Применение формулы Пика для вычисления площади фигуры.

           Итак, наш сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги. Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку - палетку, а  вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (Рис.1) и найдем его площадь. Чтобы оценить площадь многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу).  Искать площадь можно по-разному.

Если дан многоугольник, то его можно разбить на такие части, которые пересекаются только по границам и площадь каждой из которых легко находится. Например: Разбиваем многоугольник на трапецию и треугольник как показано на рисунке 2. Его площадь будет равна сумме площади треугольника и трапеции. S=  * 4 +  * 2 * 4 = 20 + 4 =24 (см2)

Использованный нами способ несложен, но, он годится не для всяких многоугольников. Так , как многоугольник на рисунке 3 уже нельзя разбить на фигуры, как мы это делали с предыдущим многоугольником. Для этого существует другой способ вычисления площади.

 Давайте «схитрим»: вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника. (Рис.4)  Заштрихованная фигура легко разбивается на квадрат и прямоугольные треугольники, и ее площадь вычисляется без усилий. S= 62 – 2 *  – 22 = 36 – 8 – 4 =24 (см2)

Я нашел свой способ решения, не указанный в литературе. Разбиваем многоугольник на трапецию и треугольник, как на рисунке 5. Присоединяем получившийся прямоугольный треугольник к трапеции так, чтобы получился прямоугольник. Вычисляем площадь получившегося прямоугольника: S= 4*6 = 24 (см2). Она равна площади данного многоугольника.

            Подобные задачи как видим не очень сложные. Главное здесь – быть внимательным и аккуратным при проведении элементарных вычислении.

Я задумался, а нет ли универсальной формулы позволяющей находить площадь  многоугольника без разбиения и дополнения?

                                           ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. ФОРУЛА ПИКА

В истории черпаем мы мудрость,

В поэзии – остроумие,

В математике – проницательность.

Ф.Бэкон

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять по формуле, связывающей их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика. Открыл ее немецкий математик Георгий Александр Пик в 1899г.  

                           S=B + Г/2 – 1

Где S – площадь многоугольника, выраженная в площадях единичных квадратиков сетки, Г – количество узлов сетки, лежащих на границе многоугольника, а В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника

                1.ПРЯМОУГОЛЬНИК С ВЕРШИНАМИ В УЗЛАХ И СТОРОНАМИ,

                                      ИДУЩИМИ ПО ЛИНИЯМ СЕТКИ,

                  Связь между площадью фигуры и количеством узлов, попавших в эту фигуру, особенно ясно видна в случае прямоугольника.

                 Пусть ABCD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (Рис.5) .Обозначим через B количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на пол клетки вправо и пол клетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить»  между узлами следующим образом: каждый из B узлов «контролирует» целую клетку смещенной сетки, каждый из Г – четырех граничных не угловых узла – половинок клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна S= B +  + 4* ¼ = B + Г/2 – 1

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S=  B + Г/2 – 1 . Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами узлах сетки!

Найдем площадь данной фигуры по формуле Пика. (Рис.5)                                    

 S; внутри четырехугольника 17 узлов сетки, на границе – 16 узлов.                                          

            (Рис.5)      

                ПРОИЗВОЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК С ВЕРШИНАМИ В УЗЛАХ

Мы только что убедились в том, что формула Пика верна для рассмотренного примера. Докажем справедливость формулы Пика для произвольного многоугольника с вершинами в узлах.

Обозначим  через  Sм площадь многоугольника М с вершинами в узлах, а через Пм- величину Bм +   – 1, где Bм – число узлов внутри М, а Гм – число узлов на границе. Тогда формулу Пика можно записать в виде Sм=Пм.

Доказательство формулы разобьем на несколько шагов.

Шаг 1.

Если многоугольник М с вершинами в узлах сетки разрезан на  2 многоугольника М1 и М2, также имеющих вершины только в узлах сетки, то Пм = Пм1 + Пм2.

Пусть многоугольник М разрезан на многоугольники М1 и М2 с вершинами в узлах отрезком АВ (Рис.6). Все узлы, кроме тех, которые попадают на отрезок АВ, дают одинаковый вклад в левую и правую части формулы. Рассмотрим узлы, лежащие на

 отрезке АВ. Если такой узел лежит между А и В (например, С), то для многоугольника М он внутренний, а для многоугольника М1 и М2 – граничный. Поэтому его вклад в Пм равен 1, а в каждое из выражений Пм1 и Пм2 – по 0,5, то есть вклады такого узла в Пм и Пм1 + Пм2 равны!  

