Научно-исследовательская работа на тему «Математическая логика».

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя школа №1 г. Павлово.

Научно-исследовательская работа на тему

«Математическая логика».

Отделение: физико-математическое

Секция: математика

Выполнил:

ученик 11 А класса Трухин Николай (17 лет)

Научный руководитель:

 учитель математики

Лефанова Н. А.

г. Павлово

2018 г.

Оглавление.

1. Введение……………………………………………………………………..3-4
2. Основная часть…………………………………………………………….5-19
3. Заключение……………………………………………………………….20-26
4. Список литературы…………………………………………………………..27

I. Введение.

Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности. Это умение получило основательное развитие изначально только в трёх традициях: в китайской, индийской и греческой. Хотя точные даты не слишком достоверны (особенно в случае Индии), скорее всего, логика возникла во всех трёх культурах в IV веке до н. э.

Логика в Китае появилась в период появления большого количества школ, конкуренции и дискуссий между ними. Современник Конфуция Мо-цзы (V—IV вв. до н. э) был известен как основатель древнекитайской философской школы, представители которой занимались поиском источников достоверного рассуждения и условий его правильности. В области аргументации они предпочитали разработку рассуждения по аналогии разработке дедукции

Истоки логики в Индии можно проследить в грамматических текстах V века до н. э. Две из шести ведийских школ индийской философии — «ньяя» и «вайшешика» — занимались методологией познания, из этого проблемного поля и выделилась логика. Само название школы «ньяя» значит «логика». Главным её достижением и была разработка логики и методологии, ставших впоследствии общим достоянием.

Логика была развита в VI в. до н.э. в работах великого древнегреческого философа Аристотеля, его учеников и последователей.

Аристотель (384—322 гг. до н. э.), в своих трактатах обстоятельно исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений  и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления, в том числе законы противоречия.. 

Математическая логика тесно связана с логикой и обязана ей своим возникновением. В справочной литературе математическая логика определяется как раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики.

В какой-то момент математики задали вопрос: «В чем, собственно, состоит математика, математическая деятельность?» Простой ответ заключается в том, что математики доказывают теоремы, то есть выясняют некоторые истины о реальном мире и «идеальном математическом мире». Попытка ответить на вопрос что такое математическая теорема, математическая истина и что такое математическое утверждение истинно или доказуемо, это и сеть исходная точка математической логики. В науке приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, числовые закономерности, правила, выводить и доказывать теоремы. Например, в 1781 г. была открыта планета Уран.  Наблюдения показали, что движение этой планеты отличается от теоретически вычисленного движения.  Французский ученый Леверье (1811-1877гг.), логически рассуждая и выполнив довольно сложные вычисления, определил влияние на Уран другой планеты и указал место ее нахождения. В 1846 г. астроном Галле подтвердил существование планеты, которая была названа Нептун. При этом они использовали логику математических рассуждений и вычислений.

Мощным импульсом для развития и расширения области применения математической логики стало появление электронно-вычислительных машин. Оказалось, что в рамках математической логики уже есть готовый аппарат для проектирования вычислительной техники. Методы и понятия математической логики является основой, ядром интеллектуальных информационных систем.  Работая над данной темой, я убедился в ее актуальности. 

Сфера применения математической логики очень широка. С каждым годом растет глубокое проникновение идей и методов математической логики в информатику, вычислительную математику, лингвистику, философию. Средства математической логики стали эффективным рабочим инструментом для специалистов многих отраслей науки и техники.

Цель работы: изучение возможностей математической логики в различных областях и деятельности человека.

Задачи:

1. Познакомиться с историей возникновения математической логики.
2. Изучить элементы, процессы и теоремы математической логики.
3. Решение задач на математическую логику.
4. Проследить сферы применения математической логики.

Гипотеза: активно ли применяется математическая логика в настоящее время?

Методы: теоретическое изучение темы, анализ, сопоставление, синтез, решение задач, выполнение практической работы, применение логических формул в информатике и бухгалтерском деле.

II. Основная часть.

Математическая логика есть логика по предмету, математика по методу. Она изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера. Суждения в математической логике называют высказываниями или логическими выражениями. Подобно тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики.

