Сравнения по модулю

Сравнение чисел по модулю

Подготовила проект: Зутикова Ирина

МАОУ «Лицей №6»

Класс: 10«а»

Научный руководитель: Желтова Ольга Николаевна

Тамбов

2016

Оглавление:

• Проблема
• Цель проекта
• Гипотеза
• Задачи проекта и план их достижения
• Сравнения и их свойства
• Примеры задач и их решения
• Используемые сайты и литература

Проблема:

Большинство учеников редко используют сравнение чисел по модулю для решений нестандартных и олимпиадных заданий.

Цель проекта:

Показать, как с помощью сравнения чисел по модулю можно решать нестандартные и олимпиадные задания.

Гипотеза:

Более глубокое изучение темы «Сравнение чисел по модулю» поможет ученикам решать некоторые нестандартные и олимпиадные задания.

Задачи проекта и план их достижения:

1.Подробно изучить тему «Сравнение чисел по модулю».

2.Решить несколько нестандартных и олимпиадных заданий, используя сравнение чисел по модулю.

3.Создать памятку для учеников на тему «Сравнение чисел по модулю».

4.Провести урок по теме «Сравнение чисел по модулю» в 10«а» классе.

5.Дать классу домашнее задание по теме «Сравнение по модулю».

6.Сравнить время выполнения задания до и после изучения темы «Сравнение по модулю».

7.Сделать выводы.

Прежде чем начать подробно изучать тему «Сравнение чисел по модулю», я решила сравнить, как она представлена в различных учебниках.

• Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс (Ю.М.Колягин и др.)
• Математика: алгебра, функции, анализ данных. 7 класс (Л.Г.Петерсон и др.)
• Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень.  10 класс (Е.П.Нелин и др.)
• Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень.  10 класс (Г.К.Муравин и др.)

 Как я выяснила, в некоторых учебниках эта тема даже не затрагивается, не смотря на углубленный уровень. А наиболее понятно и доступно тема представлена в учебнике Л.Г.Петерсона (Глава: Введение в теорию делимости), поэтому попробуем разобраться в «Сравнении чисел по модулю», опираясь на теорию из этого учебника.

Сравнения и их свойства.

Определение:Если два целых числа a и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое целое число m (m>0), то говорят, что a и b сравнимы по модулю m, и пишут:

Теорема:тогда и только тогда, когда разность aи bделится на m.

Свойства:

1. Рефлексивность сравнений.Любое число aсравнимо само с собой по модулю m (m>0; a,m-целые числа).
2. Симметричность сравнений. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, то число b сравнимо с числом a по тому же модулю(m>0; a,b,m-целые числа).
3. Транзитивность сравнений. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, а число b сравнимо с числом cпо тому же модулю, то число a сравнимо с числом c по модулю m(m>0; a,b,c,m-целые числа).
4. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, то число anсравнимо счислом bn по модулю m(m>0; a,b,m-целые числа;n-натуральное число).

Примеры задач и их решения.

 1.Найти последнюю цифру числа 3999.

Решение:

Т.к. последняя цифра числа - это остаток от деления на 10, то

3999=33*3996=33*(34)249=7*812497(mod 10)

(Т.к. 34=81   1(mod 10);81n    1(mod10) (по свойству))

Ответ:7.

 2.Доказать,что 24n-1 делится на 15 без остатка. (Физтех2012)

Решение:

Т.к. 161(mod 15), то

16n-10(mod 15) (по свойству); 16n= (24)n

24n-10(mod 15)

 3.Доказать, что 122n+1+11n+2делится без остатка на 133.

Решение:

122n+1=12*144n12*11n (mod 133) (по свойству)

122n+1+11n+2=12*11n+11n*121=11n*(12+121) =11n*133

Число (11n*133)без остатка делится на 133. Следовательно,(122n+1+11n+2)делится без остатка на 133.

 4.Найти остаток от деления на 15 числа 22015.

Решение:

22015=23*22012=8*16503

Т.к.161(mod 15), то

220158(mod 15)

Ответ:8.

 5.Найти остаток от деления на 17 числа 22015. (Физтех2015)

Решение:

22015=23*22012=8*16503

Т.к.16-1(mod 17), то

22015-8(mod 15)

-89(mod 17)

Ответ:9.

 6.Доказать, что число 11100-1 делится на 100 без остатка. (Физтех2015)

Решение:

11100=12150

121502150(mod 100) (по свойству)

2150=44125

441254125(mod 100) (по свойству)

4125=41*168112

168112(-19)12(mod 100) (по свойству)

41*(-19)12=41*3616

3616(-39)6(mod 100)(по свойству)

41*(-39)6=41*15213

15213213(mod100) (по свойству)

41*213=41*21*441

44141(mod 100) (по свойству)

21*412=21*1681

1681-19(mod 100) (по свойству)

21*(-19)=-399

-3991(mod 100) (по свойству)

Значит 111001(mod 100)

11100-10(mod 100) (по свойству)

 7.Даны три числа: 1771,1935,2222. Найти число, при делении на которое остатки трёх данных чисел будут равны. (ВШЭ2016)

Решение:

Пусть неизвестное нам число будет равно а,тогда

22221935(mod a); 19351771(mod a); 2222 1771(mod a)

2222-19350(moda) (посвойству); 1935-17710(moda) (по свойству); 2222-17710(moda) (по свойству)

2870(mod a); 1640(mod a); 4510(mod a)

287-1640(moda) (по свойству); 451-2870(moda)(по свойству)

1230(mod a); 1640(mod a)

164-1230(mod a) (посвойству)

410(moda)

41-простое число. Следовательно, 41=а.

Ответ: 41.

Используемые сайты и литература.

• Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс (Ю.М.Колягин и др.)
• Математика: алгебра, функции, анализ данных. 7 класс (Л.Г.Петерсон и др.)
• http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=books.sms701.delim2
• https://foxford.ru/wiki/matematika/sravnenie-po-modulyu#!
• Онлайн лекции Трушина Б.В.(Подготовка к Физтех)
• Олимпиада ВШЭ2016