Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №7 г. Сальск
Исследовательская работа
Математика
Тема: «За страницами учебника: свойства трапеции».
Автор работы:
Бенько Елизавета, 8А класс,
МБОУ СОШ № 7 г. Сальск.
Руководитель: Бабина Наталья Алексеевна,
учитель математики
МБОУ СОШ № 7г. Сальск.
г. Сальск. 2018 г.
Оглавление
I | Введение | Стр.3 |
II | Основная часть | Стр.4-14 |
2.1 | Исторические сведения | Стр.4 |
2.2 | Свойства трапеции в рамках школьной программы | Стр. 4-5 |
2.3 | Свойства трапеции за страницами школьного учебника | Стр.5-6 |
2.4 | Вторая средняя линия трапеции | Стр.6-9 |
2.5 | Применение свойств второй средней линии при решении задач | Стр.9-11 |
2.6 | Задачи на трапецию из открытого банка заданий ОГЭ | Стр.11-14 |
III | Заключение | Стр.15 |
Источники | Стр.16 | |
Приложение | Стр.17-20 |
I Введение
Мир, в котором мы живём, наполнен геометрическими фигурами, поэтому я очень серьёзно отношусь к школьному предмету: геометрия.
Во время изучения темы: «Четырёхугольники» меня заинтересовала трапеция. Она не входила в группу «параллелограммы», кроме того форма трапеции широко применяется в повседневной жизни: в интерьерах, в ландшафтном дизайне, в одежде, в дизайне предметов повседневного пользования ( приложение1).
В главе «Дополнительные задачи» нашего учебника [1] представлены задачи для интересующихся математикой.
Мне бы хотелось научиться решать эти задачи. Но мне кажется, что моих теоретических знаний не достаточно.
Тема работы: «За страницами учебника: свойства трапеции».
Цель: исследование дополнительных свойств трапеции и применение их для решения геометрических задач.
Актуальность темы: геометрические задачи встречаются в экзаменационной работе по математике в 9 и 11 классах, материалы данного исследования можно использовать при подготовке к экзаменам.
Гипотеза: дополнительные теоретические сведения о трапеции помогут найти новые подходы к решению и позволят расширить круг задач повышенной сложности на трапецию.
Степень изученности: материал выходит за рамки школьной программы.
Задачи:
Объект изучения: трапеция как геометрическая фигура .
Предмет изучения: свойства трапеции
Методы исследования:
1.Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;
2.Исследовательский метод определяется как самостоятельное решение проблемы с применением рассуждения, доказательства и анализ фактов.
3.Практический метод при определении частоты появления задач на трапецию, проведение опроса.
II Основная часть
2.1.Исторические сведения
Свою работу я начала со словаря Ожегова С. И., в котором я прочитала следующее: «Трапеция» - слово греческое, означавшее в древности «столик» (по-гречески «трапедзион» означает столик, обеденный стол). [4] Геометрическая фигура была названа так по внешнему сходству с маленьким столом. «Трапеция" в нашем смысле встречается у древнегреческого математика Посидония (Iв.).
В «Началах» Евклида термин «трапеция» применяется не в современном смысле, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм).[3]
Лишь в XIIIв. это слово приобретает современный смысл.
В современном смысле: «Трапеция- это выпуклый четырехугольник, у
которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны».[1]
2.2. Свойства трапеции в рамках школьной программы
Из школьного учебника мне известно о трапеции следующее: [1]
1. Трапеция – выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны;
2.Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные – боковыми сторонами;
3.Трапеция называется равнобедренной ( равнобочной), если её боковые стороны равны;
4. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны;
5.Диагонали равнобедренной трапеции равны;
6.Справедливы и обратные утверждения: если углы при основаниях трапеции равны, то трапеция является равнобедренной; если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная;
7. Трапеция, в которой один угол прямой, называется прямоугольной;
8.Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции;
9.Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу-сумме.