С алгеброй высказываний я познакомился в 8 классе при решении задач на истинность и ложность. Вот примеры таких задач:

Задача№1

Однажды в Артеке за круглым столом оказался пятеро ребят из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска:  Юра, Толя, Леша, Коля и Витя. Известно, что:

1. Москвич сидел между Томичем и Витей.
2. Петербуржец – между Юрой и Толей, а напротив него сидели пермяк и Алеша.
3. Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, а Юра не был в Москве и Томске.
4. Томич с Толей регулярно переписываются.

    Определить в каком городе живет каждый из ребят?

Решение:

Ответ: Юра- Новгород, Толя - Москва, Леша - Томск, Коля - Пермь, Витя – Санкт-Петербург.

Задача№2

Воронов, Павлов, Левицкий и Сахаров - четыре талантливых человека. Один из них - танцор, другой - художник, третий - певец, четвертый - писатель. Известно, что:

1. Воронов и Левицкий сидели в зале консерватории в тот вечер, когда певец  дебютировал в сольном концерте;
2. Павлов и писатель вместе позировали художнику;
3. Писатель написал о Сахарове и собирается писать о Воронове;
4. Воронов никогда не слышал о Левицком.

Кто чем занимается?

Решение:

Ответ: Павлов - певец, Воронов - танцор, Левицкий - писатель, Сахаров - художник.

Задача№3

 В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас имеет белые, один черные, а один рыжие волосы, но, ни у кого цвет волос не совпадает с фамилией», – заметил черноволосый. «Ты прав», – сказал Белов.

Какой цвет волос у художника?

Ответ: У художника черный цвет волос.

Логика, в отличие от математики (изучающей количественные отношения и пространственные формы) изучает не количественные отношения между объектами.

Вопросы математики: «сколько?», «как далеко?», «как долго?» и т.д. (т.е. вопросы о количественных отношениях).

Вопросы логики: «что это значит?», «есть ли противоречие в этом суждении?», «каковы основания этого доказательства?» и т.д. (т.е. вопросы о неколичественных отношениях).

Основными объектами математической логики являются высказывания и логические процедуры, поскольку все научные знания и процессы управления  формулируются как последовательность утвердительных повествовательных предложений. Поэтому логика как наука должна содержать список правил получения правильных высказываний.

Аристотель определял высказывание как языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности.

Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Примеры высказываний:

1. Париж – столица Франции.
2. Число 1000 является простым.
3. Луна – спутник Земли.

Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 1000 составное 1000=10*10*10.

Следующие предложения высказываниями не являются:

• Давайте обедать.
• 2*x>8.
• a*x2+b*x+c=0.
• Который час?

Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.

С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

Примеры высказываний:

1. Сегодня целый день идет дождь.
2. Щенок спит.

Каждое из этих высказываний характеризует свойства или состояние конкретного объекта. Каждое из этих высказываний несет значение «истина» или «ложь».

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0.

Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные - логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С.

Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно.

 В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух), связанных логическими операциями.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Логическое выражение - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Связки "НЕ", "И", "ИЛИ" заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение. 

Конъюнкция (логическое умножение) - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И» сложное высказывание также считается ложным.

Дизъюнкция (логическое сложение) - это логическая операция, которая каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно (союз «или»).

Рассмотренные выше операции были двуместными (бинарными), т.е. выполнялись над двумя операндами (высказываниями). В алгебре логики определена и широко используется и одноместная (унарная) операция отрицание.

Инверсия (отрицание) - логическая операция, которая с помощью связки «не» каждому исходному высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается. То есть, исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным.

Высказывание, составленное из двух высказываний при помощи связки «если ..., то ...», называется логическим следованием (импликацией). Из «А» => «B». То есть новое высказывание, полученное с помощью импликации, является ложным тогда и только тогда, когда условие (А) - истинно, а следствие (В) - ложно и истинно во всех остальных случаях. 

