«Треугольник Паскаля».

Проектная работа по математике

 на тему:

«Треугольник Паскаля».

Ученика 9 «Е» класса

МАОУ гимназии № 69

Имени Сергея Есенина

Бобровских Сергея

Липецк, 2018

Оглавление:

1. Теоретическая часть.

1. Актуальность проблемы. Цель и задачи работы.
2. История исследований.
3. Определение треугольника Паскаля. Бином Ньютона и биноминальные коэффициенты.

1.4.         Построение треугольника Паскаля.

1.5.        Свойства.

2. Практическая часть.

1. Использование в комбинаторике.
2. Связь с теорией вероятностей.
3. Треугольник Серпинского.
4. Применение в математическом анализе.

3. Заключение. Выводы.
4.  Список использованной литературы.

1.1. Введение.

Актуальность проблемы: в последнее время наблюдается тенденция к усложнению математических задач, в том числе в комбинаторике и теории вероятностей. Тем не менее, треугольник Паскаля позволяет быстро их решить. Также эта схема находит применение в других областях математики, так что она довольно часто используется на практике и в наши дни.

Цель работы: изучить треугольник Паскаля и его свойства.

Задачи:

1. Дать определение треугольника Паскаля.
2. Описать схему его построения.
3. Рассмотреть основные свойства.
4. Найти связь с другими областями математики.

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.» Так сказал Мартин Гарднер в своей книге «Математические новеллы». Что же такого необычного в треугольнике Паскаля?

1.2. Для начала немного истории. На самом деле треугольник Паскаля был известен ещё индийским математикам X века под названием Лестница на гору Меру(meru-prastaara). В Иране эту таблицу называют треугольником Омара Хайяма, китайцы - треугольником Яна Хуэя. Мы же знаем его, как треугольник Паскаля в честь французского учёного Блеза Паскаля. Он, несомненно, внёс вклад в развитие представлений об этой таблице, хотя не был в числе его первооткрывателей.

 В 1654 году кавалер де Мере, большой поклонник азартных игр, предложил Паскалю решить некоторые задачи, возникающие при определённых игровых условиях. В ходе решения одной из них, в переписке Паскаля с Ферма, закладываются основы теории вероятностей. Учёные, решая задачу о распределении ставок между игроками при прерванной серии партий, использовали каждый свой аналитический метод подсчёта вероятностей и пришли к одинаковому результату. Паскаль создаёт «Трактат об арифметическом треугольнике» (издан в 1665 году), где исследует свойства «треугольника Паскаля» и его применение к подсчёту числа сочетаний, не прибегая к алгебраическим формулам.

1.3. Перейдём к изучению треугольника Паскаля. Также рассмотрим его основные свойства.

Его определение таково: треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. Даже здесь можно встретить незнакомые слова. Например, что это – биноминальные коэффициенты? Дадим определение.

Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона (1 + x) n по степеням x.  То есть, если мы начнём раскладывать на отдельные слагаемые многочлен (1+x) n, то перед любым k(k. Это и будет биномиальным коэффициентом. А бином Ньютона позволяет разложить на отдельные слагаемые любую сумму двух переменных в n-ной степени: (a + b) n.

1.4. Итак, треугольник Паскаля представляет собой бесконечную таблицу коэффициентов разложения суммы на слагаемые. По какой схеме строится этот треугольник? В его основании находится единица (это строка называется нулевой). В следующей строке две единицы, а начиная с третьей строки по краям находятся единицы, а остальные числа представляют собой сумму чисел над ними. Получается вот такая схема:

1.5. Настало время переходить к свойствам треугольника. Первое, и самое главное было уже упомянуто. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, — это биномиальные коэффициенты. Например, (x+y)2=x2+2xy+y2 и (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3. Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 - в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y) n, достаточно взглянуть на n-ую строку треугольника. Именно это свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений.

