За страницами учебника: свойства трапеции

Муниципальное  бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №7  г. Сальск

Исследовательская работа

Математика

Тема:  «За страницами учебника: свойства трапеции».

Автор  работы: 

Бенько Елизавета, 8А класс,

МБОУ СОШ № 7 г. Сальск.

Руководитель:  Бабина  Наталья Алексеевна,

учитель математики

МБОУ СОШ № 7г. Сальск.

г. Сальск. 2018 г.

Оглавление

I  Введение

Мир, в котором мы живём, наполнен геометрическими фигурами, поэтому я очень серьёзно отношусь  к школьному предмету: геометрия.

Во время изучения темы: «Четырёхугольники» меня заинтересовала трапеция.  Она  не входила в группу «параллелограммы», кроме того форма трапеции широко применяется  в повседневной жизни: в интерьерах, в ландшафтном дизайне, в одежде, в дизайне предметов повседневного пользования ( приложение1).

В главе «Дополнительные задачи» нашего учебника [1] представлены задачи для  интересующихся математикой.

Мне бы хотелось научиться решать эти задачи. Но мне кажется, что моих теоретических  знаний не достаточно.

Тема работы: «За страницами учебника: свойства трапеции».

Цель:  исследование  дополнительных свойств  трапеции и  применение  их  для  решения геометрических задач.

Актуальность темы: геометрические задачи  встречаются в экзаменационной работе по математике в 9 и 11 классах,   материалы данного исследования можно использовать при подготовке к экзаменам.

Гипотеза: дополнительные теоретические сведения о трапеции  помогут  найти новые подходы к решению  и позволят расширить круг задач повышенной сложности на трапецию.

Степень изученности:  материал  выходит за рамки  школьной программы.  

Задачи:

1. Найти  различные источники с дополнительной  информацией   о  трапеции;
2. Проанализировать литературу по данному вопросу;
3. Изучить дополнительную теорию и формулы для трапеции;
4. Доказать зависимость между элементами трапеции;
5. Провести исследования о возможностях  «расширения» задач на трапецию;
6. Провести анализ заданий из открытого банка заданий ОГЭ по математике и определить  частоту появления задач на  трапецию.

Объект изучения:  трапеция как геометрическая фигура .

Предмет изучения:  свойства трапеции

Методы исследования:

1.Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

2.Исследовательский метод определяется как самостоятельное решение проблемы с применением рассуждения, доказательства и анализ фактов.

3.Практический метод при определении частоты появления задач на  трапецию, проведение опроса.

II Основная часть

2.1.Исторические сведения

Свою работу я начала со словаря  Ожегова С. И., в котором я прочитала следующее: «Трапеция» - слово греческое, означавшее в древности «столик» (по-гречески «трапедзион» означает столик, обеденный стол).  [4] Геометрическая  фигура была названа так по внешнему сходству с маленьким столом. «Трапеция" в нашем смысле  встречается у древнегреческого математика Посидония (Iв.).

В «Началах» Евклида  термин  «трапеция» применяется не в современном смысле, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм).[3]

Лишь в XIIIв.  это слово приобретает современный смысл.

В современном смысле: «Трапеция- это выпуклый четырехугольник, у

которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны».[1]

2.2.  Свойства трапеции в рамках школьной программы

Из  школьного учебника  мне известно  о трапеции следующее: [1]

1. Трапеция – выпуклый  четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны;

2.Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные – боковыми сторонами;

3.Трапеция называется равнобедренной ( равнобочной), если её боковые стороны равны;

4. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны;

5.Диагонали равнобедренной трапеции равны;

6.Справедливы и обратные утверждения: если углы при основаниях трапеции равны, то трапеция является равнобедренной; если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная;

7. Трапеция,  в которой один угол прямой, называется прямоугольной;

8.Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции;

9.Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу-сумме.

Некоторые свойства  трапеции в нашем учебнике перенесены в задачи,  в частности(№4 и №5, №9), а также  признаки равнобедренной трапеции (№6)    Доказательства этих утверждений  я провела самостоятельно.