Высказывание, составленное из двух высказываний при помощи связки «тогда и только тогда, когда», называется эквивалентностью (эквивалентность - логическое тождество, равнозначность, взаимная обусловленность). «А»⬄ «B». То есть новое высказывание, полученное с использованием эквивалентности, является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

В алгебре логики логические связки и соответствующие им логические операции имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:

Примеры записи сложных высказываний с помощью обозначения логических связок:

1. "Быть иль не быть - вот в чем вопрос." (В. Шекспир) А V ¬ A <=> В
2. "Если хочешь быть красивым, поступи в гусары." (К. Прутков) А => В

Изучив логические выражения и логические операции, я применил полученные знания для решения задач.

Задача №1.

Для какого числа X истинно высказывание:

((x<4)→(x<3))^((x<3)→(x<1))

1)1  2)2   3)3  4)4

Решение:

Подставляем в выражение предложенные варианты ответа и определяем, истинно выражение или ложно:

1) x=1:  ((1<4)→(1<3))^((1<3)→(1<1))=(1→1)^(1→0)

             Сначала вычислим выражение в скобках:

             (1→1)^(1→0)=1^0=0   (не подходит)

    Аналогично подставляем другие варианты ответа, вычисляем:

2) x=2:   ((2<4)→(2<3))^((2<3)→(2<1))=(1→1)^(1→0)=1^0=0   (не подходит)

3) x=3:  ((3<4)→(3<3))^((3<3)→(3<1))=(1→0)^(0→0)=0^1=0    (не подходит)

4) x=4:  ((4<4)→(4<3))^((4<3)→(4<1))=(0→0)^(0→0)=1^1=1    (подходит)

Ответ: 4

Задача №2.

Для какого имени ложно высказывание:

(первая буква гласная ^последняя буква согласная)→ ¬(третья буква согласная)?

Дмитрий 2) Антон 3) Екатерина 4) Анатолий

Подставляем в выражение предложенные варианты ответа и определяем, истинно выражение или ложно:

1. Дмитрий:    (0 ^ 1)→ ¬(0)=0→1 = 1 (не подходит)
2. Антон:         (1 ^ 1)→ ¬(1)=1→0 = 0 (подходит)
3. Екатерина: (1 ^ 0)→ ¬(0)=0→1 = 1 ( не подходит)
4. Анатолий:   (1 ^ 1)→ ¬(0)=1→1 = 1 ( не подходит)

Ответ: 2.

Задача №3.

Какое логическое выражение равносильно выражению

Решение: применим отрицание к выражению в скобках в соответствии с законом инверсии:

Ответ: 2.

Далее я познакомился с логическими функциями.  Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f (a, b).

Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части - соответствующие значения логической функции. При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций.

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

1. инверсия;
2. конъюнкция;
3. дизъюнкция;
4. импликация;
5. эквивалентность.

Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:

1. Определить количество строк:

количество строк = 2n + строка для заголовка,

n - количество простых высказываний.

2. Определить количество столбцов:

количество столбцов = количество переменных + количество логических операций;

• определить количество переменных (простых выражений);
• определить количество логических операций и последовательность их выполнения.

3. Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности с учетом таблиц истинности основных логических операций.

Используя данный алгоритм, составляем таблицу истинности логического выражения D = ¬ А ∧ (B ∧ C).

Решение:

1. Определить количество строк:

на входе три простых высказывания: А, В, С поэтому n=3 и количество строк = 23 +1 = 9.

2. Определить количество столбцов:

• простые выражения (переменные): А, В, С;
• промежуточные результаты (логические операции): 
  ¬ А - инверсия (обозначим через E); 
  B ∧ C - операция дизъюнкции (обозначим через F); 
  а также искомое окончательное значение арифметического выражения: 
  D = ¬ А ∧ (B ∧ C). т.е. D = E ∧ F - это операция конъюнкции.

3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций.

Возможно построение логической функции по ее таблице истинности.

Алгоритм построения логической функции по ее таблице истинности:

1. Выделить в таблице истинности те строки, в которых значение функции равно 1.
2. Выписать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких логических элементов. Число этих элементов равно числу выделенных строк.
3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции записать в виде конъюнкции аргументов функции.
4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблице равно 0, то этот аргумент взять с отрицанием.

