8 способов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1

Муниципальное бюджетное

общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №9 г. Холмска

муниципального образования «Холмский городской округ»

Сахалинской области

8 способов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1

(Информационно-реферативная работа)

                                                                            И Анастасия                                                                        

ученица  10 «А» класса

                                                                                   Руководитель проекта:

Рязанцева Людмила Ивановна,

                                                                              учитель математики

г. Холмск

2016

Содержание:

Введение

Глава 1. Историческая справка………………………………………………………..……5

1.1Изглубокой древности и до наших дней……………………….………………..…….5

1.2 Заслуги Леонарда Эйлера………………………………………………………..……..7

Глава 2. Тригонометрические уравнения. Методы решений тригонометрических уравнений………………………………………………………………………………..…..8

2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений………………………..........8

2.2 Алгебраический метод……………………………………………………………..…..9

2.3 Разложение на множители……………………………………………………………...9

2.4 Сведение к однородному уравнению…………………………………………...……10

2.5 Переход к половинному углу……………………………………………..…….…….10

2.6 Введение вспомогательного угла……………………………………………….…….11

2.7 Преобразование суммы в произведение……………………………...………………11

2.8 Преобразование произведения в сумму………………………………………………12

2.9 Универсальная тригонометрическая подстановка…………………………………..12

2.10 Возведение обоих частей уравнения в квадрат………………………..……..……..13

2.11 Сведение к квадратному уравнению……………………………………..………….14

Глава 3. Способы решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1…………...15

3.1 Возведение обоих частей уравнения в квадрат…………………………………........15

3.2 Введение вспомогательного угла……………………………………………………..16

3.3 Сведение к однородному уравнению……………………………………….…..........16

3.4 Сведение к квадратному уравнению…………………………………………………..18

3.5 Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП)……………………..……19

3.6 Преобразование суммы в произведение………………………………………………20

3.7 Разложение на множители……………………………………………………………..21

3.8 Переход к половинному углу...…………………………………………………...…..22

Заключение……………………………………………………………………………….....23

Список литературы………………………………………………………………………....24

Приложение…………………………………………………………………………………25

Введение

Первое знакомство с математикой происходит в детстве. Изначально, в старшей группе детского сада, нас учат цифрам, счету, основам, без которых невозможно приступить к дальнейшему изучению данной науки. Затем, в начальной школе, мы учимся проводить расчеты: складывать и вычитать, делить и умножать, решать простейшие задачи. Перейдя в старшие классы, изучаемый материал становится сложнее, но довольно интереснее, и уже математика имеет несколько разделов, а не два, как на начальном этапе нашего изучения.

   Лично для меня наиболее интересной показалась тригонометрия. Она изучает зависимость между значениями величин углов и длин сторон треугольников, а также занимается анализом алгебраических тождеств тригонометрических функций. Её изящность и гибкость решений многих задач привлекает большое количество людей. Например, одно уравнение имеет не одно или два решения, как учат в школе, а несколько. А если рассмотреть окружность, составляющую данного раздела, можно заметить,что точкам, лежащим на ней, соответствует множество значений. Этим то и необычна тригонометрия.

   К тому же, сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Учащийся в школе подросток не всегда знает, как сложится его будущее, куда пойдет учиться и где будет работать. Для некоторых профессий знание тригонометрии просто необходимо. Вы могли не подозревать об этом, но именно она позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии используются в таких науках и областях, как физика, биология, химия, медицина, электроника, теория вероятностей, фармацевтика, экономика и даже фонетика. Не последнюю роль она играет в сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, геодезии и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.

   Решение тригонометрических уравнений играет важную роль для учащегося школы, так как они из года в год встречаются в заданиях ЕГЭ.

   В своей работе я буду рассматривать 8 способов решений одного тригонометрического уравнения. Я выбрала эту тему, потому что она показалась мне достаточно интересной, к тому же в школе отводится мало часов для ее изучения. В ходе исследований по данной теме я поставила цели и задачи, а также вывела гипотезу.