Пример авторского доказательства свойства 6 

 Если углы при основаниях трапеции равны, то трапеция является равнобедренной.

Дано:  трапеция АМТР. Угол Р равен углу Т,  угол А равен углу М.  Доказать, что РА = МТ. (рис 1).

                                    Доказательство.

                                 Достроим  трапецию до прямоугольника ЕРТК ( Рис.2).

                                 Докажем, что равны прямоугольные треугольники АЕР и                                                

                               МКТ: ЕР =КТ (противоположные стороны

  прямоугольника),  ˂ЕРА = ˂КТМ, т.к.  ˂ЕРА = 90о - ˂АРТ,     ˂КТМ =90о - ˂МТР, где ˂АРТ= ˂ МТР ( по условию). Треугольники ЕРА и КТМ равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства треугольников следует, что и их гипотенузы равны: АР = МТ, а значит трапеция АРМТ – равнобедренная. Ч.т.д.

 Вывод:  знание   свойств 1- 9  позволяет  решить  задачи из  нашего учебника на трапецию  базового уровня.

Однако,  я убедилась, что  для решения более сложных задач   (из дополнительных  главы учебника  и задач со звёздочкой), необходим дополнительный теоретический материал  о трапеции.

2.3.Свойства трапеции за страницами школьного учебника. [2]

На следующем этапе своей работы я изучала  различные источники  с целью  исследования дополнительных   свойств  трапеции.

Свойство 1*. Биссектрисы углов трапеции при боковых сторонах образуют  прямой угол.

Дано: МКТЕ – трапеция, ТА и ЕА – биссектрисы   углов КТЕ и МЕТ. Доказать, что ТА┴ ЕА ( рис.3). Доказательство. Сумма углов КТЕ и МЕТ равна 1800, так как это односторонние углы при пересечении параллельных прямых КТ и МЕ секущей ТЕ. ТА и ЕА – биссектрисы, поэтому  сумма  углов АТЕ и ТЕА  равна 900. ˂А = 1800 ─900 = 900. Ч.т.д.

С использованием  этого свойства задачу1* можно решить, практически, устно.

Задача 1* . [2]Биссектрисы углов Е и Т трапеции, прилежащих к боковой стороне пересекаются в точке А. АЕ =12дм, АТ =  9дм. Найдите боковую сторону ТЕ.( Рис. 3).

Решение: по свойству 1*  треугольник АТЕ прямоугольный, ТЕ – гипотенуза, которую найдём по теореме Пифагора :  ТЕ2 =225, ТЕ =15дм.

Свойство 2*. [3] Свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие. Длина отрезка,  делящего трапецию на  две  равновеликие, можно вычислять по формуле:  х= , где   a  и b основания трапеции.

Доказательство ( авторское). Пусть a  и b основания трапеции, h1 и  h2 высоты трапеций, на которые разделена трапеция АВСD   линией РЕ ǁАВǁСD. (Рис.4). S1   и  S2 площади трапеций РВСЕ и АРЕD  соответственно. Докажем, что РЕ =.  S1 = , S2 =. Так как трапеции равновеликие, то S1 = S2,   (1). С другой стороны: SАВСD =. Решим систему уравнений Получим:х2=,  х=. Ч.т.д.

Свойство 2* я применила для решения задачи №512*[1 ].  Для закрепления  формулы х =  составила свою задачу.

Задача 2* (авторская).  Основания  трапеции  равны м. Отрезок, соединяющий две точки боковых сторон,  параллелен основаниям и делит трапецию на две равновеликих. Найдите длину этого отрезка.

Решение: Обозначим длину   искомого  отрезка буквой с,  тогда по свойству 2* получим   с  = . Ответ. 8м

Вывод.  Новые  свойства трапеции  позволили мне решить   несколько задач со звёздочкой  из дополнительной главы, также я составила авторские задачи,  для решения которых необходимо использовать  изученные  свойства .

