Антье

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение 
«Школа с углубленным изучением отдельных предметов № 85»

 Сормовского района г. Н. Новгорода

Научное общество учащихся.

Антье

Выполнил: Давыдов Павел

ученик 9 «А» класса

научный руководитель:

Репьева М.В.

учитель математики

Нижний Новгород

2017

Содержание

Введение…………………………………..……………………............3

Глава 1. Антье и ее свойства……………………….……………….…4

           1.1 Определение и свойства........................................................4

           1.2 Графики антье…………………………….…………………7

Глава 2.  Антье в уравнениях……………………….…………………11

            2.1 Аналитический метод решения уравнений…..…………..11

            2.2 Графический метод решения уравнений………………....20  

Глава 3. Применение антье…………………………………………….22

            3.1 Делимость……......................................................................22

            3.2 Антье в геометрии……………………………………….…25

Заключение……………………………………………………………..27

Список литературы.................................................................................28

Введение

В различных математических олимпиадах последних лет присутствуют задачи, основанные на применении целой и дробной части действительного числа. В курсе математики средней школы эти понятия не изучаются.

Цель работы :

показать применение понятия антье для решения нестандартных задач по алгебре и геометрии.

Задачи:

• познакомиться с понятиями антье и дробной части, с примерами построения графиков функций;
• рассмотреть приемы решений различных уравнений, содержащие выражения под знаком антье;
• рассмотреть применение понятия антье в задачах повышенного уровня сложности.

Глава 1. Антье и ее свойства

1.1 Определение и свойства

Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Обозначается целая часть x символом "[x]". Далее целую часть x будем также называть "антье" (от франц. entire -целый). Например: [3,5]=3, [-3,5]=-4, [3]=3, [-5]=-5.

Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая обозначается "{x}" и определяется следующим образом: {x} = x-[x]. Так {3,5}=0.5, {-3,5}=-0.5, {5}=0, {-5}=0. Очевидно, что для любого действительного числа x выполняется двойное неравенство:0 ≤ {x} < 1.

Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.

1. Если x ≥ 0, то [x] ≥ 0. Если x < 0, то [x] < 0.

2. Если p - целое число, то [x+p] = [x]+p.

Так как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из равенства {x+p} = {x} следует x+p-[x+p] = x-[x], откуда получаем

[x+p] = [x]+p.

3. Для любых двух действительных чисел α и β справедливо [α+β] ≥ [α]+[β].

Действительно, α = [α]+{α}, β = [β]+{β}. Следовательно, α+β = [α]+[β]+{α}+ {β}. Так как[α] и [β] - целые числа, то по свойству 2

[α+β] = [[α]+ [β]+{α}+{β}] = [α]+[β]+[{α}+ {β}] ≥ [α]+ [β],

потому что {α}, {β} ≥ 0 и по свойству 1 [{α}+ {β}] ≥ 0.

Свойство 3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел:

[α+β+...+ω] ≥ [α]+[β]+...+ [ω].

4. Если [x] = [y], то |x-y| < 1.

Так как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |x-y| = |[x]+{x}-[y]-{y}| = |{x}-{y}| <1. Последнее неравенство следует из того, что дробная часть числа больше или равна нулю и меньше единицы. Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше -1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Отсюда |x-y| < 1.

5. Если n - натуральное число, то для любого действительного x выполняется 

Так как x = nq+r+α, 0 ≤ r < n, α = {x}, то

Пример 1. Доказать, что для всех вещественных α и β выполняется неравенство 

Решение.
Пусть [α+β] = [α]+[β]+ε3; [2α] = 2[α]+ε1; [2β] = 2[β]+ε2; где εi - целое. Покажем, что ε3 равно 0 или 1. Имеет место неравенство

Отсюда получаем, что -1 < ε3 < 2, откуда ε3 = 0 или ε3 = 1, то же верно для ε1, ε2. Рассмотрим разность

Осталось показать, что ε1+ε2-ε3 ≥ 0, εi = 0 или 1. Это неравенство может быть нарушено только при ε1 = ε2 = 0 и ε3 = 1. Покажем, что это невозможно. Если ε1 = 0 то [2α] = 2[α], т.е. α = N+δ, где N - целое, а 0 ≤ δ < 0,5, аналогично, β = K+λ, где K - целое, а 0 ≤ λ < 0,5, но тогда [α+β] = N+K = [α]+[β], т.е.ε3 = 0. Мы пришли к противоречию, следовательно

[α]+[α+β]+[β] ≤ [2α]+[2β], что и требовалось доказать.

