«Применение неравенства Коши к доказательству неравенств и решению задач как эффективный способ доказательства гипотез»

Государственное  бюджетное  общеобразовательное  учреждение

лицей №395  Красносельского  района  Санкт-Петербурга

(ГБОУ лицей № 395 Санкт- Петербурга)

Исследовательская работа

«Применение неравенства Коши к доказательству

неравенств и решению задач как эффективный

способ доказательства гипотез»

Автор:

Сахаров Артур, 9в класс

Руководитель:

Первушкина Ирина Михайловна,

педагог дополнительного образования

ГБОУ лицея № 395

2017 – 2018 учебный год

Оглавление

                                                                                                              стр.

1. Введение  …………………………………………………………………………. 3                                                                                                                                            

2. Основная часть……………………………………………………………………. 5

     2.1. Биография  Огюстена Луи Коши …………………………………............... 5

     2.2. Неравенство Коши и его доказательство ..………………………………… 5

     2.3. Применение неравенства  Коши к доказательству гипотез и

       решению задач математики и физики…………………………………………..7

3. Заключение   …………………………………………………………………….. .13

4. Список литературы ……………………………………………………………….14

1. Введение

На уроках алгебры в 8 классе мы изучали доказательство неравенств, одним из неравенств мы рассмотрели неравенство, носящее название «Неравенство Коши», а также понятие о среднем арифметическом, а на уроке геометрии о среднем геометрическом. Я увидел связь между названными понятиями. И это оказалось действительно так. Меня заинтересовал этот факт, и я решил подробно изучить неравенство Коши, рассмотреть применения его к решению других задач. Подробное знакомство с различными методами доказательства гипотез может быть полезно мне не только для расширения кругозора, но также и потому, что на его принципе основано решение многих задач (включая олимпиадные). Мною был изучен принцип доказательства неравенств, а также его широкое применение в решении задач на доказательство и решение неравенств, при решении уравнений и систем уравнений, геометрических и физических  задач.

Как оказалось, неравенство Коши актуально и в математике и в физике, в геометрии, даже в астрономии! В школьном курсе 8-9 класса изучают лишь малую часть интересной теоремы, которая заключает в себе гораздо больше, чем две строчки в учебнике геометрии. И я захотел сделать своеобразную исследовательскую работу по этой теме.

При решении задач, предлагаемых на экзаменах ОГЭ и олимпиадах по математике, могут быть использованы любые известные выпускникам математические методы. При этом разрешается пользоваться и такими, которые не изучаются или изучаются в ознакомительных целях в общеобразовательной школе. Все это свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения выпускниками математических методов, в основе которых лежат понятия и положения, не входящие в программу по математике общеобразовательной школы. К таким понятиям, например, относится неравенство Коши и многие другие.

Данная работа рассчитана на учащихся, которые имеют довольно-таки высокий уровень знаний в области математики, причем как в пределах, так и вне школьной программы, но все равно хотят его повысить.

В работе описывается применение неравенства Коши к решению заданий из курса алгебры 8-9-х классов. Так как отдельной темой неравенство Коши в школьном курсе не изучается, то его использование делает решение отдельных неравенств не только простым, но и красивым.

Прочитав специальную литературу, я понял, что с помощью неравенства Коши можно решать разные виды задач. Передо мной появилась задача, требующая исследования, которой я решил посвятить свою работу.

Цель работы: познакомиться с творческой биографией Огюстена Луи Коши, рассмотреть доказательство неравенства, носящего его имя. На основе решенных задач, используя неравенство Коши, сделать вывод об эффективности применения этого метода к решению различных задач.

Гипотеза:  неравенство Коши  является  эффективным способом доказательства гипотез и может быть использовано при решении многих задач математики и физики.

Задачи:

- изучить научно-популярную и специальную литературу по теме исследования;

- рассмотреть основные положения неравенства Коши и следствия из него;

- доказать неравенство Коши самостоятельно;

- выявить виды математических и физических задач, где можно было бы применить неравенство Коши;

- сделать вывод.

