Теорема Пифагора

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГИМНАЗИЯ № 5

РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ:

«ТЕОРЕМА ПИФАГОРА».

Работу выполнил ученик 9В класса

Воейков Алексей

Проверила учитель математики

Павлова Н.В.

РЯЗАНЬ, 2015 ГОД

1. Введение…………………………………………………………………………………………..2
2.  Биография Пифагора……………………………………………………………………….3
3.  Пифагорейская школа……………………………………………………………………..6
4. Теорема Пифагора…………………………………………………………………………..10

• Простейшее доказательство.
• Древнекитайское доказательство.
• Доказательство Дж. Гардфилда
• Доказательство Бхаскара.
• Доказательство древних индусов.
• Доказательство Евклида.

5. Интересные факты о Пифагоре и теореме Пифагора…………………..15
6. Заключение…………………………………………………………………………………...16
7. Список литературы………………………………………………………………………..17

1.Введение.

Геометрию мы изучаем в школе с 7 класса, но эта наука меня очень заинтересовала, поэтому я решил написать реферат именно по этому предмету. Темой я выбрал теорему Пифагора, так как , пожалуй , не найдется ни одного человека, который о ней не слышал. Во-первых, я хотел познакомиться с различными способами доказательства этой теоремы и рассказать о них своим одноклассникам, во-вторых, изучить биографию самого Пифагора.

Задачи:

Изучить дополнительную литературу по данной теме;

Проанализировать материал;

Составить работу и презентацию по данной теме;

Познакомить своих одноклассников с данной работой.

2. Биография Пифагора.

  Пифагор (580-500 гг. до н.э.) родился на острове Самос у берегов Малой Азии, на одном из самых цветущих островов Ионии, в семье золотых дел мастера Мнесарха – резчика по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы», но стяжал скорее славу, чем богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось.

Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".)

Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера.

Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя.

 У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из "Одиссеи" и "Илиады". Первый учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам.

 На острове Лесбос Пифагор учится у Ферекида астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел, медицине и другим обязательным для того времени наукам.

Оттуда путь Пифагора лежит в Милет - к знаменитому Фалесу, основателю первой в истории философской школы. Пифагор внимательно слушает в Милете лекции Фалеса, тогда уже восьмидесятилетнего старца. Но Фалес советует ему поехать в Египет, чтобы продолжить образование. И Пифагор отправляется в путь. Итак, перед Пифагором открывается неизвестная страна и неведомая культура. Многое поражало и удивляло Пифагора в этой стране, и после некоторых наблюдений за жизнью египтян Пифагор понял, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит через религию. В Египте благодаря покровительству фараона Амазиса Пифагор знакомится с мемфисскими жрецами. Ему удается проникнуть в "святая святых" - египетские храмы, куда чужестранцы не допускались. Чтобы приобщиться к тайнам египетских храмов, Пифагор, следуя традиции, принимает посвящение в сан жреца.

Вместе с египетскими мальчиками сел за известняковые пластинки и он, возмужалый Эллин с черной курчавой бородой. Но в отличие от своих меньших сотоварищей уши бородатого Эллина были не на спине, да и голова стояла на месте. Очень скоро Пифагор далеко обогнал своих однокашников. Но школа писцов была лишь первой ступенью на пути к тайному знанию.

После одиннадцати лет обучения в Египте Пифагор отправляется на родину, где по пути попадает в Вавилонский плен. Там он знакомится с вавилонской наукой, которая была более развита, чем египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Они успешно применяли теорему Пифагора более чем за 1000 лет до Пифагора. Сбежав из плена, он не смог долго оставаться на родине из-за царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).

Именно в Кротоне начинается самый славный период в жизни Пифагора. Там он учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. [18] 

Учение Пифагора следует разбить на две части: научный подход к познанию мира и религиозно-мистический образ жизни, проповедуемый Пифагором. В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности.