Некоторые свойства трапеции в нашем учебнике перенесены в задачи, в частности(№4 и №5, №9), а также признаки равнобедренной трапеции (№6) Доказательства этих утверждений я провела самостоятельно.
Пример авторского доказательства свойства 6
Если углы при основаниях трапеции равны, то трапеция является равнобедренной.
Дано: трапеция АМТР. Угол Р равен углу Т, угол А равен углу М. Доказать, что РА = МТ. (рис 1).
Доказательство.
Достроим трапецию до прямоугольника ЕРТК ( Рис.2).
Докажем, что равны прямоугольные треугольники АЕР и
МКТ: ЕР =КТ (противоположные стороны
прямоугольника), ˂ЕРА = ˂КТМ, т.к. ˂ЕРА = 90о - ˂АРТ, ˂КТМ =90о - ˂МТР, где ˂АРТ= ˂ МТР ( по условию). Треугольники ЕРА и КТМ равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства треугольников следует, что и их гипотенузы равны: АР = МТ, а значит трапеция АРМТ – равнобедренная. Ч.т.д.
Вывод: знание свойств 1- 9 позволяет решить задачи из нашего учебника на трапецию базового уровня.
Однако, я убедилась, что для решения более сложных задач (из дополнительных главы учебника и задач со звёздочкой), необходим дополнительный теоретический материал о трапеции.
2.3.Свойства трапеции за страницами школьного учебника. [2]
На следующем этапе своей работы я изучала различные источники с целью исследования дополнительных свойств трапеции.
Свойство 1*. Биссектрисы углов трапеции при боковых сторонах образуют прямой угол.
Дано: МКТЕ – трапеция, ТА и ЕА – биссектрисы углов КТЕ и МЕТ. Доказать, что ТА┴ ЕА ( рис.3). Доказательство. Сумма углов КТЕ и МЕТ равна 1800, так как это односторонние углы при пересечении параллельных прямых КТ и МЕ секущей ТЕ. ТА и ЕА – биссектрисы, поэтому сумма углов АТЕ и ТЕА равна 900. ˂А = 1800 ─900 = 900. Ч.т.д.
С использованием этого свойства задачу1* можно решить, практически, устно.
Задача 1* . [2]Биссектрисы углов Е и Т трапеции, прилежащих к боковой стороне пересекаются в точке А. АЕ =12дм, АТ = 9дм. Найдите боковую сторону ТЕ.( Рис. 3).
Решение: по свойству 1* треугольник АТЕ прямоугольный, ТЕ – гипотенуза, которую найдём по теореме Пифагора : ТЕ2 =225, ТЕ =15дм.
Свойство 2*. [3] Свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие. Длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, можно вычислять по формуле: х= , где a и b основания трапеции.
Доказательство ( авторское). Пусть a и b основания трапеции, h1 и h2 высоты трапеций, на которые разделена трапеция АВСD линией РЕ ǁАВǁСD. (Рис.4). S1 и S2 площади трапеций РВСЕ и АРЕD соответственно. Докажем, что РЕ =. S1 =
, S2 =
. Так как трапеции равновеликие, то S1 = S2,
(1). С другой стороны: SАВСD =
. Решим систему уравнений
Получим:х2=
, х=
. Ч.т.д.
Свойство 2* я применила для решения задачи №512*[1 ]. Для закрепления формулы х = составила свою задачу.
Задача 2* (авторская). Основания трапеции равны м. Отрезок, соединяющий две точки боковых сторон, параллелен основаниям и делит трапецию на две равновеликих. Найдите длину этого отрезка.
Решение: Обозначим длину искомого отрезка буквой с, тогда по свойству 2* получим с = . Ответ. 8м
Вывод. Новые свойства трапеции позволили мне решить несколько задач со звёздочкой из дополнительной главы, также я составила авторские задачи, для решения которых необходимо использовать изученные свойства .