Дана таблица истинности для некоторой логической функции
Z(X,Y):

Решение:

1. В первой и третьей строках таблицы истинности значение функции равно 1.
2. Так как строки две, получаем дизъюнкцию двух элементов: (X) V (Y).
3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции запишем в виде конъюнкции аргументов функции X и Y: (X  ∧Y) V (X  ∧Y).
4. Берем аргумент с отрицанием если его значение в соответствующей строке таблицы равно 0 и получаем искомую функцию:
   Z (X, Y) =(¬ X ∧ ¬Y) V (X  ∧¬Y).

Для преобразования логических выражений  нужно знать законы логики:

1. Закон двойного отрицания (двойное отрицание исключает отрицание):

А = .

2. Переместительный (коммутативный) закон:

• для логического сложения: А  ∧ B = B  ∧ A;
• для логического умножения: A ∧ B = B ∧ A.

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

• для логического сложения: (А  ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C);
• для логического умножения: (A  ∧B) ∧ C = A  ∧ (B  ∧ C).

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

• для логического сложения: (А  ∧ B)  ∧ C = (A ∧ C)  ∧ (B ∧ C);
• для логического умножения: (A  ∧ B) ∧  C = (A  ∧ C)  ∧ (B  ∧C).

Закон определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

• для логического сложения: =  ∧;
• для логического умножения: =   ∧ 

6. Закон идемпотентности:

• для логического сложения: А  ∧A = A;
• для логического умножения: A ∧ A = A .

Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Законы исключения констант:

• для логического сложения: А ∧ 1 = 1, А ∧ 0 = A;
• для логического умножения: A  ∧ 1 = A, A ∧ 0 = 0.

8. Закон противоречия:

• A ∧  = 0.

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

9. Закон исключения третьего:

• A ∧  = 1.

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

10. Закон поглощения:

• для логического сложения: А  ∧ (A  ∧B) = A;
• для логического умножения: A ∧ (A  ∧B) = A.

Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие - основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, законы де Моргана и др.). Нарушение законов логики приводит к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

Решим несколько задач на законы логики.

Задача №1.

Упростить формулу (А ∧ В)  ∧ (А  ∧С).

Решение:

1. Раскроем скобки: (А ∧ В)  ∧ (А  ∧С) = A  ∧ A  ∧ A ∧  C  ∧ B  ∧ A ∧  B ∧ C;
2. По закону идемпотентности A ∧ A =A, следовательно, 
   A  ∧ A  ∧ A  ∧ C  ∧ B ∧ A ∧ B ∧ C = A ∧ A  ∧C ∧B  ∧ A  ∧B  ∧ C;
3. В высказываниях А и А  ∧ C вынесем за скобки А и используя свойство А + 1= 1, получим 
   A  ∧ A  ∧C ∧ B ∧ A  ∧B  ∧C = A ∧ (1  ∧C)  ∧ B  ∧ A ∧ B  ∧ C = A  ∧B  ∧A ∧ B  ∧C;
4. Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А. 
   A ∧ B ∧ A ∧ B  ∧C = A ∧ (1 ∧ B)  ∧B  ∧C = A  ∧ B  ∧ C.

Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

Задача №2.

Упростить выражения  так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

Решение: 
 

Поскольку логика изучает формы мышления,  а мышление неразрывно связано с языком, постольку логика является также наукой о языке.

 Язык - это любая знаковая информационная система (система слов или знаков), выполняющая функцию формирования, хранения и передачи информации в процессе познания действительности и общения между людьми.

В логике различают языки логики высказываний и логики предикатов. Язык логики высказываний используется для описания структуры высказываний, рассуждений, предложений. Логика высказываний может быть классической (двузначной) или многозначной. Язык логики предикатов используется для описания внутренней структуры высказываний.

Алфавит языка логики предикатов состоит из следующих символов:

а)      а, Ь, с... - постоянные предметные термины;

б)      x,y,z...- переменные предметные термины;

в)      Р, Q, R ... - предикатные термины (имена свойств);

г)       p, q, r ... - пропозициональные термины (имена высказываний);

д)      кванторы:  - все,  - некоторые;

е)     логические союзы, которые соответственно читаются: «и», «или», «если…,то...», «если, и только если, то...» и называются знаком отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности;

ж)      технические знаки: , - запятая; () - скобки.