В заключение о жизни Пифагора хочу рассказать о смерти Пифагора, она, как вся его жизнь, тоже окутана тайной, потому что достоверно сказать, как именно умер Пифагор, невозможно.

У Пифагора было множество учеников они оставили о себе память во многих областях: во-первых, отделили религиозные верования о душе от вопроса о ее предназначении . Другая область их деятельности лежала на противоположном конце — в научных исследованиях, положивших начало и ставших образцом строго научных исследований в Греции, и, в итоге, к новой картине мира, описанной, прежде всего, математически.

Филолай. Древнегреческий философ, математик, ученик Пифагора, современник Сократа и Демокрита. Филолай продолжил исследования математических оснований музыки, начатые другими пифагорейцами.

Архи́т Та́рентский. Философ-пифагореец, математик, теоретик музыки, государственный деятель и полководец. Был современником и другом Платона.

3. Пифагорейская школа.

 Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством.

Свою школу Пифагор создает как организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; по утверждению некоторых историков, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания. Другим законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось – вплоть до смерти.

  Главным пифагорейским символом здоровья и опознавательным знаком была пентаграмма - звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Он содержал все пропорции: геометрическую, арифметическую, золотую. Она была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма предохраняет от «нечистой силы». Пятиконечной звезде около 3000 лет. Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Внутренняя красота математического строения была еще замечена Пифагором. Нравственные принципы, проповедуемые Пифагором и сегодня достойны подражания. Его школа способствовала формированию интеллектуальной элиты. Пифагорейцы жили по определенным заповедям, и нам тоже не помешало бы их придерживаться, хотя им уже около двух с половиной тысяч лет. Школа была основана Пифагором в Кротоне (Южная Италия) и просуществовала до начала IV в. до н.э., хотя гонения на нее начались практически сразу после смерти Пифагора в 500 г. По сути, это была первая философская школа.

Правила поступления в школу и учебы там:

• давали обет пятилетнего молчания

•принятые в школу могли слушать голос учителя лишь из-за занавеса, а увидеть могли только тогда, когда их "души будут очищены музыкой и тайной гармонией чисел

• должны уметь хранить тайны

• должны следовать нравственным принципам: "Быть всегда в словах и поступках стремись справедливым", "Пусть - что важнее всего - твоим главным судьей станет совесть". Утром и вечером - в часы, наиболее подходящие для размышлений - следовало окинуть мысленным взором все, что сделано и что предстоит еще сделать: "В успокоительный сон не должно тебе погружаться прежде, чем снова не вспомнишь о каждом сегодняшнем деле, в чем провинился? Что мог совершить? И чего не исполнил?"

                                           Распорядок дня:

  Утро надлежало начинать со стихов: Прежде, чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, Думай, раскинь, какие дела тебе день приготовил.

• упражнения для памяти, помогающие запоминать нужные сведения

• шли на берег моря встречать восход солнца

• обдумывали дела предстоящего дня

• гимнастика

• завтрак

• совместное купание вечером

• прогулка

• ужин

• возлияние богам

• чтение            

• перед сном ученики давали себе отчет о прошедшем дне, заканчивая его стихами: Не допускай ленивого сна на усталые очи, Прежде, чем на три вопроса о деле дневном не ответишь: Что я сделал? Чего не сделал? Что мне осталось сделать?

        Открытия пифагорейцев в области геометрии
•Теорема Пифагора
•Теорема о равенстве внутренних углов
• «приложения» площадей, то есть построения на данном отрезке прямоугольника, имеющего данную площадь.
•Пифагорейцы дали общее доказательство теоремы о равенстве внутренних углов треугольников двум прямым; они были знакомы со свойствами и построением правильных 3-, 4-, 5- и 6-угольников.

В пифагорейской школе начали развиваться астрономия и медицина. Пифагорейцев можно считать родоначальниками гуманитарной, естественной, точной и систематической наук. Пифагорейцы придавали большое значение геометрическим фигурам.