2.4. Вторая средняя линия трапеции[3]
При изучении свойств трапеции я обратила внимание на некоторую аналогию со свойствами треугольника: виды трапеций и треугольников
( равнобедренные и прямоугольные), определение равнобедренного треугольника и равнобедренной трапеции, равенство углов при основаниях, определение средней линии и её свойства ( приложение2).
Однако в треугольнике можно провести три средних линии, а в трапеции - одну. Такова информация в нашем учебнике.
У меня возникла гипотеза: трапеция имеет ещё одну среднюю линию, о существовании которой наш учебник умалчивает.
Возможно, кто-то из моих одноклассников знает о существовании ещё одной средней линии трапеции? Опрос восьмиклассников показал, что никто не знает о второй средней линии.
На следующем этапе своей работы я занялась сбором информации в книгах, журналах и справочниках по математике, имеющихся у меня дома, в школьной и городской библиотеке и в сети Интернет.
Я узнала, что вторая линия трапеции существует. Это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.[3]
На рис.5 РЕ ─ вторая средняя линия трапеции (АР= РВ и СЕ=ЕТ).
Из школьного учебника я знаю, что первая средняя линия:
1. Параллельна основаниям;
2.Равна полу-сумме оснований.
А какие свойства присущи второй средней линии? Исследовала я на следующем этапе.
1. Вторая средняя линия ТУ (рис.6) не параллельна боковым сторонам ЕС и КР, иначе боковые стороны были бы параллельны, а трапеция тогда вырождается в параллелограмм;
2. Её длина не равна полу-сумме длин боковых сторон. В этом я убедилась в процессе исследований путём практических построений и измерений
( приложение 3). Результаты исследований: с изменением длин боковых сторон, длина средней линии не меняется.
Итак, длина второй средней линии никак не связана с длиной боковых сторон.
Однако, оказалось, что существует другая связь: «Вектор второй средней линии трапеции равен полу-сумме векторов боковых сторон, взятых в одном порядке (сверху вниз)».
ТУ = (ЕВ + КМ), ТУ =
(ЕС + КР), (рис.6).
Доказательство с помощью векторного способа, я пока не могу провести.
Я продолжила исследование возможных свойств второй средней линии.
В математических книгах и журналах свойства второй средней линии сформулированы в виде задач: [3]
«Докажите, что:
№1.Средние линии трапеции в точке пересечения делятся пополам.
№2.Вторая средняя линия трапеции проходит через точку пересечения диагоналей.
№3. Прямая, содержащая вторую среднюю линию трапеции, проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны.
№4.Верно и обратное утверждение: если прямая проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны и середину одного из оснований, то она проходит и через середину другого основания (является второй средней линией трапеции).
№5. В равнобедренной трапеции средние линии перпендикулярны.
№6.Верно и обратное утверждение: если средние линии трапеции перпендикулярны, то эта трапеция равнобедренная.
№7.В равнобедренной трапеции вторая средняя линия перпендикулярна основаниям трапеции.
№8.Если средние линии трапеции равны, то ее диагонали перпендикулярны.»
Мне удалось доказать пять из этих восьми свойств. Приведу примеры своих доказательств.
Свойство№1. [3]
Средние линии трапеции в точке пересечения делятся пополам. Дано: трапеция KESF, средние линии NR и ML, Р – точка пересечения средних линий. Доказать: MP=PL, NP=PR (рис.7).
Докажем, что MNLR – параллелограмм.
В треугольнике KSF отрезок RL является средней линией, значит: RLǁKS. MN средняя линия ∆ KSЕ, значит MN ǁ KS → RLǁ MN (*).
Аналогично, из треугольников FES и FEK получим, что NL ǁ MR(**). Из условий (*) и (**) получим, что MNRL ─ параллелограмм с диагоналями NR
и ML. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам → NP=PR, MP=PL.Ч.т.д.
Свойство №5. [3]
В равнобедренной трапеции средние линии перпендикулярны.
Дано: равнобедренная трапеция KESF (Рис. 8), KF = ES, средние линии NR и МА. Доказать, что NR перпендикулярна МА.