Методы исследования: анализ математической литературы и ресурсов Интернета по данной теме; репродуктивное воспроизведение изученного материала; познавательно - поисковая деятельность; анализ и сравнение данных в поиске материала; сравнение и обобщение математических фактов; анализ полученных результатов.

Краткий обзор использованной литературы. Прочитав подборки статей в журналах «Квант», я рассмотрел некоторые виды задач, где применяется неравенство Коши. В книге «Избранные вопросы математики. 9 класс. Факультативный курс» авторов Боковнев О. А., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. я  узнал много интересных фактов о жизни и научной деятельности Огюстена Коши, изложенных и систематизированных в понятной и доступной форме. Информацию о доказательстве неравенства я узнал из учебника «Алгебра и математический анализ 10 класс». На страницах Википедии «Коши Огюстен» я узнал  биографию ученого и некоторые задачи, решенные им. Среднее геометрическое и другие средние хорошо рассмотрены в книге «Геометрия. Дополнительные главы к учебнику. 8 кл» авторов Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Шестаков С.А., Юдина И.И. Различные виды задач, которые можно решить  рассматриваемым  методом, я взял из учебников «Алгебра и начала математического анализа.  10 класс» Мордковича А.Г.  и «Геометрия, 7 – 9» Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др., а также из сборников для подготовки к ГИА, олимпиадных заданий. Некоторые задачи и теоретические факты я рассмотрел на страницах сайта  https://MathUs.ru и из книги «Сборник задач по алгебре для 8 – 9 кл.» авторов Галицкий М. Л., А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.

2. Основная часть

1. Биография Огюстена Луи Коши

А начать свою работу хочется с биографии учёного, в честь которого назвали неравенство. Огюстен Луи Коши родился в 1789 году в семье адвоката. Из истории мы помним, что в этом же году стартовала череда событий «Великая Французская Революция».  И что Коши стал великим учёным в такой трудной обстановке действительно  о чём-то  говорит. Соседями семьи Коши были двое учёных. Первый астроном и физик, которого звали Пьер Симон Лаплас, а второй был химиком по имени Клод Луи Бертолле.  Эти двое учёных  вместе с Жозефом  Лагранжом оказали серьезное влияние на Огюстена, в частности,  на его любовь к математике. И однажды Лагранж сказал: «Этот мальчик как  геометр заменит всех нас». Потом Коши отдают в престижную Центральную школу Пантеона. После её окончания он поступает в Политехническую школу, которую оканчивает через два года. Во время учебы в Политехнической школе он с большим успехом изучал математику. Дальше он в числе первых поступает  в школу мостов и дорог.

В 1811-1812 гг. Коши представил несколько работ в Парижскую академию наук. А в  1813г. переехал в Париж, где занялся научной и преподавательской работой в Политехнической школе. А в 1816 году становится членом Парижской академии наук. [10]

Огюстен Луи  Коши написал более 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов. Его работы относятся к различным областям алгебры, геометрии и математической физики. Также стоит сказать, что он был отличным  механиком и инженером.

2. Неравенство Коши и его доказательство

Для начала рассмотрим определения среднего арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического и других средних величин.

1. Среднее арифметическое - это сумма всех чисел, делённая на их количество.

Для двух чисел:  (a  + b) / 2 (где a, b два различных неотрицательных числа); для трех чисел:

 (a + b + c)/3; для четырёх чисел:  (a+b+c+d)/4; для n чисел:  (a1+a2+a3+…an)/n.

2. Средним геометрическим для n положительных чисел а1, а2, ....., аn называется

такое положительное число а, что аn = а1 а2… аn, обозначается так: .

3. Средним гармоническим для  чисел  a  и b называется число с, определяемое равенством , где с = .
4.  Средним квадратичным для чисел а и b называется число с = . [3]

Задача 1. Пусть a  и b неотрицательные числа. Доказать, что  (*)

Доказательство. Составим разность левой и правой частей неравенства:

.

В итоге получили неотрицательное число, значит  

Равенство левой и правой частей неравенства достигается, только тогда, когда a = b, если a≠ b, то

Таким образом, среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Это неравенство называют неравенством Коши в честь французского математика  Огюстена Луи Коши. [7]

Докажем неравенство (*) для нескольких слагаемых.

