Презентация к работе "Диофантовы уравнения"

Слайд 1

Слайд 2

Уравнения в математике занимают важное место. Большее количество задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Актуальность данной темы обусловлена тем, что владение методами решения уравнений, а особенно диофантовых, позволяет преодолеть встречающиеся трудности и приводить к реальным результатам в теории чисел. Возникла необходимость рассмотреть диофантовы уравнения, т.к. в школьном курсе не изучается эта тема в полном объёме. Актуальность исследования

Слайд 3

систематизировать и обобщить показать методы решения Диофантовых уравнения показать практическую значимость методов решения диофантовых уравнений . показать , что использование конкретного метода приводит к наиболее простому решению диофантовых уравнений Цель Задачи

Слайд 4

Проблема моего исследования : раскрыть понятие диофантовых уравнений на примере доказательств теорем и применения их при решении задач. Объект исследования : линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения второй степени Предмет исследования : методы решения линейных диофантовых уравнений и диофантовых уравнений второй степени с двумя неизвестными Гипотеза : диофантовы уравнения решаются различными методами и применение этих методов является вполне достаточным условием для решения многих задач в теории чисел. Методы исследования : анализ литературы, сравнительный, аналитический, описание, классификация, аналогия

Слайд 5

Диофантово уравнение Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух. Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями

Слайд 6

Диофантовы уравнения Линейные Квадратные Кубические и т.д.

Слайд 7

Теоремы Если числа а и b - взаимно простые, то уравнение ах + by = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел Z (то есть могут быть занумерованы целыми числами) и описываются формулой: хп = bn, yn = -an, где n€ Z - «номер» решения.

Слайд 8

Теоремы Если в уравнении ax+by=1 , (a,b)=1 , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение. Если в уравнении ax+by=c , (a,b)=d>1 и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет.

Слайд 9

Теоремы Если в уравнении ax+by=c , (a,b)=d>1 и , то оно равносильно уравнению a1x+b1y=c1 , в котором (a1,b1)=1. Если в уравнении ax+by=c , (a,b)=1 , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах: x=x0+bt y=y0-at где х0, у0 – целое решение уравнения ax+by=1 , t- любое целое число.

Слайд 10

Методы решения алгоритм Евклида; метод прямого перебора; метод разложения на множители; решение уравнения относительно одного неизвестного; метод рассеивания; цепные дроби.

Слайд 11

Алгоритм Евклида. Решение линейных уравнений. ах + ву = с Множество решений исходного уравнения лежит на множестве чисел x = x0 + bn; y = y0 – an. ax2 + by = с, сделав предварительно замену х2=t, получим линейное уравнение at + by = c.

Слайд 12

Решение уравнения с помощью алгоритма Евклида 20 x-19y=3 Угадываем одно решение (3;3) 20 x -19y = 20*3-19*3 20(x-3)=19(y-3) x-3=19t x=19t+3 Y-3=20t y=20t+3

Слайд 13

Метод разложения на множители Вынесение общего множителя за скобки; По формулам сокращённого умножения ; Способ группировки; Предварительное преобразование .

Слайд 14

Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению 69=1·69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа: 1) Решение X - У = 1 X+Y=69 X-Y=3 X+Y=23 Ответ: (35;34), (13;10)

Слайд 15

Решение уравнения относительно одного неизвестного 20 x-19y=3 x = ( 19y+3 ) /20 y=0, x=3/20 y=1, x=22/20 y=2, x=41/20 y=3 , x=60/20=3 – целочисленное x-3=19t x=19t+3 y-3=20t y=20t+3

Слайд 16

Метод рассеивания (измельчения) Метод заключается в сведении данного уравнения к последовательности других уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед неизвестными. Задача. Найти два числа, если разность произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13 . Решение. Требуется решить уравнение 19х — 8у = 13 Перепишем его иначе: 8y=19x–13; 8y=16x+3x–13; у = 2х + и обозначим y1 = у — 2х. В результате уравнение примет вид 8у1 = Зx — 13 или x= 2y1 . Если вновь произвести замену х1 = x — 2у1, то придем к уравнению 3xl — 2у1 = 13 . Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились — измельчились. Продолжим дальнейшее их уменьшение: так как y1 = xl + , то положим у2 =у1 –х1. В результате последнее уравнение преобразуется к виду х1 — 2у2 : = 13. Здесь коэффициент при х1 , равен 1, а поэтому при любом целом у2 = t число х1 тоже целое. Остается выразить исходные переменные через t: вначале выразим х1=2t+13, y1 = 3t+13; а затем x = 8 t + 39 , y= 19 t + 91 . Итак, получаем бесконечную последовательность ( 39 + 8 t, 91 + 19 t ) целочисленных решений . Нетрудно заметить, что методы цепных дробей и рассеивания являются лишь другой формой применения алгоритма Евклида.