2.4. Вторая средняя линия трапеции[3]

При изучении свойств  трапеции я обратила внимание на некоторую аналогию со свойствами треугольника: виды трапеций и треугольников          

 ( равнобедренные и прямоугольные), определение равнобедренного треугольника и равнобедренной  трапеции,  равенство углов  при основаниях, определение средней линии и её свойства ( приложение2).

Однако в треугольнике можно провести три средних линии, а в трапеции - одну. Такова информация в нашем учебнике.

У меня возникла гипотеза: трапеция имеет  ещё одну  среднюю линию, о существовании которой наш учебник умалчивает.

Возможно,  кто-то из моих одноклассников знает о существовании ещё одной средней линии трапеции? Опрос восьмиклассников  показал, что никто  не знает о второй средней линии.

На следующем этапе своей работы я занялась сбором  информации в    книгах, журналах  и справочниках по математике, имеющихся у меня дома,  в школьной и  городской   библиотеке и в сети Интернет.  

Я узнала, что вторая линия трапеции существует. Это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.[3]

На рис.5  РЕ ─  вторая средняя  линия трапеции (АР= РВ и СЕ=ЕТ).

Из школьного учебника я знаю, что первая средняя линия:

1. Параллельна основаниям;

2.Равна полу-сумме оснований.

А какие свойства присущи второй средней линии? Исследовала я на следующем этапе.

1. Вторая средняя линия ТУ (рис.6)  не параллельна боковым сторонам ЕС и КР, иначе боковые стороны были бы параллельны, а трапеция тогда вырождается в параллелограмм;

2. Её длина не равна полу-сумме  длин боковых сторон. В этом я убедилась  в  процессе  исследований   путём  практических построений и измерений

( приложение 3).  Результаты исследований:  с изменением длин боковых сторон, длина средней линии не меняется.

Итак, длина   второй  средней  линии  никак не связана с длиной  боковых сторон.

Однако,  оказалось, что существует  другая связь: «Вектор второй средней линии трапеции равен полу-сумме векторов боковых сторон, взятых в одном порядке (сверху вниз)».

ТУ = (ЕВ   +  КМ),   ТУ = (ЕС   +  КР),  (рис.6).

Доказательство с помощью векторного способа,  я пока не могу провести.

        Я продолжила исследование  возможных свойств второй средней линии.

В математических книгах и журналах свойства второй средней линии сформулированы в виде задач: [3]

«Докажите, что:

№1.Средние  линии трапеции в точке пересечения делятся пополам.        

№2.Вторая средняя линия трапеции проходит через точку пересечения диагоналей.  

№3. Прямая, содержащая вторую среднюю линию трапеции, проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны.

№4.Верно и обратное утверждение:  если прямая проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны и середину одного из оснований, то она проходит и через середину другого основания (является второй средней линией трапеции).

№5. В равнобедренной  трапеции средние линии перпендикулярны.

№6.Верно и обратное утверждение: если средние линии трапеции перпендикулярны, то эта трапеция равнобедренная.

№7.В равнобедренной трапеции вторая средняя линия перпендикулярна основаниям трапеции.

№8.Если средние линии трапеции равны, то ее диагонали перпендикулярны.»

        Мне удалось  доказать пять из этих восьми свойств.  Приведу примеры  своих  доказательств.

Свойство№1. [3]

 Средние  линии трапеции в точке пересечения делятся пополам. Дано: трапеция KESF, средние линии NR и ML,  Р – точка пересечения  средних линий.   Доказать: MP=PL, NP=PR (рис.7).    

Докажем, что MNLR – параллелограмм.

   В треугольнике  KSF  отрезок RL является   средней линией, значит: RLǁKS. MN средняя линия ∆ KSЕ,  значит   MN ǁ KS → RLǁ MN (*).

 Аналогично, из треугольников FES и  FEK получим, что NL ǁ MR(**). Из условий (*) и (**) получим, что MNRL ─ параллелограмм с диагоналями  NR

и  ML. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам  → NP=PR, MP=PL.Ч.т.д.

Свойство №5.  [3]

В равнобедренной  трапеции средние линии перпендикулярны. 

Дано: равнобедренная  трапеция KESF  (Рис. 8), KF = ES, средние линии NR и МА. Доказать, что NR  перпендикулярна  МА.