1. Для четырех чисел  неравенство Коши имеет вид:  . (**)

Доказательство: .

Неравенство (**) станет равенством при a = b, c = d, , то есть при a = b = c = d.

2. Для трех чисел неравенство Коши имеет вид: .

Доказательство: , откуда a + b + c ≥.

Равенство в нем достигается при a = b = c.

Следствия из неравенства Коши:

1. Для любого  положительного числа а справедливо неравенство а +  (***)

Причем равенство получится, если а = 1. Т.е. сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше двойки, причем равенство достигается, когда оба они равны единице.

2. Пусть а1, а2, …, аn неотрицательные числа, тогда верно неравенство

.

3. Неравенство Коши можно записать в следующем виде:

, a2 + b2 ≥ 2ab, a2 + b2 + c2 ≥ 3. [9]

      4. Запишем неравенство Коши для пар чисел 

         Т.е. =2. Сложив эти неравенства, получим: По теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом получим неравенствоС учетом последнего неравенства неравенство может быть записано следующим образом  

        Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки a и b. В геометрии доказано, что h = . А что такое ? Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что длина медианы, проведенной к гипотенузе, не меньше длины высоты, проведенной к гипотенузе. [7]

Средним геометрическим для n положительных чисел а1, а2, ....., аn называется

такое положительное число а, что аn = а1 а2… аn, обозначается так: .

[2]

2.3. Применение неравенства  Коши к доказательству гипотез и решению

 задач математики и физики

Доказанное неравенство Коши можно применять в решении многих задач, таких как:

- при доказательствах неравенств;

- при решении задач на исследование функций, нахождении их наибольших и наименьших значений;

- при решении уравнений и систем уравнений;

- при решении геометрических задач;

- в решении задач прикладного характера и текстовых  задач;
-  в решении задач физического содержания;

- в решении олимпиадных  задач.

Рассмотрим примеры применения  неравенства Коши.

Пример 1.  Докажите неравенство .

Решение. Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем подобные слагаемые

. Применим к левой части формулу квадрата разности

Каждое из слагаемых полученного выражения неотрицательно, это доказывает справедливость требуемого неравенства. Равенство достигается лишь в том случае, когда . Неравенство доказано.

Пример 2.  Докажите, что при a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 верно неравенство

(a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc.

Доказательство:  воспользуемся  формулами  о  среднем  арифметическом и среднем  геометрическом, которые мы рассмотрели ранее, для чисел a, b, c, d получим:При данных условиях правая и левая части неравенств положительны, а значит, их можно почленно перемножить:

Получим неравенство (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc. Что и требовалось доказать.

Пример 3.  Докажите неравенство     .

Решение.  Данное неравенство можно доказать с помощью неравенства Коши. Разложим второе слагаемое в заданном неравенстве на сумму двух слагаемых и сгруппируем слагаемые так как нам удобно:

Применим к выражению в скобке неравенство Коши

Полученному применим еще раз неравенство Коши

Таким образом, третий раз применив неравенство Коши, доказали неравенство. В цепочке соотношений трижды применялось неравенство Коши для двух положительных чисел. [3]

Пример 4. Решить уравнение   [3]

Решение. Данное уравнение задано для х ≥ 0 и легко видеть, что в области допустимых значений левая часть уравнения всегда положительна. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:

Применяя  неравенство Коши, будем иметь

в котором равенство достигается лишь тогда, когда  

Решая это уравнение, находим корни х1 = 1, х2 = 4.  Так как оба найденных значения положительны, то это и есть искомые корни заданного уравнения. Ответ: х1 = 1, х2 = 4.

Пример 5.  Решить систему уравнений х ≥ 0, у ≥ 0   .

Решение. Так как х ≥ 0, у ≥ 0, то к левой части первого уравнения системы можно применить неравенство Коши, где  n = 3.

.

Отсюда, из первого уравнения системы следует, что примененное неравенство  превратилось в равенство. А это означает, что выполняется условие x3 = 27 y3   или  x = 3y.

Подставим  x = 3y  во второе уравнение системы  и получим  9y2 – 3y2 + y2 = 28  или y2 = 4.