Наконец рассмотрим узлы А и В. Они граничные как для М, так и для М1 и М2. Поэтому вклад каждого из этих узлов в Пм равен 0,5 а в Пм1+Пм2 – единице. Значит, суммарный вклад узлов А и В в Пм равен 1, что на 1 меньше, чем их вклад в Пм1+Пм2. Но Пм= Bм +   – 1, а

 Пм1+Пм2 = (Bм1 +   – 1) + (Bм2 +   – 1) .

Из общего «вклада» всех узлов Пм вычитается 1, а из Пм1+Пм2 вычитается 2, и это компенсирует разницу вкладов узлов А и В! Итак, Пм=Пм1+Пм2 

Шаг 2.

Если многоугольник М с вершинами в узлах сетки разрезан на два многоугольника М1 и М2 (тоже с вершинами в узлах) и формула верна для каких-то двух из многоугольников М,М1,М2, то она верна и для третьего многоугольника.

Пусть, например, она верна для М1 и М2, то есть Sм1 = Пм1, Sм2 = Пм2. Тогда (по первому шагу) Sм = Sм1+Sм2 = Пм1 + Пм2, но (по первому шагу) последнее выражение равно Пм, а равенство Sм=Пм и есть формула Пика.

Шаг 3.

Докажем формулу Пика для прямоугольного треугольника с вершинами в узлах сетки и катетами, лежащими на линиях сетки. Треугольник АВС достроим до прямоугольника АВСD (Рис.7) . Для прямоугольников формула Пика верна: SABCD = ПАBCD. Согласно первому шагу ПABCD=ПABC + ПACD , ПABC=ПACD, так что  ПABCD=2ПABC. Но SABCD=2SABC. Поэтому SABC=ПABC.

Шаг 4.

Формула Пика верна для произвольного треугольника с вершинами в узлах сетки.

Рассмотрев рисунок 8, легко понять: любой такой треугольник можно получить, «отрезав» от некоторого прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки несколько прямоугольников и прямоугольных треугольников с катетами на линиях сетки. А так как формула Пика верна для прямоугольников и прямоугольных треугольников, то (вспомним шаг 2) она верна и для исходного треугольника.

Мы доказали, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

                            ЗАКЛЮЧЕНИЕ.ФОРМУЛА ПИКА И ЗАДАНИЯ ЕГЭ

Часть B Единого Государственного Экзамена содержит задачи, связанные с понятием площади, в частности В6.Задача В6 – действия с фигурами, координатами и векторами. Самое популярное задание В6 – это найти площадь многоугольника с вершинами в узлах квадратной сетки. 1 см на 1 см.  Теперь мы можем решить это задание тремя способами.  

Подобные задачи не очень сложные. Главное здесь – быть внимательным и аккуратным при проведении элементарных вычислений. Для самоконтроля полезно решить задачу нахождения площади хотя бы двумя способами. Разумеется, результаты должны совпадать.

                                                            ВЫВОДЫ

1. Я рассмотрел различные подходы к решению задачи по нахождению площади произвольного многоугольника с вершинами  в узлах сетки.
2. Доказал формулу Пика, по которой можно найти площадь такого многоугольника через количество узлов на границе и внутри его.

Своими знаниями я хочу поделиться с учащимися 10-11 классов, которые сейчас готовятся к Единому Государственному Экзамену.

                                     ЛИТЕРАТУРА

1. Н.Б Васильев. Вокруг формулы Пика // Квант. – 1984. – №12. – с.39 – 43
2. Калейдоскоп «Кванта». Площадь // Квант. – 1991. – №7.
3. . Формула Площади. // Квант.- 1985. – №3. – с.32-33
4. Н.Жарковская, Е.Рисс Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика. Приложение к газете «1 сентября». – 2009. - №23
5. С.Дворянинов. Готовимся к ЕГЭ. Задача В6 – действия с фигурами координатами и векторами. // Математика. Приложение к газете «1 сентября». – 2011. - №5.- с.24 – 25
6. Материалы ЕГЭ