 Доказательство.

На рис.8  МА и NR являются диагоналями четырёхугольника NMRA. Если я докажу, что NMRA ─ ромб,  то его диагонали  NR  и   МА будут перпедикулярны.

        1.MR и NA параллельны  KS,  MR= ½ KS  и  NA = ½ KS как средние линии  треугольников  KES  и  KFS  соответственно. Значит MRǁNA  и MR=NA → NMRA – параллелограмм. Значит, MNǁAR  и MN=AR .

        2. NM =1/2FE и AR=1/2FE как средние линии  треугольников  KFE  и  FSE  соответственно.   Так как  KS= FE (диагонали равнобедренной трапеции), то NM=MR=RA=AN  →NMRA – квадрат, значит его диагонали  NR  и   МА  перпедикулярны.  Ч.т.д.

Свойство 7. ( Следствие из свойства 5).

В равнобедренной трапеции вторая средняя линия перпедикулярна основаниям трапеции.

Доказательство: так как средняя линия NRпараллельна основаниям КЕ и FS, а МА перпендикулярна NR, то  МА перпендикулярна  основаниям КЕ и FS. Ч.т.д.

Свойство 8[3]

. Если средние линии трапеции равны, то ее диагонали перпендикулярны.

Дано: SRZD –трапеция.  (Рис.9). GL ,QP –средние линии трапеции,

GL = QP. Доказать: SZ  перпендикулярна RD. Доказательство.

QGPL – параллелограмм. Так как  диагонали  QP=GL этого параллелограмма равны ( по условию),то QGPL- прямоугольник.→QG ┴GP. GPǁRD, QGǁSZ как средние линии соответственно треугольников RZD  и  SRZ.→RD ┴ SZ. Ч.т.д.

Справедливо и обратное утверждение.

  2.5. Применение свойств второй средней линии при решении задач.

Свойства второй средней линии трапеции помогли мне решить задачи нашего учебника со звёздочкой  из главы «Дополнительные задачи».

Задача №1 (№518*(б)) [ 1 ]

        Найти площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 16см и 30см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение. 

 Дано: равнобедренная трапеция АВСЕ (Рис. 10).    АВ = СЕ, АС и ВЕ диагонали, АС ┴ВЕ. ВС=16см, АЕ =30см.  Найти площадь АВСЕ.

1.Так как трапеция равнобедренная и её диагонали перпендикулярны, то:

-вторая средняя линия GL  перпедикулярна первой средней линии QP

( свойства 5и 7 второй средней линии).Значит она перпендикулярна основаниям, т.е. является высотой;

- вторая средняя линия GL  равна  первой средней линии QP( свойство 8 второй средней линии). GL = QP  =(16+30) : 2 =23см.

SABCE = 23cм ∙23см =529см2.  Ответ: 529см2

Задача №2 ( №520*) [ 1 ]

        Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма её оснований  равна 2а. Найдите площадь трапеции.

Решение. 

 Дано: равнобедренная трапеция АВСЕ (Рис. 10). АВ = СЕ,АС┴ВЕ,

ВС+АЕ = 2а. Найти площадь трапеции АВСЕ.

1.В равнобедренной трапеции средние линии перпендикулярны (GL┴QP), значит вторая средняя линия  GL   перпендикулярна основаниям, т.е. вторая средняя линия является высотой трапеции.

2.Если диагонали трапеции  перпендикулярны, то средние линии равны: GL=QP  = a. Используем формулу: S= произведению высоты на полу-сумму оснований,  т.е. площадь равна   произведению средних линий трапеции.  S=a∙a = a2.  Ответ.  a2

Задача №3[ 2 ]

Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны и высота равна  64см.

Решение.

В равнобедренной  трапеции средние линии перпендикулярны. →

В равнобедренной трапеции вторая средняя линия перпедикулярна основаниям трапеции.→ Вторая средняя линия равна высоте трапеции =64см.  Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то средние линии равны.→  Средняя линия трапеции  =64см.

