БРАХИСТОХРОНА – «ПЕРЕВЕРНУТАЯ» ЦИКЛОИДА

МКУ Управление образования Златоустовского городского округа

МБОУДОД «Дворец детского творчества»

ГБУПОУ «Златоустовский педагогический колледж»

Научное общество учащихся начальных классов Златоустовского городского округа

Конференция исследовательских работ учащихся начальных классов

БРАХИСТОХРОНА – «ПЕРЕВЕРНУТАЯ» ЦИКЛОИДА

Выполнил: Сидякин Всеволод,

ученик 3 класса  «б»

МАОУ СОШ №10

Научный руководитель:

Фролова Екатерина Владимировна

Златоуст 2017-2018 учебный год

Содержание

Введение

В природе существует много интересного и загадочного, которого мы не знаем и не замечаем с первого взгляда. Мы часто наблюдаем в нашем мире предметы, которые имеют форму окружности или прямой они для нас привычны, а мы не задумываемся какие физические явления и законы в них скрываются.

Актуальность данной темы заключается в том, что на практике брахистохроны широко используются. Так, например, в производстве для сокращения времени по доставке грузов и материалов. Нужная форма направляющих может значительно ускорить доставку, тем самым повысить эффективность. В пример приведу, элеваторы, чтобы ускорить подачу зерна. В спорте для построения горнолыжных и бобслейных трасс с наибольшим разгоном. В аварийно-спасательным деле, для создания различных трапов, которые используются в самолетах и пожарными для эвакуации людей.

Мне захотелось глубже изучить тему кривых и прямых спусков, после выполнения моего проекта в кружке «Робототехника». Мы изготовили роботизированный комбайн для сборки и сортировки капусты «МСК-2». В нем использовали кривую для скорейшего спуска капусты. Нам было сложно сделать кривой спуск из деталей ЛЕГО, гораздо проще было бы изготовить прямой спуск. Но мой руководитель проекта предложил использовать кривую для более быстрого ската капусты к распределителю. Поэтому, мне стало интересно изучить эту тему.

Прочитав информацию в интернете, я узнал, что кривые интересовали ученых сотни лет назад. Я познакомился с новыми для меня понятиями: циклоида, брахистохрона, таутохрона.

Циклоида – это кривая, которая на данный момент недостаточно изучена. Область ее применения широка. Свойства циклоиды применяются и в физике, и в математике, и в астрономии. Циклоидальный перелет всего на 20% дольше, чем прямолинейный, но его достоинства настолько велики, что, возможно, именно он будет использоваться в ближайшем будущем.

Цель работы: исследовать и описать ключевые свойства циклоиды (брахистохроны). Продемонстрировать движение тела под действием силы тяжести по траектории кривой наискорейшего спуска.

 Для того чтобы выполнить данную работу необходимо решить следующие задачи.

Задачи исследования:

1. Изучить различные траектории движения материального тела.

2. Познакомиться с историей возникновения понятия «Циклоида», «Брахистохрона» и рассмотреть ее свойства.

3. Научиться строить циклоиду и создать макет для демонстрации ее свойств.

4. Выявить физические явления и законы, которые действуют при движении тел по различным траекториям.

5. Изучить литературу по использованию циклоиды (брахистохроны).

Объект исследования: различные траектории свободного движения тела из одной точки в другую в вертикальной плоскости.

Предмет исследования: кривая циклоида (брахистохрона).

Гипотеза: при изучении циклоидальных кривых и их свойств можно объяснить парадоксальные явления окружающего мира. Например, что движение по прямой не самый быстрый путь.

1 История возникновения циклоиды

История о кривой наискорейшего спуска имеет давнюю историю. Еще Галилео Галилей (1564-1642) первым заметил эту кривую, «так часто вычерчивающуюся перед глазами каждого» в Италии и предложил назвать ее циклоидой (от греческого «циклос» круглый), происходящая от круга. Одновременно во Франции математик, физик, философ Марен Мерсенн провел содержательное исследование циклоиды (1588-1648) и назвал ее – рулеттой. Первым в России из учёных обратил внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке, но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие ученые XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа XVII век – это век циклоиды. Лучшие ученые изучали их удивительные свойства. (1)

2 Циклоида

2.1 Определение циклоиды

Одна из самых часто встречаемых в жизни кривых – циклоида. Циклоида определяется, как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса, катящейся без скольжения по прямой. (3)

2.2 Свойства циклоиды

Кривая (циклоида) – обладает свойством периодичности, то есть повторяется через определенный промежуток.

         2.3 Построение циклоиды.

Проведем эксперимент I:

Рисунок 1. Циклоида

Возьмем модель колеса (круг), зафиксируем на нем неподвижную точку М на круге и будем катить по неподвижной прямой, по окружности безскольжения. Эта точка описывает кривую, которую называют циклоидой. Циклоида – это плоская кривая, которую описывает фиксированная точка М, неподвижно связанная с окружностью, катящаяся по неподвижной прямой.