 Треугольник - есть первоисточник рождения и сотворения различных видов вещей.

  Квадрат несет в себе образ божественной природы, эта фигура символизирует высокое достоинство, ибо прямые углы предают целостность, а количество сторон способно устоять перед силой.

 Здесь нужно упомянуть о главном пифагорском символе - пифагорская звезда, которая образована диагоналями правильного пятиугольника. 

Сейчас трудно сказать, какие научные идеи принадлежат Пифагору, какие его воспитанникам и последователям. Осталось неизвестным, он ли открыл и доказал знаменитую теорему, носящую его имя, ему ли самому удалось впервые доказать теорему о сумме углов треугольника.

           Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учит медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, впервые появились именно в Школе Пифагора. Пифагор прожил 80 лет. Существует много легенд о его смерти. По одной из них он был убит в уличной схватке.

    Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и  составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

 Для нас Пифагор - математик. В древности было иначе. Для своих современников Пифагор прежде всего был религиозным пророком, воплощением  высшей  божественной мудрости.  Одни называли его математиком, философом, другие - шарлатаном. Интересен и тот факт, что Пифагор  первым и четыре раза подряд был олимпийским чемпионом по кулачному бою.

4. Теорема Пифагора.

А теперь поговорим о величайшем достижении Пифагора, об его теореме, хотя в настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод с греческого):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:

"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал".

Есть несколько видов доказательства данной теоремы, придуманных в разное время разными людьми. И все они взаимосвязаны.

 4.1 Простейшее доказательство. 

Доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. 

4.2  Древнекитайское доказательство 

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

 


a2 +2ab+b2 =c2 +2ab 

a2 +b2 =c2 

4.3. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.) 

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

S = 

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S = 

Приравнивая данные выражения, получаем: 

 или с2 = a2 + b2 

4.4 Доказательство Бхаскары.

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b);

Пусть СКВЕ = а, DLCK, AMDL 

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

 

 

. 

4.5. Доказательство древних индусов.

а)                                                                                             б) 

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с2 = а2 + b2.

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом: 

Смотри! 

4.6. Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры. 

Интересные факты

1. Теорема Пифагора упоминается в повести Евгения Велтистова «Электроник — мальчик из чемодана», где Электроник в роли Сыроежкина на уроке математики в школе утверждает, что может доказать теорему Пифагора двадцатью пятью способами и приводит некоторые из них.

2. Рождение ребёнка предсказала жрица - прорицательница Пифия, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия». В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой исторические исследования датируют его появление на свет приблизительно 580 годом до нашей эры.

3. Пифагорейская   звезда   (пентаграмма) была    тайным    знаком,    по     которому пифагорейцы  узнавали  друг  друга.

4. У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь Мня.

5. В честь Пифагора назван кратер на Луне.

6.В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса, подобных человеку. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора . Неизвестно, как это сделать, но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Заключение.

Возможно, значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. Теорема Пифагора - фундамент, базис, основа всех математических вычислений, расчетов и многих изобретений. Творческая работа по изучению биографии Пифагора и математического наследия позволила в корне изменить все мои взгляды на этого великого и гениального ученого  древности. Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы  свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Считаю, что его труды и великие открытия, которые он произвел, до сих пор актуальны, так как находят свое применение во многих отраслях науки и жизнедеятельности всего человечества. Куда бы мы ни посмотрели, везде можно увидеть плоды его великих идей, воплощенные в различные реалии современной жизни.  

Литература.

1. Депман И.Я.  «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы  Москва «Просвещение», 1989год, 287с.
2. Кисилев А.П. Элементарная  геометрия  Москва «Просвещение», 1980 год, 287с.
3. Погорелов А.В.  Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений Москва «Просвещение», 2006год.
4. http://www.greek.ru/
5. http://ega-math.narod.ru/
6. ru.wikipedia.org
7. http://dic.academic.ru/
8. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/History/Persones/Pythagoras.html