Цели: изучить способы решения одного тригонометрического уравнения, научиться применять их имыслить логически, углубить понимание методов его решения, расширить знания по данной теме, поделиться знаниями с учащимися.

Задачи: вспомнить методы решений тригонометрических уравнений при помощи дополнительной литературы, применить к уравнению sinx + cosx = 1, рассказать о них учащимся.

Гипотеза: одно уравнение можно решить несколькими способами.

Методы исследования: теоретические и математические.

Итак, мы сегодня сможем поближе познакомиться с этой наукой и рассмотреть всю красоту и разносторонность решений тригонометрических задач.

Глава 1. Историческая справка.

   Впервые термин «тригонометрия» встречается в заглавии книги«Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников»  немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561-1613) в 1595 году. Оно имеет греческое происхождение и означает «измеряю треугольник».

1.1 Из глубокой древности и до наших дней

   Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад. Стимулом к развитию тригонометрии являлись потребности астрономии, вспомогательным разделом которой стала тригонометрия. Согласно сохранившимся данным, основоположником возникновения тригонометрии стал во 2 в. до н. э. древнегреческий астроном Гиппарх Никейский. Он впервые рассмотрел тригонометрический круг и вычислил таблицу хорд, соответствующих различным углам. Так как в то время астрономам не были известны тригонометрические функции, она стала основным элементом греческой тригонометрии на плоскости. Единицами измерения были градусы, минуты, секунды, терции. Далее, Клавдий Птолемей во 2 в. н. э. вывел соотношения между хордами  в круге, которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, на основании теоремы Пифагора он записал:  (хорда α)²+ (хорда /180-α/)² = (диаметру)², что соответствует современной формуле sin²α+cos²α=1.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийскими астрономами в период 5-12 вв. н. э. Индийские математики вычисляли не полную хорду, как это делали греки, а ее половину. Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Индийские математики назвали синус «ардхаджива», что в буквальном смысле означало «половина тетивы лука». Также они составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от «гониа» - угол и «метрио» - измеряю). Тем не менее, для индийцев как и для  греков тригонометрия была вспомогательным разделом астрономии.

Ознакомившись с трудами индийских математиков, арабские ученые существенно продвинули вперед разработку тригонометрии. Они называли линию синусов словом «джайб» , что переводится на латынь как sinus – изгиб, кривизна. От латинского выражения complementisinus, т.е. «дополнительный синус», произошло слово «косинус» . Тангенсы и котангенсы  возникли в связи с решением задачи об определении длины тени в 10 в. Термин «тангенс» с латинского переводится как «касающийся», т.е. линия тангенсов – касательная к единичной окружности. Ну а «котангенс», по аналогии с косинусом, означает «дополнительный тангенс». Важным нововведением было использование единичного  радиуса, вычисления  с ним гораздо проще.

   В 11-13 вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки.

Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к 12 в., когда арабские трактаты были переведены на латынь. Изначально тригонометрия представляется как часть геометрии, но затем в сочинении «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.) начинает обособляться от нее.Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о треугольниках всех видов» (1462-1464), сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Благодаря его трудам тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. В 14—15 вв. тригонометрия заняла место среди университетских курсов.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло на пути накопления и систематизации формул, уточнении основных понятий, становления терминологии и обозначений.

В данной области работали европейские ученые Николай Коперник (1473-1543), Иоганн Кеплер (1571-1630), Франсуа Виет (1540-1603) и Исаак Ньютон (1643-1727).

Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604).

Виет открыл «плоскую» теорему косинусов, разработал общую алгебраическую символику. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества, например, формулы тригонометрических функций для кратных углов (приложение 2). Исаак Ньютон (1643-1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе.

В 17 в. тригонометрия имеет новое направление – аналитическое. Постепенно она становится частью математического анализа. Также находит широкое применение в физике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.

В России первые сведения о тригонометрии появились в начале 18 в.В то же время появился  первый русский учебник по тригонометрии, и назывался он  «Геометрия практика». Дальнейшее развитие теории тригонометрии было продолжено в 19 в Н. И. Лобачевским и другими учеными. В 19—20 вв. бурное развитие получили теория тригонометрических рядов и связанные с ней области математики: гармонический анализ, теория случайных процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие.