3 Брахистохрона

Позже многие ученые возвращались к этой теме, но впервые строго математически сформулировал Иоган Бернули (1700-1782) в заметке 1696 с названием «Новейшая проблема предлагается математикам для решения». В ней была предложена задача о «перевернутой» циклоиде, которая является кривой наискорейшего спуска в последствии названа брахистохрона. 

Задача: В вертикальной плоскости даны две точки А и В, не лежащие на одной вертикальной оси. Определить кривую, спускаясь по которой под влиянием собственной тяжести, материальная точка, начав двигаться из точки А, дойдет до точки В за кратчайшее время.(1)

Рисунок 2. Брахистохрона

        Искомая кривая и есть брахистохрона (от греческого «брахистос» – кратчайший и «хронос» – время) – траектория скорейшего спуска. Многие ученые откликнулись и задача была решена учеными независимо друг от друга разными способами, такими как Исаак Ньютон, Лейбницем, братом Я. Бернулли. И все пришли к одному и тому же выводу: брахистохроной является циклоида. Задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления – раздела математики, который в то время еще не был создан. (1)

Проведем эксперимент II:

С помощью модели с прямым спуском и кривым я провожу эксперимент. Взяв шарики одинакового веса и размера, установив их в точке А, одновременно отпускаю. Вижу, что шарик под влиянием собственной тяжести достигает раньше точки В. Крутой спуск циклоиды дает дополнительное ускорение, обеспечивая тем самым достижение нижней точки за кратчайшие время. Так мы доказываем брахистохронность развернутой циклоиды.

Рисунок 3. Циклоидальный маятник

Брахистохрона имеет свойство таутохронности ( от греческого «таутос» – тот же самый, «хронос» – время). Это открыл знаменитый голландский ученый Х. Гюйгенс (1629-1695). Построение циклоидального маятника и нахождение кривой (дуге окружности), по которой должен двигаться конец маятника и есть циклоида. Гюйгенс использовал маятник в создании первой модели часов, а также в своей конструкции «морского хронометра». В конструкции часов и в хронометре устанавливаются ограничители размаха в результате чего конец маятника двигается по циклоиде и под влиянием собственной тяжести маятник, помещенный в любую точку арки циклоиды, достигает точки В одно и тоже время, что подтверждает таутохронность циклоиды. (1)

Рисунок 4. Таутохрона

Проведем эксперимент III:

Воспользовавшись моделью, циклоиды кривого спуска я продемонстрирую следующий эксперимент. Берем два одинаковых шарика, помещаем их на разных уровнях кривой, и отпускаем их вместе. Шарики приходят в нижнюю точку пути одновременно. Делаем вывод, что не зависимо с какой высоты циклоиды мы отпустили шарики, они достигают нижней точки одновременно.

      Подведя итог моей работы, я хотел бы перечислить какие физические законы наблюдаются, в основе моих моделей:

– закон всемирного тяготения (свободного падения тела);

– закон сохранения энергии (а именно переход поднятого на высоту тела обладающего потенциальной энергией при падении переходит в кинетическую связанную с массой и скоростью движения тела);

– закон трения (скорость спуска будет зависеть от шераховатости поверхностей).

                                                            Заключение

В ходе работы над проектом подтвердилась гипотеза. При изучении циклоидальных кривых и их свойств можно объяснить парадоксальные явления окружающего мира. Были выяснены основные физические свойства циклоиды.

• Не всегда движение по линиям подчиняется только законам математики.
• Во время движения тел происходит изменение и превращение одного вида энергии в другой.
• И не важно, по какой траектории двигалось тело при свободном падении, в конечную точку они пришли одновременно.

В ходе работы над проектом,  я изучил  литературу по использованию циклоиды (брахистохроны).  Научился строить циклоиду с помощью окружности,  катящейся по неподвижной прямой. Продемонстрировал эксперименты с использованием прямых и кривых спусков. Убедился в свойстве циклоиды, что движение по прямой не самый быстрый путь. Наблюдал физические законы, которые действуют при движении тела в свободном падении по различным траекториям. В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по физике.

Как оказалось, циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в физике, технологических расчетах и технике. Существует еще много интересных кривых, зная их свойства, можно сконструировать новые модели, применить их на практике.

В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по физике.

Таким образом, практическое значение моей работы заключается в моделировании циклоиды (брахистохроны) и демонстрации опытов с использованием различных кривых. Я считаю, что моя работа, позволит учащимся доступно и красочно продемонстрировать свойства циклоиды и научиться строить циклоиду с помощью простейших геометрических фигур. Познакомившись с циклоидой и ее замечательными свойствами юные математики и конструкторы, могут применить в своих работах и сделать их более эффективными.

Литература

1. С.Г. Гиндикин «Рассказы о физиках и математиках» Москва. Из-во. МЦНМО – 4- е издание. 2006.

2. Сайт «Лучший школьный задачник» ИМХО, «Математика, которая мне нравится».

3. Иванов А.А., Лукьянов А.А. «Еще о брахистохроне и таутохроне» Физ. образ. в вузах.- 1999г. стр. 54-61.

Приложение I

     Материалы, используемые для изготовления модели и их стоимость.