Площадь трапеции = 64см∙64см = 4096см2.  Ответ: 4096см2

 Задача №4 (439*) [1 ]

Сумма углов при одном из оснований трапеции  равна 900. Докажите , что отрезок, соединяющий середины оснований трапеций, равен их полу-разности.  Решение.

Дано: МРСТ- трапеция  (рис. 11), ˂1+˂4=900 (*),РА=АС и МК=КТ.

 Доказать, что АК = (РС –МТ). Доказательство.

  1.Построим ВКǁМР и КЕ ǁТС, тогда МКВР и КТСЕ –параллелограммы, значит МК=РВ и КТ=ЕС( как противоположные стороны параллелограмма).

˂1=˂2 (**) (соответственные углы при параллельных прямых ТС и КЕ и секущей ЕС), ˂4=˂3 (***) ( соответственные углы  при параллельных прямых  МР и КВ и секущей РВ). Из равенств (*), (**) и (***) следует, что ˂3+˂2=900, тогда ˂ВКЕ = 900.

2.В прямоугольном треугольнике ВКЕ  медиана КА равна половине гипотенузы ВЕ:  ВЕ = (РС  - (РВ+ЕС)),  КА =(РС  - (РВ+ЕС)), но РВ=МК,  ЕС =КТ. Получим:  КА =(РС – (МК+ КТ)),

 КА = (РС- МТ). Ч.т.д.

Задача №5 № (438*) [ 1 ]

 В  трапеции АВСD(рис.12) с большим основанием АD диагональ АС перпендикулярна  к боковой стороне С D, ˂ВАС = ˂СА D. Найдите А D, если периметр трапеции равен 20 см и ˂ D=600.

Решение. Дано:  трапеция АВСD, ˂ВАС = ˂СА D,Р=20см, ˂ D=600. А D-?

1. Из ∆АС D: ˂СА D=300. Так как ˂ВАС = ˂СА D, то   ˂ВАС = 300, ˂ВАD=600 →  трапецияABCD - равнобедренная→АВ = СD. СD= ½ АD( катет, лежащий против угла в 300).
2. ˂CAD= ˂BCA= 300 накрест лежащие→˂ВАС = ˂ВСА →∆АВС – равнобедренный, АВ=ВС.      
3. Получили: АВ=ВС=СD=х. Периметр = АВ+ВС+СD+ АD =20,х+х+х+2х= 20, 5х=20, х=4, АD=2СD = 4∙2= 8.  Ответ. 8см .

  Вывод.  Мои предположения оправдались: дополнительные теоретические сведения, которые я изучила и доказала  в результате своих исследований,  позволили мне решить все задачи на трапецию из дополнительной главы учебника.

2.6. Задачи на трапецию из открытого банка ОГЭ. [5]

Через год  я сдаю  ОГЭ. Один из обязательных  ─ экзамен по математике, который  содержит  9   задач  по геометрии.

Поэтому на следующем этапе своей исследовательской работы я   проанализировала  задания « Геометрия» из открытого банка заданий. Оказалось, что задачи на трапецию составляют почти 19% всех заданий по геометрии. Я выбрала  в открытом банке по одной задаче на трапецию  каждого типа, доступных   для восьмиклассников ( приложение 4, задачи №1-23 ), решила их, провела классификацию   по темам:

- на среднюю линию ( №1-3);

-на свойства углов трапеции (№4-8);

-на  свойства  трапеции с использованием свойств треугольника (№9-14);

- на площадь трапеции (№15-18) ;

-геометрические задачи из реальной математики( №22-23).

- задачи второй части ОГЭ(19-21);

В процессе классификации и решения задач я провела исследования по следующим вопросам:

1.Среднее время, затраченное  восьмиклассниками на решение задач№1-№3и №4-№8  (приложение4);

2. Наличие задач типа №1-8 в нашем учебнике;

3.Какие теоретические факты  необходимо  повторить для решения задач №1-№18;

4.Главные затруднения при решении геометрические задачи из реальной математики,  №22-23(приложение №3).

Результаты  исследований по вопросу 1, которое  я проводила  вместе с моим учителем   Бабиной Натальей Алексеевной помещены в таблицах 1 и 2.