Доказательство.
На рис.8 МА и NR являются диагоналями четырёхугольника NMRA. Если я докажу, что NMRA ─ ромб, то его диагонали NR и МА будут перпедикулярны.
1.MR и NA параллельны KS, MR= ½ KS и NA = ½ KS как средние линии треугольников KES и KFS соответственно. Значит MRǁNA и MR=NA → NMRA – параллелограмм. Значит, MNǁAR и MN=AR .
2. NM =1/2FE и AR=1/2FE как средние линии треугольников KFE и FSE соответственно. Так как KS= FE (диагонали равнобедренной трапеции), то NM=MR=RA=AN →NMRA – квадрат, значит его диагонали NR и МА перпедикулярны. Ч.т.д.
Свойство 7. ( Следствие из свойства 5).
В равнобедренной трапеции вторая средняя линия перпедикулярна основаниям трапеции.
Доказательство: так как средняя линия NRпараллельна основаниям КЕ и FS, а МА перпендикулярна NR, то МА перпендикулярна основаниям КЕ и FS. Ч.т.д.
Свойство 8[3]
. Если средние линии трапеции равны, то ее диагонали перпендикулярны.
Дано: SRZD –трапеция. (Рис.9). GL ,QP –средние линии трапеции,
GL = QP. Доказать: SZ перпендикулярна RD. Доказательство.
QGPL – параллелограмм. Так как диагонали QP=GL этого параллелограмма равны ( по условию),то QGPL- прямоугольник.→QG ┴GP. GPǁRD, QGǁSZ как средние линии соответственно треугольников RZD и SRZ.→RD ┴ SZ. Ч.т.д.
Справедливо и обратное утверждение.
2.5. Применение свойств второй средней линии при решении задач.
Свойства второй средней линии трапеции помогли мне решить задачи нашего учебника со звёздочкой из главы «Дополнительные задачи».
Задача №1 (№518*(б)) [ 1 ]
Найти площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 16см и 30см, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Решение.
Дано: равнобедренная трапеция АВСЕ (Рис. 10). АВ = СЕ, АС и ВЕ диагонали, АС ┴ВЕ. ВС=16см, АЕ =30см. Найти площадь АВСЕ.
1.Так как трапеция равнобедренная и её диагонали перпендикулярны, то:
-вторая средняя линия GL перпедикулярна первой средней линии QP
( свойства 5и 7 второй средней линии).Значит она перпендикулярна основаниям, т.е. является высотой;
- вторая средняя линия GL равна первой средней линии QP( свойство 8 второй средней линии). GL = QP =(16+30) : 2 =23см.
SABCE = 23cм ∙23см =529см2. Ответ: 529см2
Задача №2 ( №520*) [ 1 ]
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма её оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Дано: равнобедренная трапеция АВСЕ (Рис. 10). АВ = СЕ,АС┴ВЕ,
ВС+АЕ = 2а. Найти площадь трапеции АВСЕ.
1.В равнобедренной трапеции средние линии перпендикулярны (GL┴QP), значит вторая средняя линия GL перпендикулярна основаниям, т.е. вторая средняя линия является высотой трапеции.
2.Если диагонали трапеции перпендикулярны, то средние линии равны: GL=QP = a. Используем формулу: S= произведению высоты на полу-сумму оснований, т.е. площадь равна произведению средних линий трапеции. S=a∙a = a2. Ответ. a2
Задача №3[ 2 ]
Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны и высота равна 64см.
Решение.
В равнобедренной трапеции средние линии перпендикулярны. →
В равнобедренной трапеции вторая средняя линия перпедикулярна основаниям трапеции.→ Вторая средняя линия равна высоте трапеции =64см. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то средние линии равны.→ Средняя линия трапеции =64см.
Площадь трапеции = 64см∙64см = 4096см2. Ответ: 4096см2
Задача №4 (439*) [1 ]
Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 900. Докажите , что отрезок, соединяющий середины оснований трапеций, равен их полу-разности. Решение.