Так как  у ≥ 0 и  x = 3y, то y1 = 2   и  x1 = 6.           Ответ:  y1 = 2   и  x1 = 6.

Эту систему уравнений я пытался решить другим способом, но мне он показался очень трудоемким, оптимальный способ – это применение неравенства Коши.

Пример 6.  При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 300 и периметром  6 см имеет наибольшую площадь? [6]

Решение: Пусть х см – высота трапеции, следовательно боковая сторона тоже равна х см, сторона ВС равна y см.

Тогда периметр равен Р = 3х + 2y + х, откуда 2y = 6 – 3х -х.  

Найдем площадь участка S = x = x = .

Найдем наибольшее значение площади, решив уравнение 2 – х = х.

Равенство достигается при х = 1.

Ответ: При длине высоты трапеции, равной 1 см, её площадь принимает наибольшее значение.

Задачи по физике

Пример 7. Автомобиль едет из пункта А в пункт В со скоростью 60 км/ч. В пункте В он едет с ускорением а до полной остановки. Затем он начинает двигаться равноускоренно в противоположном направлении. Какого должно быть значение а, чтобы после 3 часов после возобновления движения автомобиль находился ближе к пункту В?

Решение.  Равенство достигается, если   

Откуда найдем ускорение  а = v0/t = 60/3 = 20 км/ч2.   Ответ: а = 20 км/ч2.

Пример 8. Конькобежец проходит дистанцию l=500м с постоянной скоростью v, а затем тормозит с ускорением a = 0,05м/с2. При какой  скорости время движения конькобежца до остановки наименьшее? [7]

Решение. Время движения, очевидно. состоит из двух слагаемых: времени движения с постоянной скоростью и времени равнозамдлительного движения до полной остановки:

t = .  А наименьшее время движения  t min=.  достигается при равенстве слагаемых т.е при  v=5м/с.

А теперь рассмотрим задачи, содержащиеся в сборниках для подготовки к ГИА [3]

Пример 9. [8]

Среднее геометрическое трех чисел a, b, c вычисляется по формуле g = . Вычислите среднее геометрическое чисел 3, 9, 27.

Решение: g =

         Пример 10. [8]

Среднее квадратичное трех чисел a, b, c вычисляется по формуле q = . Вычислите среднее квадратичное чисел 2, 11 и 5.

Решение:  q = .

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим может применяться при решении задач на нахождение экстремумов, то есть наибольших и наименьших значений функций.

Пример 11.  Число 10 разбить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

Решение. Пусть 10 = x + y. Предположим, что x >0 и  y > 0.  Применяя неравенство (*), имеем: . Т.е. ху ≤ 25. Значит, наибольшее значение произведения ху, равное 25, достигается при х = у = 5.             Ответ. 10 = 5 + 5.

Пример 12. Найти наименьшее значение функции  при х > 0.

Решение: запишем функцию в виде

.

Значит, наименьшее значение функции  при х > 0 равно 6 и достигается при , то есть при х = 4. Ответ: наименьшее значение функции равно 6.

Пример 13. Найдите наименьшее значение функции   [6]

Решение. Разобьем свободный член на сумму 4 и 1 и представим  в виде

Применим неравенство Коши для двух взаимообратных чисел, тогда:

Прибавим к обеим частям неравенства свободный член 4 и получаем, что  – наименьшее значение функции, которое достигается только при . Следовательно,

Олимпиадные задачи

Пример 14. Решите уравнение:  

Решение. Решим это уравнений, используя следствие 1 из неравенства Коши (***).

Левую часть уравнения можно записать в виде:

, значит .

Правую часть уравнения можно записать в виде:

 . Значит, .

Равенство может иметь место лишь в том случае, когда левая и правая части уравнения равны. Значит так и будет при х = 1. Проверкой убеждаемся, что х = 1 решение уравнения. Ответ: х = 1.

Пример 15. Самолет пролетел путь от А до Б по ветру и путь от В до А против ветра, причем скорость ветра не менялась. В другой раз самолет совершил рейс по тому же маршруту в безветренную погоду. В обоих случаях моторы самолета развивали одинаковую мощность. В каком случае на весь полет ушло меньше времени? [5]

Решение. Пусть скорость самолета х км/ч, а скорость ветра у км/ч. В первый раз самолет затратил на путь , а во второй раз , где S – расстояние АВ.

