Геометрия и оригами
В настоящее время математическое образование является основным для людей многих профессий, поэтому большое внимание уделяется изучению основ арифметики, алгебры и геометрии. Особое место занимает изучение основных понятий геометрии и повышение уровня математических знаний в целом.
Изучение геометрии способствует формированию и развитию логического, алгоритмического и образного мышления. Рассмотрение геометрических элементов тесно связано с художественным восприятием мира.
Искусство оригами как нельзя лучше подходит для решения данных задач. Еще в XIX веке немецкий педагог Ф.Фребель основал интегрированный курс обучения математике при помощи оригами, на основе которого можно улучшить и упрочить геометрические знания и умения.
Слово "оригами" происходит от двух японских слов: "ори" – сложенный, "ками" – бумага, и может быть переведено как "сложенная бумага". Складывание фигурок из бумаги имеет многовековую историю и своими корнями тесно связано с культурой Востока.
Гипотеза:
Использование техники оригами при доказательстве теорем и решении геометрических задач делает решение более наглядным и способствует развитию образного мышления при изучении отдельных тем геометрии.
Цель работы: рассмотреть технику оригами, и научиться ее применять при доказательстве теорем и решении геометрических задач.
Задачи, поставленные в нашей работе:
1. Ознакомиться с техникой оригами;
2. Проанализировать связь оригами и геометрии на примере основных элементов оригами, решении геометрических задач.
3. Обобщить материал и составить технологические карты для 7-9 классов по теме: «Геометрия и оригами»;
4. Познакомить с техникой оригами и способами решения геометрических задач с помощью оригами одноклассников.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 презентация с работой | 2.59 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Оригами – японское искусство складывания различных фигурок из листков очень тонкой бумаги. Никто не знает, кто именно и когда придумал оригами. Многие поколения японцев внесли в оригами свой вклад, передавая умение складывать плоский лист в чудесную фигурку. История оригами
Гипотеза: Использование техники оригами при доказательстве теорем и решении геометрических задач делает решение более наглядным и способствует развитию образного мышления при изучении отдельных тем геометрии. Цель работы: рассмотреть технику оригами, и научиться ее применять при доказательстве теорем и решении геометрических задач .
Задачи, поставленные в нашей работе : 1. Ознакомиться с техникой оригами; 2. Проанализировать связь оригами и геометрии на примере основных элементов оригами, решении геометрических задач. 3. Познакомить с техникой оригами и способами решения геометрических задач с помощью оригами одноклассников. Объектом исследования является техника оригами Предметом исследования является применение техники оригами при доказательстве теорем и решении геометрических задач
Применение оригами при доказательстве теорем. Теорема: Сумма углов треугольника равна 180˚ . Доказательство: Вырежем из бумаги треугольник любой формы и перегнем его сначала по линии В H так , чтобы основание треугольника легло на себя. Перегнув затем треугольник по линиям D E, DF и EK так, чтобы точки C и A попали в точку В, получим прямоугольник FDEK и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (1,2,3) составляют в сумме два прямых. А В С Н D E F K Н D E F K 2 1 3
Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую в отношении 2:1, считая от вершины. Доказательство: На треугольном листе бумаги путем совмещения двух вершин углов устанавливается засечка – таким образом определяется середина стороны. На следующем этапе проводится линия сгиба через вершину угла и намеченную середину противолежащей стороны. Эта линия сгиба является медианой треугольника. В треугольнике можно провести методом перегибания бумаги только три медианы, которые в данном случае являются линиями сгибов. Совместив вершину треугольника с точкой пересечения медиан, можно убедится в выполнении соотношения 2:1.
Теорема: Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны . Доказательство: Возьмём лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы – углы 1 и 2. Согнём лист по секущей АВ. Совместим вершины накрест лежащих углов – точки А и В. углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно . ے 1 = ے 2. Значит накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.
Свойство прямоугольного треугольника: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы . Доказательство : Наметим середину стороны квадрата. Точка D должна лечь на намеченную линию. Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение. Точка А должна лечь на намеченную линию. Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение Δ ADN – прямоугольный, острый угол которого 30 °. Совместив точки A и D, получим точку Х, а потом отогнём в первоначальное положение. Δ ADX равнобедренный и углы при основании равны 30 °. ے XDN=60° ے XND=60°, значит Δ XDN равносторонний, т.е. DN = NX = AX = 1/2 AN. Катет DN лежит против угла 30 ° и равен 1/2 гипотенузы AN.
Использование оригами при построении правильных многоугольников Задача №1 . Построить правильный треугольник. Решение:
Задача №2 . Построить правильный пятиугольник Решение:
Задача №3 . Построить правильный шестиугольник. Решение :
Геометрические задачи и оригами. 1.Постановка задачи. Вписать в квадрат равнобедренный треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину А ) чему равны углы АСF и AEC? Б) чему равна сторона EC по отношению к стороне BC исходного квадрата? В) как относятся отрезки, на которые точка G делит диагональ AC? Г) как соотносятся площади треугольников AEF и ECF? Задача № 1.
Задание А) ; ; ; Задание Б ) обозначим BC=a. Рассмотрим треугольник ABC, B=90 ° . AC= , AG=AC-CG= т . к . BC=CG=a . AEC: AG=EG, т . к . AGE=90 ° , EAG=45 ° , значит AEG=45 ° . ECG : EC= = . Задание В) AG = a ( , CG = a = = = . Задание Г) Saef : Sefc =? Saef = EF*AG Sefc = EF*CG = =
1.Постановка задачи. Вписать в квадрат равносторонний треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину 2. Математическое обоснование Рассмотрим треугольник AEM и определим градусные меры углов этого треугольника. FAB= BAK=15 ° DAE= DAO=15 ° ( по построению) MAE=(90 ° -15 ° -15 ° )=60 ° Треугольник ABM= треугольнику AED , т.к. AB=AD-стороны квадрата, BAD= EAD=15 ° , Треугольник АМЕ- равнобедренный, отсюда AME= AEM. AME= AEM=( 180 ° -60 ° )/2=60 ° . Все углы равны, значит треугольник АМЕ- равносторонний. Задача № 2.
Инструкционно -технологические карты В результате изученных приемов оригами были разработаны инструкционно -технологические карты.
Заключение. Метод оригами, рассмотренный в данной работе, оживляет и заметно облегчает освоение целого ряда абстрактных, и потому сложных для понимания геометрических понятий, делает их изучение более ясным и доступным.
Лиса-охотница
Приключения Тома Сойера и Гекельберри Финна
Под парусами
Новогодние гирлянды
Почему Уран и Нептун разного цвета