Дано: МРСТ- трапеция (рис. 11), ˂1+˂4=900 (*),РА=АС и МК=КТ.
Доказать, что АК = (РС –МТ). Доказательство.
1.Построим ВКǁМР и КЕ ǁТС, тогда МКВР и КТСЕ –параллелограммы, значит МК=РВ и КТ=ЕС( как противоположные стороны параллелограмма).
˂1=˂2 (**) (соответственные углы при параллельных прямых ТС и КЕ и секущей ЕС), ˂4=˂3 (***) ( соответственные углы при параллельных прямых МР и КВ и секущей РВ). Из равенств (*), (**) и (***) следует, что ˂3+˂2=900, тогда ˂ВКЕ = 900.
2.В прямоугольном треугольнике ВКЕ медиана КА равна половине гипотенузы ВЕ: ВЕ = (РС - (РВ+ЕС)), КА =(РС - (РВ+ЕС)), но РВ=МК, ЕС =КТ. Получим: КА =
(РС – (МК+ КТ)),
КА = (РС- МТ). Ч.т.д.
Задача №5 № (438*) [ 1 ]
В трапеции АВСD(рис.12) с большим основанием АD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне С D, ˂ВАС = ˂СА D. Найдите А D, если периметр трапеции равен 20 см и ˂ D=600.
Решение. Дано: трапеция АВСD, ˂ВАС = ˂СА D,Р=20см, ˂ D=600. А D-?
Вывод. Мои предположения оправдались: дополнительные теоретические сведения, которые я изучила и доказала в результате своих исследований, позволили мне решить все задачи на трапецию из дополнительной главы учебника.
2.6. Задачи на трапецию из открытого банка ОГЭ. [5]
Через год я сдаю ОГЭ. Один из обязательных ─ экзамен по математике, который содержит 9 задач по геометрии.
Поэтому на следующем этапе своей исследовательской работы я проанализировала задания « Геометрия» из открытого банка заданий. Оказалось, что задачи на трапецию составляют почти 19% всех заданий по геометрии. Я выбрала в открытом банке по одной задаче на трапецию каждого типа, доступных для восьмиклассников ( приложение 4, задачи №1-23 ), решила их, провела классификацию по темам:
- на среднюю линию ( №1-3);
-на свойства углов трапеции (№4-8);
-на свойства трапеции с использованием свойств треугольника (№9-14);
- на площадь трапеции (№15-18) ;
-геометрические задачи из реальной математики( №22-23).
- задачи второй части ОГЭ(19-21);
В процессе классификации и решения задач я провела исследования по следующим вопросам:
1.Среднее время, затраченное восьмиклассниками на решение задач№1-№3и №4-№8 (приложение4);
2. Наличие задач типа №1-8 в нашем учебнике;
3.Какие теоретические факты необходимо повторить для решения задач №1-№18;
4.Главные затруднения при решении геометрические задачи из реальной математики, №22-23(приложение №3).
Результаты исследований по вопросу 1, которое я проводила вместе с моим учителем Бабиной Натальей Алексеевной помещены в таблицах 1 и 2.
Таблица1. Среднее время, затраченное на решение задач №1, 2,3.
Задача | Количество участников | Количество решивших задачу | Среднее затраченное время (в мин) |
Задача 1 | 21 | 21 | 1 |
Задача 2 | 21 | 3 | 0,5 |
Задача 3 | 21 | 15 | 1,1 |
По результатам данных таблицы 1 я сделала следующие выводы:
-меньше всего времени затрачено на задачу №2, больше всего – на задачу №3;
- процент не решивших задачу №1 0%,№2 86%., №3 29%
Я убедилась, что задачи на использование «школьных» свойств средней линии трапеции, могут решить не все восьмиклассники.
Таблица 2. Среднее время, затраченное на решение задач №4-№8.