В наше время важнейшая часть тригонометрии – учение о тригонометрических функциях  рассматривается в математическом анализе, а решение треугольников является частью геометрии.

1.3.1 Заслуги  Леонарда Эйлера

Современный вид тригонометрия получила, благодаря заслугам члена Российской академии наук Леонарда Эйлера (1707-1783). Именно он ввел само понятие функции и принятую в наши дни символику. Величины sinx, cosx и т.д. он рассматривал как функции числа х – радианной меры соответствующего угла. Он давал числу х всевозможные значения. Как положительные, так и отрицательные, и даже комплексные. К его заслугам можно отнести то,  что именно он обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента. Это позволило превратить многочисленные и объемные тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Также, Эйлер ввел обратные функции. Именно он создал тригонометрию как науку о функциях и дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из основных формул. Благодаря обозначениям, которые заключались в определении сторон малыми буквами, а углов – большими, он смог упростить формулы, тем самым придать им красоту и ясность. Его нововведения позволяют нам изучать тригонометрию такой, какая она есть в 21 в. Ведь именно Леонарду Эйлеру принадлежит идея рассматривать тригонометрические функции как числа (отношения соответствующих линий к радиусу круга, причем радиус равен 1). Он вывел ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций в во всех четвертях, получил обобщенную формулу приведения, избавил тригонометрию от многих ошибок, допущенных ранее. На основании работ Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Глава 2. Тригонометрические уравнения. Методы решений тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения – это один из видов трансцендентныхуравнений (содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции), то есть не алгебраических, содержащих переменную под знаками тригонометрических функций.

Решение трансцендентных уравнений в явном виде также может быть получено в редких, простейших случаях. Уравнения такого типа, как правило, имеют неопределённое число корней. Необходимость решения трансцендентных уравнений возникает, например, при расчёте устойчивости систем, расчете парожидкостного равновесия и т.п.

Одним из нескольких отличий такого уравнения является наличие в ответе параметра k. Его рассматривают как количество полных обходов окружности в ту или иную сторону. Данный параметр принадлежит к множеству целых чисел. В единичной окружности (R = 1) одной точке соответствует бесконечное множество чисел, потому что окружность – замкнутая линия. Ее можно сравнить с беговой дорожкой стадиона. По ней можно двигаться очень долго, так как она замыкается, и начинается новый круг, и старту ,началу движения, может соответствовать 0 м и 600 м (после прохождения дистанции 600 м), то есть одна точка имеет несколько значений. Также и в окружности, одной точке соответствует несколько чисел. Именно поэтому ввели параметр k.

А основной целью решения любого тригонометрического уравнения является  приведение его к виду простейшего.

2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений.

Простейшие уравнения - это уравнения вида f(x) = a, где f(x)- одна из основных тригонометрических функция, а а-данное число. Для решения уравнений нужно знать основные тригонометрические формулы (приложение 1).

Пример 1.

sin 2x = ,

2x = (-1)k + πk, k∈Z,

x = (-1)k +  , k∈Z,

Ответ: (-1)k +  , k∈Z.

2.2 Алгебраический метод.

Пример 1.

2cos2 x – 3cosx + 1 = 0,

Заменим cosx на уи получим обычное квадратное уравнение:

2y2 – 3y + 1 = 0,

 y1 = 1,

y2= ,

1. cos x = 1,

x = 2πk, k∈Z,

2. cos x = ,

x = ±  + 2πk, k∈Z,

Ответ: 2πk, ±  + 2πk, k∈Z,

Пример 2.

cos2x – sin2x – cos x = 0,

Так как sin2x = 1-cos2 x, то уравнение можно записать

cos2x – (1 – cos2 x) – cos x = 0,

cos2x – 1 + cos2 x – cos x = 0,

2cos2x – cosx -1=0,

Пусть cosx =  t, тогда уравнение имеет вид

2t2 – t – 1 = 0,

t1=1,

t2= - ,

1. cos x = 1,

x = 2πk, k∈Z,

2. cos x = - ,

x = ± (π – ) + 2πk, k∈Z,

x = ±  + 2πk, k∈Z,

Ответ: 2πk, ±  + 2πk, k∈Z,

2.3 Разложение на множители.