Таблица1. Среднее время, затраченное на решение задач №1, 2,3.

По результатам данных таблицы 1 я сделала следующие выводы:

-меньше всего времени затрачено на задачу №2, больше всего – на задачу №3;

- процент не решивших задачу  №1 0%,№2 86%., №3 29%

Я убедилась, что задачи на использование «школьных» свойств средней линии трапеции, могут решить не все восьмиклассники.  

Таблица 2. Среднее время, затраченное на решение задач №4-№8.

Данные таблицы 2 позволили мне сделать следующие выводы:

-меньше всего времени 30 секунд затрачено на задачу №4, больше всего – на задачу №8;

-  среднее время, затраченное на решение задач №4-8 больше, чем на задачи №1-4.

 Задачи № 1-3 и №4-№8 - из первой части, значит,  на экзамене  «повезёт» больше тем, у кого окажутся задачи типа №1-3.

На следующем этапе я исследовала  типы  задач на трапецию   в нашем учебнике. [1]

Всего задач  базового уровня  ─  12. Это задачи на:

- доказательство  свойств и признаков равнобедренной трапеции  ─ 3;

- свойства средней линии трапеции  ─  0;

- свойства углов  трапеции  ─ 2;

- свойства  трапеции с использованием свойств прямоугольного  треугольника  ─ 2;

- площадь трапеции  – 5.

Вывод: чтобы успешно справиться с задачами из открытого банка заданий типа  №1-№17(приложение 4),необходима дополнительная подготовка, так как задач из нашего учебника недостаточно. Так считаю я и многие мои одноклассники, как показал опрос.

Таблица 3. Главные затруднения при решении задач из реальной математики.

 Вывод: я думаю, что затруднения возникли потому, что в нашем учебнике  на   всех   рисунках ( их всего 6)   основания трапеции  располагаются горизонтально. Поэтому рисунки из задач типа №22-23 приложения 4 выглядят для школьников непривычно.

 При решении задач   мне приходилось повторять различные свойства и теоремы не только для трапеции. Поэтому я  составила перечень  теоретических сведений, необходимых для  успешного решения  задач №1-№17. Приложение 5.

Для решения задач  второй части ОГЭ (№17,18,приложение 4) мне потребовались дополнительные теоретические сведения, которые я изучила в процессе моей исследовательской работы:

-биссектрисы углов трапеции при боковых сторонах образуют  прямой угол;

- в равнобедренной трапеции вторая средняя линия перпендикулярна основаниям трапеции;

-если диагонали трапеции перпендикулярны, то её средние линии равны.

В своей работе представляю подробное решение задач  № 19 -№21 повышенного  и высокого уровня  сложности  из  второй части  ОГЭ.

Задача №19,приложение 4. [5]

Боковые стороны ВР и КТ трапеции BРКТ(рис.13) равны соответственно 40 и 41, а основание РК равно 16. Биссектриса угла РВТ проходит через середину стороны КТ. Найдите площадь трапеции.    

   Решение.

В трапеции BРКТ ВР=40, КТ=41,РК=16, ВХ – биссектриса угла РВТ .SBРКT-?

1.Найдём ВТ.  Так как Х середина КТ, то проведём через точку Х отрезок, параллельный основаниям, тогда ЕХ – средняя линия трапеции .  ВХ – биссектриса значит, углы 1 и 2 равны. Угол 1 и 3 равны как накрест лежащие  при параллельных прямых  ЕХ ,  ВТ и секущей ВХ. Получим, что угол 2 равен углу 3→∆ВЕХ равнобедренный: ЕХ=ВЕ=41:2=20,5. По свойству средней линии имеем: ЕХ= (РК+ВТ):2 ,20,5=(16+ВТ):2,  16+ВТ=41, ВТ=25.

2.Найдём высоту  трапеции. Пусть ВУ=z. Из ∆ВРУ  получим РУ2=402-z2,

Из ∆КСТ: КС2=412- (25-16-z)2. Так как РУ2= КС2, 412-z2 =402- (25-16-z)2,

412-z2=402- (9-z)2, 412-z2= 402-81+18z –z2,18z =1681+81-1600, 18z =162, z =162:18=9. Найдём высоту РУ=40.

