Вычисление площади многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге

II Ямало-Ненецкий окружной тур Всероссийского конкурса

исследовательских работ учащихся 5-7 классов

«Тропой открытий В.И. Вернадского»

Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге

Направление: естественнонаучное

Губкинский 2019

Аннотация

В данной работе проводится исследование методов нахождения площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Рассматриваются произвольные выпуклый и невыпуклый четырехугольники. Для нахождения площадей данных фигур рассмотрены 3 способа: разбиение на прямоугольные треугольники, дополнение до прямоугольника, формула Пика. Все используемые методы и расчеты верны, так как результаты вычислений совпадают. В работе используются рисунки, показывающие способ разбиения на прямоугольные треугольники, дополнение до прямоугольника или квадрата,  а также рисунки для работы с формулой Пика. В конце работы приведен анализ методов исследования, сделаны выводы о необходимости изучения дополнительных методов нахождения площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Введение

Геометрия возникла в результате практической деятельности людей: нужно было сооружать жилища, прокладывать дороги, устанавливать границы земельных участков и определять их размеры. В наше время эта проблема не менее актуальна, но с помощью различных средств вычисление площадей и длин занимает минуты. После изучения четырехугольников, площади которых находятся по готовым формулам, таких как квадрат, прямоугольник и прочие, ученик задастся вопросом: как найти площадь произвольного четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге? Какие существуют способы?

Цель работы: исследование способов нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге.

Задачи:

1. отобрать информацию для исследования;
2. найти методы и приёмы вычисления площади;
3. проанализировать информацию.

Объект исследования: задача по нахождению площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: варианты нахождения площади многоугольника.

Методы исследования: сравнение, моделирование, обобщение, анализ, аналогии, классификация информации.

Способы исследования

В процессе исследования будем находить площадь четырехугольника на клетчатой бумаге тремя способами.

Первый способ состоит в разбиении многоугольника на прямоугольные треугольники или прямоугольники с вершинами в узлах сетки.

Идея второго способа в том, что от площади основного прямоугольника вычитаются площади прямоугольных треугольников или прямоугольников.

Третий способ заключается в применении формулы Пика.

Если все используемые методы и расчеты будут верны, то площади будут равны.

Способ 1: разбиение на прямоугольные треугольники и прямоугольники

Смысл данного способа заключается в разбиении многоугольника на прямоугольники или прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

1. Разобъем данный четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника и один прямоугольник  
2. Найдём площадь треугольников, используя катеты (рис.1) S1=½*2*2=2, S2=½*1*3=1,5 ,S3=½*1*4=2, S4=½*1*2=1, S5= 2
3. Найдём площадь четырёхугольника , как сумму этих  фигур S=S1+S2+S3+S4+S5=2+1,5+2+1+2=8,5

Ответ: 8,5

Способ 2: дополнение до прямоугольника

Смысл данного метода заключается в дополнении многоугольника до прямоугольника, а затем в вычитании лишних частей.

Дополним до прямоугольника так, чтобы его стороны

проходили через вершины четырехугольника. Будем иметь прямоугольник со сторонами 3 и 5 (рис.2).

2.Найдём площадь прямоугольника и четырех треугольников Sкв=3*5=15, S1=½*2*2=2, S2=½*1*4=1, S3=½*1*3=1,5, S4=½*1*2=1

3. Найдём площадь четырёхугольника как разность прямоугольника и треугольников S = Sпр - (S1+S2+S3+S4) = 15-(2+1+1,5+1) =8,5

Ответ: 8,5

Способ 3:  формула Пика

Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе (рис.3). В данном случае В=7, Г=5.

Площадь прямоугольника равна S=В+Г/2-1=7+5/2 -1= 8,5.

Ответ: 8,5

Вычисление площади невыпуклого многоугольника

Способ 1 не подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить на прямоугольники или прямоугольные треугольники.

Способ 2

1. Дополним фигуру до квадрата со стороной 6 (рис.4)

2. Найдём площадь квадрата и четырех треугольников Sкв=6*6=36, S1=½*2*6=6, S2=½*3*6=9

S3=½*2*3=3, S4=2*3=6                                                                              

3.Найдём площадь искомого четырёхугольника

S=Sкв - (S1+S2+S3+S4) =36-(6+9+3+6)=12

Ответ: 12

Способ 3

Количество узлов, лежащих внутри В=9, количество узлов на границе Г=8 (рис.5), S=В+Г/2-1, S=9+8/2-1=12

Ответ:12

Анализ способов нахождения площади четырехугольника

на клетчатой бумаге

Положительные характеристики методов: простота подсчёта площади фигур; небольшое количество вершин; краткость формулы: S=В+Г/2-1; простота алгоритма.

Отрицательные характеристики: множество действий; сложность подсчёта площади многоугольников необычной формы; фигуры с большим количеством узлов; невозможность подсчёта площади фигур, которые не разбиваются на прямоугольные треугольники.

Заключение

Данная работа помогла расширить знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедиться существовании дополнительных способов вычисления площади многоугольника.

В данной работе были рассмотрены 3 способа нахождения площади.  Конечно, существуют и другие методы.

Данная работа имеет практическую значимость, так как такой тип задач, где фигура изображена на клетчатой бумаге, встречаются в заданиях ЕГЭ и ОГЭ, поэтому следует знать несколько способов вычисления площади многоугольника.

Задачи, поставленные в начале работы, были выполнены, цель достигнута. Исследуемый вопрос достаточно полезен.

Любой из рассмотренных способов применим для решения задач.

Литература

1. Атанасян Л. С. Геометрия 7-9, учебник. – М.Просвещение,2009
2. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
3. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.