Пример 1.

sin 2x – cosx = 0,

Применяя формулу двойного угла, получим

2sin x cos x – cos x = 0,

cos x( 2sin x – 1) = 0,

1. cosx = 1,

           x = 2πk, k∈Z,

2. 2sin x -1 = 0,

2sin x = 1,

sin x = ,

x = (- 1)k +πk,k∈Z,

Ответ: 2πk, (- 1)k + πk, k∈Z,

2.4 Сведение к однородному уравнению.

Пример1.

3 sin2x – 2 sin x cos x – cos2x = 0,/(cos2x ≠ 0),

3 tg2x – 2tg – 1 = 0,

Пускай tgx = t, тогда уравнение имеет вид

3t2 – 2t – 1 = 0,

t1 = 1,

t2 = - ,

1. tg x =1,

x =  + πk, k∈Z,

2. tg x = - ,

x = -arctg + πk, k∈Z,

Ответ:  + πk, - arctg + πk, k∈Z,

2.5 Переход к половинномууглу.

Пример1.

11sinx – 2cosx = 10,

Применяем формулы двойного угла и формулу тригонометрической единицы:

22 sin cos – 2 cos2 + 2sin2 = 10sin2 + 10cos2,

Переносим все влево:

8sin2 – 22sin cos + 12cos2 = 0, /(2cos2 ≠ 0),

4tg2 – 11tg  + 6 = 0,

D = 121- 96 = 25,

tg = ,

tg = 2,

1.  = arctg  + πk, k∈Z,

x = 2arctg  + 2πk, k∈Z,

2.  = arctg 2 + πk, k∈Z,

x = 2arctg 2 + 2πk, k∈Z,

Ответ: 2arctg  + 2πk, 2arctg 2 + 2πk, k∈Z.

2.6 Введение вспомогательного угла.

Пример 1.

sin 3x – cos3x = 1,

В этом уравнении коэффициенты:

a= , b = -1, поэтому делим обе части на  = 2

sin 3x - cos 3x = ,

Смотрим в таблицу значений тригонометрических функций( приложение 2):

cos sin 3x – sin  cos 3x = ,

sin(3x -  ) = ,

3x –  = (-1)k + πk,k∈Z,

3x = (-1)k + + πk,  k∈Z,

x = (-1)k +  + ,  k∈Z,

Ответ:(-1)k +  + ,  k∈Z.

2.7 Преобразование суммы в произведение.

Пример 1.

cos – sin 2x = 0,

По формулам приведения из cos = sin 3x получаем

sin 3x- sin 2x = 0,

Преобразуем разность синусов в произведение:

sin 3x- sin 2x = 2sin cos = 2sin  cos ,

2sin  cos  = 0, /2

sin cos  = 0,

1. sin  = 0,

 = πk, k∈Z,

x =2πk, k∈Z,

2. cos = 0,

 =  + πk, k∈Z,

5x = π + 2πk, k∈Z,

x = + , k∈Z,

Ответ: 2πk,  + , k∈Z.

2.8 Преобразование произведения в сумму.

Пример 1.

sin 5x cos 3x = sin 6x cos 2x,

Воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму:

 (sin 2x + sin 8x) = (sin 4x + sin 8x),

sin 2x – sin 4x = 0,

-2 sin x cos 3x = 0,

     1) sin x = 0,

        x =  πk,  k∈Z,

2)cos 3x = 0,

    3x =  +πk,  k∈Z,

    x =  + ,  k∈Z,

Ответ: πk,  + , k∈Z.

2.9 Универсальная тригонометрическая подстановка.

