Министерство образования и науки Республики Бурятия

Отдел образования МО «Еравнинский район»

МБОУ «Сосново-Озерская средняя общеобразовательная школа №2»

Конференция «Шаг в будущее»

Секция «Геометрия»

Применение подобия треугольников при доказательстве свойства биссектрисы

несколькими способами

Автор: ученик  8 «а» класса

Цыденов Сандан

Научный руководитель: учитель  математики,

учитель высшей категории,

Заслуженный учитель РФ

Цыбикова Сэндэма Дугаровна

с. Сосново-Озерское

2018 год

Оглавление:

Введение……………………………..….………..3
Основная часть…………………………...………5
Задачи……………………………………...……...6
Заключение……………………….…………..…..9
Список использованной литературы…………..10
Приложение………………………………..…….11

        

                                Введение

 Актуальность темы исследования обуславливается необходимостью  изучения и развития теории по геометрии. В системе математического образования геометрия занимает одно из центральных мест. Это связано с тем, что геометрия позволяет путем единичного наглядного рассмотрения объектов в результате   их сравнения и анализа постигать общие истины. С помощью геометрических знаний формируется способность к логическому мышлению, пространственному воображению, осуществляется развитие ума, памяти человека.

   В школьном курсе геометрии особое место принадлежит изучению свойств как произвольных, так и частных случаев треугольников. Однако доказательство свойств  различными  способами представляет собой особую ценность, в плане развития интереса к геометрии, самостоятельного мышления и умения рассуждать. А способность мыслить и действовать творчески, самостоятельно, нетрадиционно и  развиваться в процессе решения геометрических задач, отражает в дальнейшем  степень  практической  подготовленности учащегося  к последующей деятельности в любой сфере. Ознакомившись доказательством теоремы о биссектрисе треугольника, я обнаружил, что способов доказательства, причем с применением признака подобия треугольников по двум углам несколько. И поэтому меня заинтересовало каждое доказательство свойства биссектрисы треугольника.

Проблема  моего исследования  состоит  в  том,  чтобы  раскрыть  свойство биссектрисы треугольника через доказательство  различными способами.

Гипотеза исследования: если доказать свойство биссектрисы несколькими способами
решение многих задач упростится

Объект исследования: биссектриса

Предмет исследования: свойства биссектрисы треугольника        

Цель  исследования: систематизировать и обобщить  сведения о доказательствах биссектрисы треугольника.

Задачи:

1)        изучить литературу по выбранной теме;

2)        сведения о доказательстве биссектрисы треугольника свести в единую   систему, представляющую собой  действенное  знание как необходимое и  значимое;

3)        доказать свойство  биссектрисы  треугольника, используя различные методы доказательств;

4)        показать практическую значимость применения  доказательств теорем;

Методы исследования: описание, анализ литературы, аналитический, аналогия,

сравнительный, классификация

 Как говорил известный австралийский математик Уильям Сойер, что часто полезнее решить одну и ту же  задачу тремя способами, чем решить три  -   четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.        Итак, на примере одной теоремы я хочу показать несколько доказательств свойства  биссектрисы.

Основная часть.

Основные определения и теоремы. Определение биссектрисы и ее свойства

 «Биссектриса»  происходит  от  латинских  слов  «bis» – дважды  и  «seco» - секу  буквально – рассекаю  на  две  части.  

Биссектриса  угла – луч,  выходящий  из  вершины  угла  и  делящий  его  пополам.  

Биссектриса  треугольника – отрезок  биссектрисы  угла  треугольника,  соединяющий  вершину  треугольника  с  точкой  противолежащей  стороны.

Свойство биссектрисы треугольника.  Биссектриса  угла  треугольника  делит  противоположную  сторону  на  части,  пропорциональные  прилежащим  к  ним  сторонам.

Признак  подобия  треугольников.  Если  два  угла  одного  треугольника  соответственно  равны  двум  углам  другого  треугольника,  то  такие  треугольники  подобны. Доказательство. Пусть ABC и АВСА1В1С1 — треугольники, у которых ∠A=∠A1;∠B=∠B1 , и, следовательно, ∠C=∠C1 . Докажем, что △ABC∼△A1B1C1 (рис.1).

 Обобщенная теорема Фалеса:
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки:

Теорема 1.        Биссектриса (BD) любого угла треугольника ABC (рис. 1) делит противоположную сторону (AC) на части (AD и DC), пропорциональные прилежащим сторонам.

Очевидно, если AB=BC, то теорема верна. Поэтому будем считать, что AB≠BC.

Теорема 2 (рис.2)        Биссектриса (BD) внешнего угла треугольника пересекает продолжение его стороны (AC) в точке (D), расстояния от которой до концов этой стороны (A и C) пропорциональны соответственно прилежащим сторонам треугольника (AB и BC) .
                Известно, что если AB=BC, то BD || AC.

Задачи

Используется обобщенная теорема Фалеса:
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки:

№1.(рис.3) Продолжим сторону AB за вершину B и проведем СЕ || BD, тогда треугольник  BCE–равнобедренный, в котором BC=BE. Но по обобщенной теореме Фалеса   =     Следовательно,   =

№2.(рис.4)  Проведем CN || BD, тогда ∠ NCB=∠ CBD= ∠DBE и ∠ CNB= ∠ DBE,  значит, треугольник NBC- равнобедренный, в котором NB=BC. Треугольники ANC и ABD подобны по двум углам, тогда
 =  =  = 1- = 1-  

Отсюда     = 1-  =  =

Используется признак подобия  треугольников по двум углам:
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

  №3. (рис.5) Продолжим биссектрису BD до пересечения в точке E прямой AE || BC, тогда ∠ AED = ∠ DBC = ∠ DBA, а значит, треугольник ABE – равнобедренный и AB = AE. Поскольку вертикальные углы ADE и DBC равны, то треугольники ADE и CDB подобны по двум угла и тогда
 =  =   Следовательно,    

   №4. (рис.6). Продолжим биссектрису BD и на луче BD отметим точку E такую, чтобы AE = AD, тогда ∠ AED = ∠ ADE = ∠ BDC. Следовательно, треугольники ABE и CBD подобны по двум углам. А это значит, что
                                

То есть,    .

