехов. По сколько орехов обезьяны собрали, если известно, что каждая из них принесла больше одного ореха?

Решение:

Так как обезьяны собрали орехов поровну и поровну бросили, то и принесли они поровну. Число 35 делится на 5, поэтому имеем 5*7 = 35.

Возможны два варианта:

1. Обезьян было 5, принесли по 7 орехов, бросили по 4 ореха, значит, каждая собрала 7 + 4 = 11.
2. Обезьян было 7, принесли по 5 орехов, бросили по 6 орехов, значит, каждая собрала 5 + 6 = 11.

Задача 5.

Готовясь к занятию кружка, ребята нашли такие 2 натуральных последовательных числа, наименьшие из возможных, что сумма цифр каждого из них делится на 17. Какие числа нашли ребята?

Решение:

Наименьшее число, отличное от нуля, делящееся на 17, есть число 17, следующее за ним 34. Нас это не удовлетворят. Чтобы число было наименьшим, оно должно быть возможно меньшей значимости, а значит, цифры в его записи наибольшими из возможных. Рассмотрим число 8899. Сумма его цифр 8 + 8 + 9 + 9 =34 (делится на 17). Следующее за ним число 8900 имеет сумму цифр 8 + 9 = 17, тоже делится на 17, что удовлетворяет условию.

Ответ: 8899 и 8900.

Задача 6.

Сколько всего натуральных чисел, не превышающих 500 и не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

Решение:

Посчитаем количество чисел, делящихся на 2 (500 : 2 = 250). На 3 делится 166 чисел (500 : 3 = 166 (ост. 2)). При этом дважды учтены числа, делящиеся на 2и на 3, то есть на 6.  Таких чисел 83 ( 500 : 6 = 83 (ост. 2). Следовательно, чисел, делящихся на 2 и на 3, 250 + 166 – 83 = 333. На 5 делится 100 чисел (500 : 6 = 100). При этом учтены числа, делящиеся на 5 и на 2, то есть на 10. Таких чисел 50 (500 : 10 = 50). Так как они вошли в число чисел, делящихся на 2, то здесь их надо исключить: 100 – 50 = 50. Среди этих чисел учтены в числе тех, которые делятся на 3, здесь их нужно исключить:  50 – 33 = 17. Исключая числа, делящиеся на 2 и на 5, а также на 3 и на 5, дважды исключили числа, делящиеся на 2, на 3 и на 5, то есть на 30. Таких чисел 16. Следовательно, 333 + 17 + 16 = 366, а значит, чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3, ни на 5, будет 500 – 366 = 134.

Ответ: 134 числа.

        Но признаки делимости можно применять не только при решении логических задач, но и для развлечений.

1. Угадай задуманное число.

Предложи задумать какое-либо трехзначное число и приписать к нему точно такое же число. Получившееся шестизначное число попроси умножить на 2, результат разделить сначала на 7, затем что получится на 11 и, наконец, на 13. После этого спроси, какой получился ответ, и ты немедленно назовешь задуманное число, разделив на 2.

2. Делимость на 11.

Предложи написать любое многозначное число. К этому числу ты можешь быстро приписать справа или слева одну цифру так, что получившиеся число разделится на 11.

3. Угадай задуманное число.

Если кто задумает двузначное число, то ты скажи ему, чтобы он увеличил число десятков задуманного числа в 2 раза, к произведению прибавил бы 5 единиц, полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил сумму 10 единиц и числа задуманного, а результат произведенных сообщил бы тебе. Если ты из указанного тебе результата вычтешь 35, то получишь задуманное число. Математика Л. Магницкого.

4. Старинный фокус.

Возьми 24 спички и три различных предмета. Позови три участника. Первый зритель получает одну спичку, второй – две, третий – три. Ты поворачиваешься к ним спиной и просишь взять каждого по вещице из лежащих на столе. Предложи теперь зрителю, держащему предмет взять ровно столько спичек из числа оставшихся в кучке, сколько у него на руках. Зритель, взявший второй предмет, пусть возьмет дважды столько спичек, сколько у него на руках. Последнему зрителю, взявшему третий предмет, предложи взять четырежды столько спичек, сколько у него на руках. После этого пусть все три зрителя положат свои предметы в карманы.

Обернувшись к зрителям и взглянув на оставшиеся спички, сразу говоришь, какой предмет он взял.

5.  Фокус «Зачеркнутая цифра»

Фокусник (ведущий) вызывает любого ученика и предлагает ему записать на доске любое четырехзначное число (сам фокусник в это время стоит к доске спиной). Далее предлагается поменять местами цифры в этом числе в любом порядке.

Например: 6819

                    9861

Далее нужно от большего числа отнять меньшее

9861-6819=3042

Последнее задание – зачеркнуть в полученной разности любую цифру кроме 0 (например, 4).

Оставшиеся три цифры ученик записывает на открытую часть доски.

Например: 3, 0, 2

Фокусник разворачивается и сразу говорит, что зачеркнута цифра 4

Секрет фокуса заключается в знании признака делимости на 9

3.8. Шпаргалка

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Признаки делимости  - это важное и существенное правило в математике, значительно облегчающее процесс математической оценки и расчетов.  

Данная работа помогает понять, как грамотно использовать признаки делимости в математике, как основные, так и дополнительные, при разложении на простые множители, нахождении НОК и НОД, сокращении дробей, сравнении дробей, сложении и вычитании дробей, решении задач.

Список литературы

1. Акимова С. Занимательная математика.- С.-Петербург, «Тритон», 1997.

2. Волина В.В. Занимательная математика.- С.-Петербург, 1996.

Воробьёв Н.Н. Признаки делимости.- Москва, «Наука», 1988.

3.   Никольский С.М. Арифметика – 6. – Москва, «Просвещение», 2008г.

4.   Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку для 5-6 классов. Москва,         «Просвещение», 2008г.

5.   Математика. Справочник школьника.- Филологическое общество «Слово», Москва, 1995.

6.  Энциклопедия для младших школьников «Что такое? Кто такой?», в трёх томах.      Москва, 1975.

7. Кордемский Б.А. Математическая смекалка.-М., Издательский дом ОНИКС, 2000.
8. Перельман Я.И. Занимательная алгебра, М., Издательство технико-теоретической литературы, 1955.
9.  intelmath.narod.ru/article_minmds.html
10.  www.math.com.ua/articles/criterion_of_divisibility.html