Пример 1.

sinx + cosx = 2,

Заменив sinx и cosx через tg, получим:

 + – 2 = 0, *( 1+ tg2  ),

2√3 tg + 1- tg2 – 2 – 2tg2  = 0,

3tg2 - 2√3 tg + 1 = 0,

Пусть tg = y, тогда уравнение имеет вид

3y2 - 2√3y + 1 = 0,

Так как D = 0, то y =  = ,

tg = ,

 = arctg  + πk, k∈Z,

x = 2arctg  + 2πk, k∈Z,

Ответ:arctg + πk, 2arctg  + 2πk, k∈Z.

2.10 Возведение обоих частей уравнения в квадрат.

Пример 1.

sin 2x + cos 2x = 1,

(sin 2x + cos 2x)2 = 12,

sin2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos2 x = 1,

Так как sin2 x + cos2 x = 1, то уравнение имеет вид

2sin 2x cos 2x + 1 = 1,

2sin 2x cos 2x = 0, /2,

sin 2x cos 2x = 0,

1. sin 2x = 0,

2x = πk, k∈Z,

x = , k∈Z,

2. cos 2x = 0,

2x = + πk, k∈Z,

x = , k∈Z,

Ответ: , , k∈Z.

2.11 Сведение к квадратному уравнению.

Пример 1.

2 – cos 2x + 2√2cos  = 0,

Воспользуемся формулой приведения:

cos = - sin x,

Получим уравнение:

2 – cos 2x - 2√2 sin x = 0,

Таккак sin2 x = ; 2sin2 x = 1-cos 2x, тоcos 2x = 1-2sin2 x,

2 – (1-2 sin2 x) - 2√2 sin x = 0,

2 – 1+ 2 sin2 x - 2√2 sin x = 0,

1+ 2 sin2 x - 2√2 sin x = 0,

2 sin2 x - 2√2 sin x + 1= 0,

Представим 2 sin2x, как (√2 sin x)2:

(√2 sinx)2 -2√2 sinx + 1= 0,

Свернем в формулу квадрата разности:

(√2 sin x-1)2 = 0,

√2 sin x-1= 0,

√2 sin x = 1,

sin x = ,

x = (-1)k+ πk, k∈Z,

Ответ: (-1)k + πk, k∈Z.

Глава 3. Способы решения тригонометрического уравнения

sin x+cos x =1

В своей работе для решения тригонометрического уравнения sin x+cos x =1 я представлю лишь 8 методов решения. Это возведение обоих частей уравнения в квадрат, введение вспомогательного угла, сведение к однородному уравнению, сведение к квадратному уравнению, универсальная тригонометрическая подстановка (УТП), преобразование суммы в произведение, разложение на множители и переход к половинному углу. Но для этого нужно знать основные формулы тригонометрии (приложение 1).

3.1 Возведение обоих частей уравнения в квадрат.

sinx + cos x = 1,

(sin x + cos x)2 = 12,

sin x2 + 2sin x cos x+cos x2=1,  (т.к. sin x2+cos x2=1),

2 sin x cos x + 1= 1,

Прием 1:

2 sin x cos x = 0, /2

sin x cos x = 0,

1. sin x=0,

x=πk, k∈Z

2. cos x=0,

x=+πk, k∈Z

Ответ: πk,+πk, k∈Z

Прием 2:

2sin x cos x = 0, (формула двойного угла)

sin 2x=0,

2x = πk,  k∈Z,

x =  , k∈Z,

Ответ:  , k∈Z.

В независимости от ответов, приемы решения допустимы.

3.2 Введение вспомогательного угла.

Приём 1:

Умножим обе части уравнения на:

sinx+cosx=1, *,

sinx+cosx =, (смотрим в таблицу значений тригонометрических функций углов)

cossin x+sin cos x = ,

sin (x+)=,

x+ = (-1)k + πk, k∈Z

x = (-1)k - + πk , k∈Z,

Ответ: (-1)k- + πk , k∈Z

Приём 2:

Воспользуемся алгоритмом решения уравнений вида а sin x + b cos x = c:

c=√2, т.к. a=1, b=1, a c=

sin x=,

sin x= = , ⇒t=,

√2sin(x+)=1,

sin(x+ )=,

x+  = (-1)k + πk, k∈Z

x= (-1)k  - π/4 + πk , k∈Z,

Ответ: (-1)k– + πk , k∈Z.