   №5. (рис.7) Проведем через точку D прямую DF || AB. Тогда по обобщенной теореме Фалеса.
                                
Поскольку треугольники ABC и DCF подобны по двум углам, то
                                .
Приняв во внимание то, что в результате построения ∠ ABD = ∠ BDF =         = ∠ DBF,

получим равнобедренный треугольник BDF, в котором DF = BF.
Тогда равенство запишется в виде Следовательно, 

№6. (рис.8)  Проведем через точку D две прямые, одна из которых параллельна стороне AB и пересекает сторону BC в точке N, а другая параллельна стороне BC и пересекает сторону AB в точке M. Из построения следует, что DMBN – ромб. Но поскольку DN=MD, то .  Из подобия треугольников AMD и ABC получим . Следовательно,  = .

№7. (рис.9) На стороне AB отложим BM = BC и проведем MC, тогда из равенства треугольников MBO и CBO (по двум сторонам и углу между ними) следует, что MO=OC. Проведем MN || DC. Тогда треугольники MNO и CDO равны по стороне и прилежащим к ней углам, значит, MN=DC. Треугольники MBN и подобны по двум углам, тогда   и учитывая сказанное выше, получим . Следовательно, по свойствам пропорции .

№8. (рис.10)  Проведем прямые BM || BC и  DM || AB, тогда, поскольку ABMD – параллелограмм и BM=AD.                                        (1)
        Но так как ∠ BDN = ∠ ABD = ∠ DBN, то треугольник DNB – равнобедренный и BN=DN.                                                (2)
        Треугольники BNM и DN C подобны по двум углам, тогда.
Подставляя в это равенство условия (1) и (2), получим  Приняв во внимание подобие треугольников ABC и DNC, получаем .        Следовательно,

№9. (рис.11) Проведем AM || BD и MD || BC, тогда ∠ CBD = ∠ BDN = ∠ NBD, значит, треугольник DNB – равнобедренный и

        DN = NB.

Аналогично, ∠ BDN = ∠ NMA = ∠        DBN = ∠ NAM, откуда треугольник NAM – равнобедренный и

AN = NM

Учитывая (1) и (2), делаем вывод, что AB = MD. Приняв во внимание то, что треугольник AMD подобен треугольнику DBC по двум углам, получим
                .

Дано: Треугольник ABC
AD – биссектриса, ∠1 = ∠ 2.
Доказать: биссектриса треугольника
делит противоположную сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим
сторонам треугольника.

Доказательство:
(рис.12)  Пусть AD-биссектриса треугольника ABC. Докажем, что  Треугольники ABD и ACD имеют высоту AH, поэтому. С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу (∠1 = ∠ 2), поэтому  Из двух равенств для отношения площадей получаем, или,  что и требовалось доказать.

Заключение 

    Итак,  я  доказал свойство биссектрисы треугольника несколькими способами с помощью подобия треугольников.   В  результате  эти доказательства   можно  применять при  решении  геометрических  задач Доказательства различными  способами даёт  возможность  полнее исследовать  свойства биссектрисы и выявить  наиболее простое  красивое доказательство.  Нередко способы  доказательств могут быть  в дальнейшем  использованы для  решения  более  трудных задач. Рассмотренные   задачи  значительно  улучшат  умение  решать  задачи,  а  главное  научат  мыслить  и  управлять  своей  математической  мыслительной  деятельностью  не  только  при  решении задач,  но   и  при  изучении  математики  в  целом.

Список использованной литературы:

1. Атанасян Л.С.,  Бутузов В.Ф.,  Кадомцев С.Б.  и  др. Геометрия 7-9. 10-е  издание - М.:Просвещение,  2009 год. –  99 стр.
2. Л. Емельянов, Математика. Приложение к газете «Первое сентября» - № 32 2002  стр  19-24.
3. Фридман  Л. М.,  Турецкий  Е. Н. Как  научиться решать задачи.  Кн. для  учащихся ст.  классов  сред. шк.-3-е  изд., дораб. – М., Просвещение,  1989.-192 с
4. Лысенко Ф.Ф. Математика ГИА - 2009 Изд-во "Легион" 2009.
5. http://e-science.ru/math/theory/?t=294 – теорема Чевы
6. Юзбашев А.В. Свойства геометрических фигур - ключ к решению любых  задач по планиметрии М.: Просвещение 2009,-160c

Рецензия   на   работу,   выполненную  

Цыденовым Санданом

 «Применение подобия треугольников при доказательстве свойства биссектрисы

несколькими способами».

Данная   работа  представляет  собой  практический  и  теоретический  интерес  для  учащихся,  обучающихся на профильном уровне,  а  также  для  учителей. Для  учащихся, которые  будут  сдавать ОГЭ и ЕГЭ, рассмотренные способы доказательства  являются необходимыми для решения задач. Использованы  определения,  свойства, применяемых при изучении геометрии.

          Проработанная    дополнительная   литература     доказывает   глубокий  интерес   ученика  к   поставленной  проблеме.  

                                 Научный руководитель:                                          /   Цыбикова С.Д.  /

(рис.1)                                                (рис.2)

(рис.3)        (рис.4)

                                                                                                                                                                                                                                                (рис5.)                (рис.6)

(рис.7)                                (рис.8)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        (рис.9)                (рис.10)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                (рис.11^[a])        (рис.12)