 =  - , так как х >y >0.

Следовательно,   < и значит, во второй раз самолет пролетит быстрее.

Ответ: в безветренную погоду на весь полет ушло меньше времени.

Пример 16. Из квадратного листа жести со стороной a изготавливается коробка в виде прямоугольного параллелепипеда. Для этого в углах листа вырезаются четыре квадратных куска, и получившаяся фигура складывается по линиям разреза. Найти максимально возможный объём такой коробки. [3]

Решение: сделаем рисунок

Обозначим сторону квадрата х. Тогда в основании коробки получается квадрат со стороной  a − 2x, а высота коробки равна x. Объём коробки:  V = x(a − 2x)2  или запишем по-другому

Используя неравенство Коши, имеем:

  .

Откуда . Максимальное значение объема равно   достигается при x .  Ответ: максимально возможный объём  коробки равен

Пример 17. Средний возраст одиннадцати футболистов 28 лет. Во время игры один из игроков был удалён и средний возраст оставшихся стал равен 27лет. Сколько лет удалённому игроку? [6] 

Решение: средний возраст одиннадцати футболистов  найдем как среднее арифметическое чисел по формуле  = 28,  а средний возраст десяти футболистов  найдем как среднее арифметическое чисел по формуле    = 27.

Составим и решим систему уравнений:

, откуда найдем а11 = 308 – 270 = 38.

Ответ: Удаленному игроку 38 лет.

3. Заключение

Использование неравенства Коши и следствий из него является одной из теоретических основ при решении задач на доказательство и решение неравенств, при решении геометрических  и физических задач, решении уравнений и систем уравнений и т. д.

Знакомясь с неравенством Коши, я изучал специальную литературу, консультировался с учителем математики, анализировал данные и решения задач, пользовался ресурсами Интернета, выполнял необходимые вычисления.

Вывод:   

В ходе работы я узнал, чтобы решать задачи с помощью неравенства Коши нужно знать и активно применять на практике различные средние: арифметическое, геометрическое и другие. А также необходимо «видеть», где использовать эти неравенства.

Одним из достоинств метода является легкость решения задач с его применением. И действительно можно сказать, что неравенство Коши гораздо более эффективно, нежели обычный способ решения, а иногда он является единственным. Если понимать суть данного метода, то он будет отличным помощником в решении многих задач. А недостатком является то, что метод сложен в понимании, и далеко не каждый ученик способен понять принцип работы метода. Результатом моей работы стали знания, с помощью которых можно сложнейшие задачи решать очень просто. Ведь для этого и нужны подобные теоремы, чтобы облегчить и упросить нам решения. Обобщив и систематизировав знания доказательства неравенств с помощью неравенства Коши, я убедился в необходимости его изучения. Кроме того, эти знания повышают интерес к математике, как к науке. В ходе работы я приобрел навыки решения задач,  используя неравенство Коши. Считаю, что эти навыки помогут мне в будущем.

Во время изучения специальной литературы я узнал, что неравенство Коши имеет большое применение, оно всего лишь часть теоремы доказанной Коши, а называется она теорема о среднем. И в будущем я планирую изучить подробно и эту теорему.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.  Геометрия, 7 – 9: Учеб. для  общеобразоват. уч. – М.: Просвещение, 2013.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Шестаков С.А., Юдина И.И. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику. 8 кл. – М.: Вита-Пресс, 2006.
3. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.
4. Боковнев О. А., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. Избранные вопросы математики. 9 класс. Факультативный курс. - М.: Просвещение, 1979г.
5. Галицкий М. Л., А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. – М. Просвещение, 1995.
6. Журнал «Квант» №23, 1999 г.
7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. – М.: Мнемозина, 2014 г.
8. Семенов А.Л., ГИА: 3000 задач с ответами по математике. – М.: Издательство «Экзамен», 2014.
9. https://MathUs.ru
10.  https://ru.wikipedia.org/wiki/Коши,_Огюстен