3.3 Сведение к однородному уравнению.

Перейдем к аргументу и применим формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения:

sin x + cos x = 1.

2sin cos + cos2- sin2= sin2+ cos2,

2sincos+ cos2- sin2- sin2- cos2 = 0, (cos2и -cos2взаимноуничтожаются),

2sin2-2sincos= 0,

2(sin2–sincos)=0,/2,

sin2- sincos = 0,

Прием 1:

Разделим обе части уравнения на cos2, (cos2≠ 0):

tg2 - tg=0,

Вынесем за скобку tg:

tg(tg-1)=0,

1. tg=0,

= πk, k∈Z,

x= 2πk, k∈Z.

2. tg-1=0,

tg=1,

= + πk, k∈Z,

x= +2πk, k∈Z.

Ответ: 2πk, +2πk, k∈Z.

Приём 2:

Рассмотрим решение уравнения способом разложения на множители:

sin2– sincos= 0,

sin (sin-cos)= 0,

1. sin=0,

= πk, k∈Z,

x= 2πk, k∈Z.

2. sin  – cos= 0,

Разделим обе части уравнения на cos, (cos≠ 0),

tg - 1=0,

tg=1,

=+πk, k∈Z,

x= +2πk, k∈Z.

Ответ: 2πk, +2πk, k∈Z.

3.4 Сведение к квадратному уравнению.

sinx + cosx = 1,

Прием 1:

Представим sinx= ±,

±+cos x=1,

±=1-cos x,

Возведем в квадрат обе части уравнения:

(±)2=(1-cos x)2,

1-cos2x=1-2cos x+cos2x,

2cos2x-2cosx=0,

2(cos2x-cosx)=0,  /2,

cos2x-cosx=0,  

Выносим за скобку cosx:

cos x(cos x-1)=0,

1. cos x=0,

x= +πk, k∈Z.

2. cos x-1=0,

cos x=1,

x=2πk, k∈Z.

Ответ: 2πk, +πk, k∈Z.

Прием 2:

Представим cosx= ±,

±+sinx=1,

±=1-sin x,

Возведем в квадрат обе части уравнения,

(±)2=(1-sin x)2,

1-sin2x=1-2sin x+sin2x,

2sin2x-2sinx=0,

2(sin2x-sinx)=0,  /2,

sin2x-sinx=0,  

Выносим за скобку sinx,

sin x(sin x-1)=0,

1. sin x=0,

           x= πk, k∈Z.

2. sin x-1=0,

sin x=1,

x=+2πk, k∈Z/

Ответ: πk, +2πk, k∈Z.

3.5 Универсальная тригонометрическая подстановка(УТП).

sinx + cosx = 1,

 + =1,

Домножаем уравнение на (1+tg2),

2tg  +1-tg2 = 1+tg2,

2tg2  -2tg= 0,

Выносим за скобку 2:

2(tg2 -tg) = 0, /2,

tg2 -tg= 0,

Выносим за скобку tg,

tg(tg-1)= 0,

1. tg=0,

= πk, k∈Z,

x= 2πk, k∈Z.

2. tg-1=0,

tg=1,

= +πk, k∈Z,

x= +2πk, k∈Z.

Ответ: 2πk, +2πk, k∈Z.

3.6 Преобразование суммы в произведение.

Используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, решим данное уравнение:

sin x + cos x = 1,

Приём 1:

Выразим cos x через sin( – x):

sin x+ sin( – x)=1,

2sin  cos=1,

2sin  cos (x- =1,

sin cos (x- )=,

cos (x- )=,

√2 cos (x- )=1,

cos (x- )= ,

x-= ± +2πk, k∈Z,

x= ± ++2πk, k∈Z,

Ответ: ±  ++2πk, k∈Z.