Задача | Количество участников | Количество решивших задачу | Среднее затраченное время (в мин) |
Задача 4 | 21 | 7 | 0,5 |
Задача 5 | 21 | 10 | 0,9 |
Задача 6 | 21 | 16 | 1 |
Задача 7 | 21 | 11 | 1 |
Задача 8 | 21 | 4 | 1,5 |
Данные таблицы 2 позволили мне сделать следующие выводы:
-меньше всего времени 30 секунд затрачено на задачу №4, больше всего – на задачу №8;
- среднее время, затраченное на решение задач №4-8 больше, чем на задачи №1-4.
Задачи № 1-3 и №4-№8 - из первой части, значит, на экзамене «повезёт» больше тем, у кого окажутся задачи типа №1-3.
На следующем этапе я исследовала типы задач на трапецию в нашем учебнике. [1]
Всего задач базового уровня ─ 12. Это задачи на:
- доказательство свойств и признаков равнобедренной трапеции ─ 3;
- свойства средней линии трапеции ─ 0;
- свойства углов трапеции ─ 2;
- свойства трапеции с использованием свойств прямоугольного треугольника ─ 2;
- площадь трапеции – 5.
Вывод: чтобы успешно справиться с задачами из открытого банка заданий типа №1-№17(приложение 4),необходима дополнительная подготовка, так как задач из нашего учебника недостаточно. Так считаю я и многие мои одноклассники, как показал опрос.
Таблица 3. Главные затруднения при решении задач из реальной математики.
Задача | Не распознали трапецию | Не распознали элементы трапеции | Не испытали затруднений |
Задача 22 | 5 | 3 | 10 |
Задача 23 | 2 | 2 | 15 |
Вывод: я думаю, что затруднения возникли потому, что в нашем учебнике на всех рисунках ( их всего 6) основания трапеции располагаются горизонтально. Поэтому рисунки из задач типа №22-23 приложения 4 выглядят для школьников непривычно.
При решении задач мне приходилось повторять различные свойства и теоремы не только для трапеции. Поэтому я составила перечень теоретических сведений, необходимых для успешного решения задач №1-№17. Приложение 5.
Для решения задач второй части ОГЭ (№17,18,приложение 4) мне потребовались дополнительные теоретические сведения, которые я изучила в процессе моей исследовательской работы:
-биссектрисы углов трапеции при боковых сторонах образуют прямой угол;
- в равнобедренной трапеции вторая средняя линия перпендикулярна основаниям трапеции;
-если диагонали трапеции перпендикулярны, то её средние линии равны.
В своей работе представляю подробное решение задач № 19 -№21 повышенного и высокого уровня сложности из второй части ОГЭ.
Задача №19,приложение 4. [5]
Боковые стороны ВР и КТ трапеции BРКТ(рис.13) равны соответственно 40 и 41, а основание РК равно 16. Биссектриса угла РВТ проходит через середину стороны КТ. Найдите площадь трапеции.
Решение.
В трапеции BРКТ ВР=40, КТ=41,РК=16, ВХ – биссектриса угла РВТ .SBРКT-?
1.Найдём ВТ. Так как Х середина КТ, то проведём через точку Х отрезок, параллельный основаниям, тогда ЕХ – средняя линия трапеции . ВХ – биссектриса значит, углы 1 и 2 равны. Угол 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых ЕХ , ВТ и секущей ВХ. Получим, что угол 2 равен углу 3→∆ВЕХ равнобедренный: ЕХ=ВЕ=41:2=20,5. По свойству средней линии имеем: ЕХ= (РК+ВТ):2 ,20,5=(16+ВТ):2, 16+ВТ=41, ВТ=25.
2.Найдём высоту трапеции. Пусть ВУ=z. Из ∆ВРУ получим РУ2=402-z2,
Из ∆КСТ: КС2=412- (25-16-z)2. Так как РУ2= КС2, 412-z2 =402- (25-16-z)2,
412-z2=402- (9-z)2, 412-z2= 402-81+18z –z2,18z =1681+81-1600, 18z =162, z =162:18=9. Найдём высоту РУ=40.