Другие свойства (первые два для строки с номером n):

1. Первое и последнее числа равны 1.
2. Второе и предпоследнее числа равны n.
3. Первая зелёная линия – последовательность натуральных чисел.
4. Третье число равно треугольному числу (количеству кружков, которые можно расставить в виде равностороннего треугольника, т. е. 1, 3, 6, 10…). Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21… (вторая зелёная линия) и так далее.  Каждый член этого ряда равен сумме натурального ряда чисел (21=1+2+3+4+5+6).
5. Четвёртое число является тетраэдрическим, т. е. представляет собой пирамиду с треугольником в основании (1, 4, 10, 20, 35…- третья зелёная линия)
6. Следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35...) демонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - 1 шар касается 4, а те, в свою очередь, десяти... Еще более невообразимый пятимерный тетраэдр «выстраивается» с помощью чисел шестого ряда треугольника Паскаля: 1, 6, 21, 56, 126…
7. Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную постоянным читателям последовательность чисел Фибоначчи (элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…, в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
8. Сумма чисел n-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля равна 2n. Действительно, при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1.
9. Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана (последовательность: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132…). Например, для второй строки: 2-1=1; для шестой строки 20-15=5.
10.  Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

2.1. Я предоставил основные свойства треугольника Паскаля. Однако числа, встречающиеся в нём, возникают естественным образом в самых разных областях математики (алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел).

Начнём с исследования значения треугольника Паскаля в комбинаторике. Рассмотрим пример от Мартина Гарднера: некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать? Для ответа на этот вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7, оно оказывается равным 35. Если вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 7 со строкой 3, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться!

В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего m различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и m-ой строки.

Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой.

А ведь по ней же вычисляются биномиальные коэффициенты, а, следовательно, и числа треугольника Паскаля. Таким образом, можно решить любую задачу на сочетания, не прибегая к сложным подсчётам факториалов. Достаточно найти искомое число в треугольнике Паскаля.

2.2. Связь между комбинаторикой и теорией вероятностей станет ясной, если мы рассмотрим восемь возможных исходов бросания трех монет: ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РГР, РРГ, РРР. Нетрудно видеть, что три герба выпадают лишь в одном случае, два герба - в трех случаях, один герб - также в трех случаях и ни одного герба - в одном случае. Числа благоприятных исходов для получения 3, 2, 1 и 0 гербов равны 1, 3, 3, 1. Именно эти числа стоят в третьей строке треугольника Паскаля.

Предположим теперь, что мы хотим узнать вероятность выпадения ровно 5 гербов при одновременном бросании 10 монет. Прежде всего, необходимо подсчитать, сколько существуют различных способов, позволяющих выбрать 5 монет из 10. Ответ мы получим, найдя число, стоящее на пересечении 5-й диагонали и 10-й строки. Оно равно 252. Сложив все числа, стоящие в 10-й строке, мы найдем число возможных исходов, вычисления можно намного сократить, если воспользоваться свойством о сумме чисел в ряду. Десятая степень числа 2 равна 1024. Следовательно, вероятность выпадения пяти гербов при бросании 10 монет равна 252/1024= 63/256.

2.3. Давайте заменим каждое число в треугольнике Паскаля точкой. Причем, нечетные точки выведем контрастным цветом, а четные - прозрачным, или цветом фона. Результат таков: треугольник Паскаля разобьется на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. По мере удаления от вершины нам будут встречаться треугольники все возрастающих размеров, не содержащие ни одной жирной точки, то есть "составленные" из одних лишь четных чисел. Получим фрактал, известный как треугольник Серпинского. 

2.4. Биноминальные коэффициенты, составляющие треугольник Паскаля, используются в математическом анализе для дифференцирования сложных функций. Примером является формула Лейбница для нахождения производной произведения, где u и v - n раз дифференцируемые функции:

3. Выводы.

1. Треугольник Паскаля – бесконечная таблица биноминальных коэффициентов.

2. В основании треугольника находится единица, в следующей строке две единицы; в каждой следующей строке первое и последнее число равно 1, а остальные – сумме чисел над ними.

3. Числа на диагоналях треугольника Паскаля обладают интересными свойствами, образуя различные последовательности (натуральных чисел, треугольных чисел, чисел Фибоначчи и т.д.)

4. Числа, составляющие треугольник Паскаля, используются прежде всего в комбинаторике и теории вероятностей, однако могут встретиться и в других областях математики.

4. Список использованной литературы:

Журнал Hard’n’soft №10, 2003

Сайт ru.Wikipedia.org

Сайт fb.ru

Информатика-54. Треугольник Паскаля. А.Н.Швец