Sтр.=(16+25):2∙40=820.  Ответ. 820.

 Задача №20,приложение 4. [5]

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC (рис.14) выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников  BEC и AED равна половине площади трапеции. 

Решение.

1.S∆DTC=1/2BC∙EH, S∆AED=1/2AD∙ER, S∆DTC+ S∆AED =  1/2∙(BC∙EH+AD∙ER), ЕН=ЕR, так как ХУ – средняя линия трапеции. Получим S∆DTC+ S∆AED =  1/2∙(BC∙EH+AD∙ER) = 1/2∙(BC∙EH+AD∙EН) =1/2∙ЕН∙(ВС+АD) =1/2∙1/2HR(BC+AD) =1/4∙HR∙(BC+AD) (1).

2.SABCD =1/2∙(BC+AD)∙HR(2).Из равенств 1 и 2 следует, что S∆DTC+ S∆AED=1/2∙ SABCD.  Ч. т.д.

Задача №21,приложение 4[5]. 

Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD ( рис.15) пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена   от прямых  AB, BC и CD.        

Решение. В трапеции АВСD: ВО и СО биссектрисы углов В и С.Точка О лежит на стороне АD. Расстояние от точки О до сторон AB, BC и CD это ОМ,ОN и  DC соответственно. Докажем, что ОМ=ОN =DC.

1.ВО – биссектриса угла АВС, значит все её точки равноудалены от сторон этого угла → OM =ON (1).

2.СО – биссектриса угла ВСD, все её точки равноудалены от сторон этого угла: ON=OF(2).

3. Из равенств 1 и 2получим OM =ON = OF. Ч.т.д.

Вывод. Для решения задач  на трапецию из дополнительной главы учебника и второй части ОГЭ  необходимо изучать дополнительные теоретические сведения.

Заключение

В процессе работы я узнала много новых теорем, понятий,  свойств трапеции, что позволило мне решить 16 задач повышенной сложности. Подробное  решение 8 таких задач  представлено  в  моей  работе, а также авторское доказательство 7 свойств  трапеции и 3 авторские задачи.

Сделав анализ всех выбранных мною источников информации, я  систематизировала и  упростила полученную информацию,  выполнила 15 авторских рисунков, чтобы материал был наглядным и понятным  для моих сверстников.

В своей исследовательской работе я   проанализировала  задания

« Геометрия» из открытого банка заданий ОГЭ. Оказалось, что задачи на трапецию составляют почти 19% всех заданий по геометрии. Я выбрала  в открытом банке по одной задаче на трапецию  каждого типа, доступных   для восьмиклассников.  Решила 23 задачи,  провела классификацию   по темам.

В процессе классификации и решения задач я провела исследования по  вопросам :среднее время, затраченное  восьмиклассниками на решение задач, наличие задач аналогичных заданиям  ОГЭ  в нашем учебнике. В этом большая практическая значимость моей работы. Результат проведенного опроса  моих одноклассников  показал, что данная тема для них актуальна.

Результаты моей работы:

1. Круг  задач , которые я могу решать, расширился. Это мне очень поможет в дальнейшей учёбе и  при сдаче  ОГЭ на следующий год.  

2. Материал моей работы можно использовать для элективных занятий по математике  в 8- 9 классах и при подготовке  к итоговой аттестации.

3.При изучении свойств трапеции я повторила и закрепила знания о других геометрических фигурах.

Гипотеза: «Дополнительные теоретические сведения о трапеции  помогут  найти новые подходы к решению  и позволят расширить круг задач повышенной сложности на трапецию.»подтвердилась.

.

Источники

1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия 7-9.Учебник для общеобразовательных учреждений. Москва «Просвещение» 2017.

2.Зив Б.Г. ,Мейлер В.М. , Баханский А.Г. . Задачи по геометрии для 7-11 классов -М.: Просвещение, 2016.