Sтр.=(16+25):2∙40=820. Ответ. 820.
Задача №20,приложение 4. [5]
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC (рис.14) выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
Решение.
1.S∆DTC=1/2BC∙EH, S∆AED=1/2AD∙ER, S∆DTC+ S∆AED = 1/2∙(BC∙EH+AD∙ER), ЕН=ЕR, так как ХУ – средняя линия трапеции. Получим S∆DTC+ S∆AED = 1/2∙(BC∙EH+AD∙ER) = 1/2∙(BC∙EH+AD∙EН) =1/2∙ЕН∙(ВС+АD) =1/2∙1/2HR(BC+AD) =1/4∙HR∙(BC+AD) (1).
2.SABCD =1/2∙(BC+AD)∙HR(2).Из равенств 1 и 2 следует, что S∆DTC+ S∆AED=1/2∙ SABCD. Ч. т.д.
Задача №21,приложение 4[5].
Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD ( рис.15) пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
Решение. В трапеции АВСD: ВО и СО биссектрисы углов В и С.Точка О лежит на стороне АD. Расстояние от точки О до сторон AB, BC и CD это ОМ,ОN и DC соответственно. Докажем, что ОМ=ОN =DC.
1.ВО – биссектриса угла АВС, значит все её точки равноудалены от сторон этого угла → OM =ON (1).
2.СО – биссектриса угла ВСD, все её точки равноудалены от сторон этого угла: ON=OF(2).
3. Из равенств 1 и 2получим OM =ON = OF. Ч.т.д.
Вывод. Для решения задач на трапецию из дополнительной главы учебника и второй части ОГЭ необходимо изучать дополнительные теоретические сведения.
Заключение
В процессе работы я узнала много новых теорем, понятий, свойств трапеции, что позволило мне решить 16 задач повышенной сложности. Подробное решение 8 таких задач представлено в моей работе, а также авторское доказательство 7 свойств трапеции и 3 авторские задачи.
Сделав анализ всех выбранных мною источников информации, я систематизировала и упростила полученную информацию, выполнила 15 авторских рисунков, чтобы материал был наглядным и понятным для моих сверстников.
В своей исследовательской работе я проанализировала задания
« Геометрия» из открытого банка заданий ОГЭ. Оказалось, что задачи на трапецию составляют почти 19% всех заданий по геометрии. Я выбрала в открытом банке по одной задаче на трапецию каждого типа, доступных для восьмиклассников. Решила 23 задачи, провела классификацию по темам.
В процессе классификации и решения задач я провела исследования по вопросам :среднее время, затраченное восьмиклассниками на решение задач, наличие задач аналогичных заданиям ОГЭ в нашем учебнике. В этом большая практическая значимость моей работы. Результат проведенного опроса моих одноклассников показал, что данная тема для них актуальна.
Результаты моей работы:
1. Круг задач , которые я могу решать, расширился. Это мне очень поможет в дальнейшей учёбе и при сдаче ОГЭ на следующий год.
2. Материал моей работы можно использовать для элективных занятий по математике в 8- 9 классах и при подготовке к итоговой аттестации.
3.При изучении свойств трапеции я повторила и закрепила знания о других геометрических фигурах.
Гипотеза: «Дополнительные теоретические сведения о трапеции помогут найти новые подходы к решению и позволят расширить круг задач повышенной сложности на трапецию.»подтвердилась.
.
Источники
1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия 7-9.Учебник для общеобразовательных учреждений. Москва «Просвещение» 2017.
2.Зив Б.Г. ,Мейлер В.М. , Баханский А.Г. . Задачи по геометрии для 7-11 классов -М.: Просвещение, 2016.
3. Кушнир И. А .«Вторая средняя линия трапеции»., журнал «Математика в школе» № 2, 1993.
4.Ожёгов С. И. и Шведова Н.Ю. « Толковый словарь Русского языка». М.:ООО «ИТИ Технологии»,2003.