С помощью приведенного алфавита строится формализованная логическая система. Результатом строгой формализации становится формальная система, которая предполагает полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.  Формальная система — это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в которой представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учёта смыслового содержания, то есть семантики*.

Семантикой* называется раздел семиотики (особая наука о знаках), в котором, прежде всего, исследуются отношения знаков к представляемым ими объектам, а также смыслы знаков, поскольку они являются одним из средств установления связи знаков и их значений.

Строго описанные формальные системы появились после того, как была предложена 7-я проблема Гильберта  (Давид Гильберт (1862-1943) -  немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики). 

Меня заинтересовала 2-я проблема Гильберта, которая связана с  математической логикой. Проблема звучит так: аксиомы арифметики противоречивы или нет? До сих пор среди математического сообщества нет консенсуса относительно того решена она или нет. Курт Гёдель (1906-1978-австрийский логик, математик и философ математики) доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики (если только арифметика не является на самом деле противоречивой).

Непосредственное отношение ко второй проблеме Гильберта  имеют две теоремы математической логики К. Геделя (Теоре́ма Гёделя о неполноте́ и втора́я теоре́ма Гёделя). В этих теоремах говорится о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.

Более подробно я изучил теорему Геделя о неполноте. Она формулируется следующим образом:  любая формальная система аксиом содержит неразрешённые предположения. В теореме Курт Гёдель доказал неполноту (противоречивость) арифметики, но не смог обосновать причины появления этой неполноты. Пользуясь формальной логикой, Курт Гёдель лишь сделал построения, которые в конечном итоге и привели его к противоречию. Теорема Гёделя о неполноте говорит, что в любой теории есть аксиомы, недоказуемые в рамках этой теории. Это очевидно: любая теория в своем корне будет иметь одну или несколько аксиом.

III. Заключение.

При исследовании данной темы  было изучено большое количество теоретических источников, что способствовало систематизации знаний по этой теме. В заключительной части работы я решил применить полученные знания на практике. Тем самым  я еще раз подтвердил выдвинутую гипотезу, что математическая логика активно применяется в наше время.

Практическая работа.

1)Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие — нет (объясните почему):

1. Солнце является спутником Земли;
2. 5+3?4;
3. сегодня отличная погода;
4. Санкт-Петербург расположен на Неве;
5. Давайте слушать музыку Баха;
6. первая космическая скорость равна 7.8 км/сек;
7. железо — металл;
8. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Решение:

 2)Укажите, какие из высказываний предыдущего задания истинны, какие — ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.

Решение:

3)Составьте таблицы истинности логических выражений:

  4)Составьте логическую функцию F (X, Y, Z) для заданной таблицы истинности: 

Решение:

¬X∧Y∧¬Z

5)

1.Какое логическое выражение равносильно выражению:    

2. Какое логическое выражение равносильно выражению:

3.Какое логическое выражение равносильно выражению:

Решение:

Подтверждая активное применение математической логики, хочу привести пример с урока информатики: использование логических функций при работе в программе  Microsoft Excel для составления интерактивного кроссворда, а также для ведения бухгалтерского учета.

Мы живем в таком мире, когда получаем  много информации из непроверенных источников. Из рекламы, из никем не проверяемых книг, из средств массовой информации, от малознакомых людей. Если мы не хотим быть обманутыми, стоит научиться распознавать ложь.

Математическая логика и логика научного метода достаточно развились для того, чтобы сделать очередной шаг: рассмотреть возможность их применения не только в науке, но и в обычном общении.

IV. Список литературы.

1. Савин А.Н. «Энциклопедический словарь юного математика»  М.: «Просвещение» 1985.

2. Игошин В.И. «Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов». – 3-е изд., – М.: Издательский центр «Академия», 2007.
3. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2-е изд. – М.: Физматлит, 2002.

4. В.Ф. Пономарев Математическая логика. часть 1. Логика высказываний. Логика предикатов. Учебное пособие – Калининград: КГТУ, 2001

5. wikipedia.org