        3. Кушнир И. А .«Вторая средняя линия трапеции»., журнал «Математика в школе» № 2, 1993.

         4.Ожёгов С. И. и Шведова Н.Ю. « Толковый словарь Русского языка». М.:ООО  «ИТИ Технологии»,2003.

       5.  http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge открытый банк заданий, математика, ОГЭ.

Приложение1

Использование формы трапеции в жизни

Приложение 2

Приложение 3  

  1.На рис. 1:  ТУ – вторая средняя линия                          трапеции СЕКР.  Результаты измерений: ТУ = 5.5см, (ЕС + КР)/2 = 14:2= 7см → ТУ ≠ (ЕС + КР)/2.    

 Вывод. Вторая средняя линия трапеции не равна  полу-сумме боковых сторон.

2. На рис. 2:   A) ТУ – вторая средняя линия      трапеции ВЕКМ.  Результаты измерений: ТУ = 5.5см, (ВЕ + КМ)/2 = 20:2= 10см → ТУ ≠ (ВЕ + КМ)/2.  

B)  ТУ – вторая средняя линия      трапеции FЕКL.  Результаты измерений: ТУ = 5.5см, (FЕ + КL)/2 = 30:2= 15см → ТУ ≠ (FЕ + КL)/2.  

  Вывод. Вторая средняя линия трапеции не  равна  полу-сумме  боковых сторон, так как с изменением длин боковых сторон длина второй средней линии  не меняется.

Приложение 4.

Задачи на трапецию из открытого банка заданий для восьмиклассников. [5]

№1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.  Ответ.8

№2. Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.  Ответ.5.5

№3. Основания трапеции равны 11 и 19, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.                                         Ответ. 15

№4.  Один из углов равнобедренной трапеции равен 113°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.   Ответ. 670

№5. Один из углов прямоугольной трапеции равен 51°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.  Ответ. 1290

№6. Один из углов равнобедренной трапеции равен 43°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.  Ответ.1370

№7. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 50°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте   в градусах.  Ответ.1650

№8. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы BАD и BCD равны соответственно 45° и 135°, а CD=36. Ответ.36

№9. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне  AB трапеции  ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=21, BF=20. Ответ. 29.

№10. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 11. Найдите длину основания BC. Ответ.10

№11.  Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 33° и 13° соответственно. Ответ дайте в градусах.  Ответ. 1340

№12. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA=35° и ∠BDC=58°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.  Ответ.520

№13. В равнобедренной трапеции известна высота,  меньшее  основание и угол при основании.  Найдите большее  основание. Ответ.16.

№14. В равнобокой трапеции ABCD высоты ВК и CL отсекают на основании AD отрезки АК и LD. Найдите длины этих отрезков, если AD = 19, ВС = 7. .Ответ.6; 6.

№15.На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.  Ответ.42

№16. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно высоте и равно 30. Острый угол трапеции равен 30°. Найдите периметр трапеции

.Ответ.280

№17. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой 

трапеции. Ответ.15

№18. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.Ответ.100.

№19. Боковые стороны ВР и КТ трапеции BРКТ(рис.13) равны соответственно 40 и 41, а основание РК равно 16. Биссектриса угла РВТ проходит через середину стороны КТ. Найдите площадь трапеции.    

№20. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

№21. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена   от прямых  AB, BC и CD.

№22. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.Ответ.2,3м

№23. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,5 м, высота средней опоры 2,65 м. Найдите высоту большой опоры. Ответ дайте в метрах. Ответ.2,8м

Приложение 5

Перечень  теоретических сведений, необходимых для  успешного решения  задач из Открытого банка задач типа №1-№17 из приложения 3.

1.Определение и свойства равнобедренного треугольника.

2.Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30 градусов.

3.Определение  и свойства средней линии треугольника.

4.Определение и свойства равнобедренной трапеции.

5. Определение и свойства средней линии трапеции.

6. Свойства углов трапеции, прилежащих к боковой стороне.

7.Формула площади трапеции.

8. Свойства  накрест лежащих углов, полученных при пересечении параллельных прямых секущей.