5. http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge открытый банк заданий, математика, ОГЭ.
Приложение1
Использование формы трапеции в жизни
Приложение 2
Аналогии в треугольниках и трапециях | |||
I | Прямоугольный треугольник | Прямоугольная трапеция | Прямой угол |
II | Равнобедренный треугольник | Равнобедренная трапеция | Боковые стороны равны |
III | Средняя линия треугольника | Средняя линия трапеции | Отрезок, соединяющий середины боковых сторон |
Приложение 3
1.На рис. 1: ТУ – вторая средняя линия трапеции СЕКР. Результаты измерений: ТУ = 5.5см, (ЕС + КР)/2 = 14:2= 7см → ТУ ≠ (ЕС + КР)/2.
Вывод. Вторая средняя линия трапеции не равна полу-сумме боковых сторон.
2. На рис. 2: A) ТУ – вторая средняя линия трапеции ВЕКМ. Результаты измерений: ТУ = 5.5см, (ВЕ + КМ)/2 = 20:2= 10см → ТУ ≠ (ВЕ + КМ)/2.
B) ТУ – вторая средняя линия трапеции FЕКL. Результаты измерений: ТУ = 5.5см, (FЕ + КL)/2 = 30:2= 15см → ТУ ≠ (FЕ + КL)/2.
Вывод. Вторая средняя линия трапеции не равна полу-сумме боковых сторон, так как с изменением длин боковых сторон длина второй средней линии не меняется.
Приложение 4.
Задачи на трапецию из открытого банка заданий для восьмиклассников. [5]
№1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии. Ответ.8
№2. Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. Ответ.5.5
№3. Основания трапеции равны 11 и 19, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции. Ответ. 15
№4. Один из углов равнобедренной трапеции равен 113°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. Ответ. 670
№5. Один из углов прямоугольной трапеции равен 51°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. Ответ. 1290
№6. Один из углов равнобедренной трапеции равен 43°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. Ответ.1370
№7. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 50°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. Ответ.1650
№8. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы BАD и BCD равны соответственно 45° и 135°, а CD=36. Ответ.36
№9. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=21, BF=20. Ответ. 29.
№10. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 11. Найдите длину основания BC. Ответ.10
№11. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 33° и 13° соответственно. Ответ дайте в градусах. Ответ. 1340
№12. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA=35° и ∠BDC=58°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Ответ.520
№13. В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание. Ответ.16.
№14. В равнобокой трапеции ABCD высоты ВК и CL отсекают на основании AD отрезки АК и LD. Найдите длины этих отрезков, если AD = 19, ВС = 7. .Ответ.6; 6.
№15.На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ.42
№16. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно высоте и равно 30. Острый угол трапеции равен 30°. Найдите периметр трапеции
.Ответ.280
№17. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой
трапеции. Ответ.15
№18. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.Ответ.100.
№19. Боковые стороны ВР и КТ трапеции BРКТ(рис.13) равны соответственно 40 и 41, а основание РК равно 16. Биссектриса угла РВТ проходит через середину стороны КТ. Найдите площадь трапеции.
№20. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
№21. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
№22. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.Ответ.2,3м
№23. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 2,5 м, высота средней опоры 2,65 м. Найдите высоту большой опоры. Ответ дайте в метрах. Ответ.2,8м
Приложение 5
Перечень теоретических сведений, необходимых для успешного решения задач из Открытого банка задач типа №1-№17 из приложения 3.
1.Определение и свойства равнобедренного треугольника.
2.Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30 градусов.
3.Определение и свойства средней линии треугольника.
4.Определение и свойства равнобедренной трапеции.
5. Определение и свойства средней линии трапеции.
6. Свойства углов трапеции, прилежащих к боковой стороне.
7.Формула площади трапеции.
8. Свойства накрест лежащих углов, полученных при пересечении параллельных прямых секущей.
Хризантема и Луковица
Ребята и утята
Кто грамотней?
Стеклянный Человечек
Невидимое письмо