Прием 2:

Выразим sinx через cos( – x):

cos( – x)+ cos x=1,

2cos cos=1,

2cos cos=1,

2cos  cos (x- ) =1,

cos cos (x - ) =,

cos (x- )=,

√2 cos (x- )=1,

cos (x- )= ,

x- = ± +2πk, k∈Z,

x= ±  ++2πk, k∈Z,

Ответ: ±  ++2πk, k∈Z.

3.7 Разложение на множители.

sin x + cos x = 1,

sin x-1+cos x=0,

sinx-(1-cosx)=0,

Так как sin2 =⇒ 2sin2  =1-cosx, то

sinx-2sin2=0,

По формуле двойного угла раскладываем sinx:

2sin  cos -2sin2=0,

Выносим за скобку 2:

2(sincos – sin2)=0, /2,

sin cos -sin2=0,

Выносим за скобку sin:

sin(cos – sin )=0,

1. sin =0,

= πk, k∈Z,

x= 2πk, k∈Z.

2. cos – sin =0, /cos≠0,

1-tg=0,

tg=1,

= +πk, k∈Z,

x= +2πk, k∈Z.

Ответ: 2πk, +2πk, k∈Z.

3.8 Переход к половинному углу.

sin x + cos x = 1,

sin x=1-cos x,

Приводим к обе части уравнения:

Так как sin2 = ⇒ 2sin2 =1-cosx, то

2sincos = 2sin2, /2,

sin cos = sin2, /cos2 ≠0,

tg =tg2,

tg2- tg=0,

tg (tg  – 1) =0,

1. tg = 0,

= πk, k∈Z,

x= 2πk, k∈Z.

2. tg-1= 0,

tg =1,

 =  + πk, k∈Z,

x=  +2πk, k∈Z.

Ответ: 2πk,  +2πk, k∈Z.

Заключение

Данные приемы решения позволяют выбрать наиболее удобный, рациональный  для нас способ. Также, разнообразие решений одного уравнения способствует развитию логического мышления, что немало важно для подрастающего поколения.Потребность в вариациях решения данной задачи обусловлена сдачей Единого Государственного Экзамена в 11 классе, так как очень часто ученик, наткнувшись на тригонометрическое уравнение, не может вспомнить принцип решения, который проходят в школе. Но зная дополнительные методы, он сможет выйти из сложившейся ситуации. К тому же, знания по тригонометриии ее составляющие важны в будущем. Как уже говорилось, данный раздел математики имеет применение в различных областях.

   Именно поэтому,во избежание последующих проблем, очень важноне упускать в школе уроки тригонометрии, а постараться максимально научиться решать задачи такого типа, приложив все старания и усилия.

   Цели и задачи,  поставленные  для данного исследования, достигнуты. Гипотеза подтвердилась.

   Я рассмотрела 8 способов решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1, научилась применять их, а также углубила свое понимание методов его решения, расширила знания по данной теме.

   Проделанная  работа показалась мне интересной, потому что я узнала, что полученные знания будут полезны в дальнейшем,  к тому же я владела хорошими  знаниями и навыками решения тригонометрических уравнений.

   Надеюсь, что данная исследовательская работа будет полезна другим ученикам.

Список литературы

1. Г.И. Глейзер, «История математики в школе», Москва,  Просвещение,1983, стр. 55-58.

Интернет – ресурсы:

2. Старова О. А. - http://www.docme.ru/doc/337115/trigonometriya---osnova (стр. 28-31)
3. http://referatplus.ru/matematika_geometriya/1_matemat_0080.php
4. http://gruzdoff.ru/wiki/История_тригонометрии#.D0.9F.D0.BB.D0.BE.D1.81.D0.BA.D0.B0.D1.8F_.D1.82.D1.80.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.8F
5. http://school28.tom.ru/sincos/?page_id=15
6. https://sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij
7. http://al-vo.ru/spravochnik-excel/transcendentnye-uravneniya-podbor-parametra-v-excel.html
8. http://al-vo.ru/spravochnik-excel/transcendentnye-uravneniya-podbor-parametra-v-excel.html
9. http://al-vo.ru/spravochnik-excel/transcendentnye-uravneniya-podbor-parametra-v-excel.html

Приложение

Приложение 1

Приложение 2