Замечательные точки и линии треугольника

Слайд 1

Автор работы: Пятибратова Анна Ученица 10 класса МКОУ « Тальменская СОШ №3» Окружная научно-практическая конференция учащихся Заринского образовательного округа «Шаг в науку» Исследовательская работа на тему: Исследование замечательных точек и линий треугольника

Слайд 2

Цель исследования – дополнить систему знаний о пересечении медиан, биссектрис , высот в треугольнике и классифицировать их свойства. Задачи: 1. Изучить теорию замечательных точек и линий треугольника 2. Показать использование теории при решении задач 3. Выявить области применения замечательных точек и линий треугольника

Слайд 3

Предмет исследования – первичным является объект исследования более широкого понятия, вторичным — предмет исследования, в котором выделяется определенное свойство объекта исследования Объект исследования – замечательные точки и линии треугольника.

Слайд 4

Гипотеза Предполагаю, что большинство задач в геометрии можно решить, используя замечательные линии и точки треугольника.

Слайд 6

Прямая Эйлера В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера . Леонард Эйлер

Слайд 7

Прямая Симсона Для произвольного треугольника основания перпендикуляров, опущенных из любой точки описанной около него окружности на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой, называемой прямой Симсона . Роберт Симсон

Слайд 8

Точка пересечения серединных перпендикуляров Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Слайд 9

Точка пересечения высот Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Слайд 10

Точка пересечения медиан Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Слайд 11

Точка пересечения биссектрис Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Слайд 12

Точка Торричелли Точкой Торричелли этого треугольника называется такая точка О внутри треугольника, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120° , то есть углы АОВ, АОС и ВОС равны 120°. Эванджелист Торричелли

Слайд 13

Окружность девяти точек Точки А 1 , В 1 , С 1 , А 2 , В 2 , С 2 , А 3 , В 3 , С 3 лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

Слайд 14

Точка Жергонна Прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна. Жергонн Джозеф Динас

Слайд 15

Точки Брокара Первой точкой Брокара называется точка Р , лежащая внутри треугольника АВС, и удовлетворяющая условию . Второй точкой Брокара называется точка Q , лежащая внутри треугольника АВС , и удовлетворяющая условию . БРОКАР Генрих Афанасьевич

Слайд 16

Теорема Менелая Пусть на сторонах АВ, ВС и продолжении стороны АС треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , А 1 и B 1 . Точки A 1 , В 1 , С 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Слайд 17

Теорема Чевы Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , A 1 и В 1 . Прямые АА 1 ВВ 1 , CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда Джованни Чева

Слайд 18

Теорема Ван-Обеля Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , A 1 и В 1 . Если прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются в точке О, то имеет место равенство Ван-Обель

Слайд 19

Теорема Стюарта Пусть в треугольнике ABC AB = c , AC = b , BC = a . Точка D делит сторону AB на отрезки AD = c ’ , DB = c ” и CD = d . Тогда имеет место равенство d 2 c = a 2 c ’ + b 2 c ” – cc ’ c ” . Гилберт Стюарт

Слайд 20

Практическое применение В этом положении потенциальная энергия имеет наименьшее значение и сумма отрезков МА+МВ+МС будет наименьшей, а сумма векторов, лежащих на этих отрезках с началом в точке Торричелли, будет равна нулю.

Слайд 21

Задача1 Дано: Решение: ТочкиA 2 , B 2 и C 2 – середины высот AA 1 , BB 1 и CC 1 остроугольного треугольника ABC Найти: сумму углов B 2 A 1 C 2 , C 2 B 1 A 2 и A 2 C 1 B 2

Слайд 22

Решение Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , M – середина стороны AB . Поскольку MB 2 и MA 2 – средние линии прямоугольных треугольников AB 1 B и AA 1 B , то MB 2 H = AB 1 B= 90 o , MA 2 H = BA 1 A= 90 o , поэтому из точек B 2 , A 2 и C 1 отрезок MH виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MH . Четырёхугольник A 2 C 1 B 2 H –вписанный, поэтому A 2 C 1 B 2 = 180 o - A 2 HB 2 = 180 o - A 1 HB 1 = ACB. Аналогично докажем, что B 2 A 1 C 2 = BAC , C 2 B 1 A 2 = ABC . Следовательно , A2C1B2+ B2A1C2+ C2B1A2= ACB+ BAC+ ABC=180 o

Слайд 23

Задача2 Дано: BCF- равнобедренный BF =36 AP=12 Найти: Р

Слайд 24

Способ 1 Пусть BCF – равнобедренный треугольник с основанием BF . Проведем высоту CH . Тогда BH = HF и BF =2 BH =36. Следовательно, FH = BH =18. Тогда по свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, AB = BH = HF = FP =18. Поскольку СН – ось симметрии треугольника ВС F , то центр вписанной окружности лежит на СН , а AB = FP . Следовательно, точки А и Р симметричны относительно прямой СН и поэтому АР || BF . Значит, треугольники АСР и BCF подобны. Отсюда следует, что треугольник АСР равнобедренный и АС = АР . Пусть АС = х . Из подобия треугольников ACP и BCF следует . Отсюда получаем , значит, х =9. Поэтому, ВС = СР = х +18=27. Следовательно, искомый периметр треугольника BCF равен BF +2 BC =36+54=90.

Слайд 25

Способ 2 Так как дана вписанная окружность, то J – есть точка Брокара , тогда треугольник АРН – равнобедренный . , BC = CF , так как треугольник BCF - равнобедренный, ВС = х , АР=12, По изученным свойствам равнобедренного треугольника ВС =27, CF =27, BF =36. P BCF =27+27+36=90. Ответ: 90

Слайд 26

Заключение Задачи включающие в себя решение и разбор тем по замечательным точкам и линиям треугольника в школьной программе раскрываются не полностью и большая часть остается неизученной ( непройденой ).Такие задачи для учеников являются сложными и непривычными, в течение изучения данной темы по школьной программе не вырабатываются необходимые навыки по решению таких задач. Данная тема может частично раскрыться лишь на внеклассных занятиях или с помощью самостоятельного обучения. Эта проблема меня очень заинтересовала, и я постаралась в ней разобраться.

Слайд 27

Список использованной литературы Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т.1. – М.: МЦНМО, 2004. Факультативный курс по математике, автор И.Л. Никольский, Москва, Просвещение, 1991г. Энциклопедический словарь юного математика Савин А.П. М. Педагогика, 1989г. Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л. «Новые встречи с геометрией» - Москва: Наука, 1978г. Голубев В.И., Гольдман А.М., Пятерикова А.Б., Разумейко Р.В., Тарасов В.А., Шикин Е.В. «Треугольник» - Пущино, 1992г. Зив Б.Г., НПО «МИР И СЕМЬЯ-95», «РАРИТЕТ-М», Санкт-Петербург, 1998г. Ященко И.В., «Четвертая Соросовская олимпиада школьников 1997-1998гг.»МЦНМО, Москва, 1998г. Киселев А.П., «Элементарная геометрия», Москва «Просвещение», 1980г.

Слайд 28

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!