Пример 2. Найдите 

Решение
Число Nn = (2+√2)n+(2-√2)n является целым при любом натуральном n. Поэтому

так как {-z} = 1-{z}, если z - не целое число, и |2-√2| < 1.

Пример 3. Найдите [x], если x=1+(1/2)2+(1/3)2+...+(1/1997)2.
Решение
Для любого натурального числа n ≥ 2 справедлива оценка

Применим эту оценку ко всем слагаемым числа x, начиная со второго:

Так как 1 < x < 2, то [x] = 1.

1.2 Графики антье

Графики функции y=[x], так называемые "ступени", и y={x} - "забор"; приведены на рисунках ниже.

Рассмотрим общий метод построения графиков функций y=[f(x)], y=f([x]), y={f(x)}, y=f({x}).

Построение графика функции y=[f(x)]. 

Итак, пусть график функции y=f(x) построен (рисунок ниже слева черным цветом). Построение графика функции y=[f(x)] выполняют в следующем порядке:

1) проводят прямые y= n (n ∈Z) и рассматривают одну из полос, образованных прямыми y=n и y=n+1;

2) точки пересечения прямых y=n, y=n+1 с графиком функции y=f(x) будут принадлежать графику функции y=[f(x)], поскольку их ординаты - целые числа; другие точки графика y=[f(x)] в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика y=f(x) на прямую y=n, поскольку любая точка этой части графика функции y=f(x) имеет такую ординату y1, что n ≤ y1 < n+1, т.е. [y1] = n;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение проводится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[arcsin x] выделен красным цветом).

Построение графика фунции y=f([x]). 
Пусть график функции y=f(x) построен (рисунок слева ниже черным цветом). Построение графика функции y=f([x]) выполняют в следующем порядке:

1) проводят прямые x=n (n ∈Z) и рассматривают одну из полос, образованную линиями x=n, x=n+1;

2) точки пересечения графика функции y=f(x) с прямыми y=n принадлежат графику функции y=f([x]), поскольку их абсциссы - целые числа; другие точки графика функции y=f([x]) в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика функции y=f(x), которая находится в этой полосе, на прямую y=f(n), поскольку любая точка этой части графика имеет такую абсциссу x1, что n ≤ x1 < n+1, т.е. [x1]=n;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение производится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[ax]2 выделен красным цветом).
Построение графика фунции y={f(x)}. 

Теперь рассмотрим метод построения графика функции y={f(x)}, а так как {f(x)}=f(x)-[f(x)], то вместо графика функции {f(x)} строят разность графиков функций y = f(x) и y = [f(x)]. График на левом рисунке выделен красным цветом.

Практически это построение выполняют так: 1) строят график функции y=f(x) и проводят прямые y=n (n ∈Z);

2) в точках пересечения этих прямых с графиком функции y=f(x) проводят прямые, параллельные оси ординат. Значения функции y={f(x)} попадают в образованные прямоугольники. Части графика функции y = f(x), которые попали в эти прямоугольники и располагаются в верхней полуплоскости, опускают вниз на расстояние n. Части графика функции, попавшие в нижнюю полуплоскость переносят вверх на расстояние |n|+1.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа. (График функции y={ax} выделен красным цветом).

Построение графика фунции y=f({x}). 

Проще всего строятся графики функции y=f({x}). Легко заметить, что такие функции периодичны с периодом T=1, и на отрезке [0; 1]  f({x})=f(x). Отсюда следует способ построения графика функции y=f({x}):

1) строят график функции y=f(x) на [0; 1);

2) продолжают этот график, учитывая свойство периодичности функции y=f({x}) и y=1/x2.

Глава 2.  Антье в уравнениях

2.1 Аналитический метод решения уравнений и неравенств

Часто приходится решать задачи в которых параметры в различных областях изменяются по различным законам, при этом необходимо рассматривать уравнения с антье. Существует несколько способов решения таких уравнений, но самыми известными и простыми являются аналитический и графический.

В основе аналитического способа лежит использование свойств антье и дробной части. Обычно, применяя различные подстановки, уравнения с антье сводят к двойному неравенству, которое уже на содержит антье, таким образом получают диапазон изменения переменной и, производя обратную подстановку, получают ответ.

Пример 4. Решить уравнение [[(7+8x)/ 5]] = [[(10x-1)/ 3]].
Решение Обозначим[(10x-1)/3]=y. Тогда x=[(3y+1)/10]. Подставим x в уравнение, получим

или

Правая часть уравнения (2) больше или равна нулю и меньше единицы, тогда

Таким образом y содержится в интервале ([14/ 13]; 3], но из уравнения (1) видно, что y - целое число, следовательно, либо y=2, либо y=3. Производя обратную замену x=[(3y+1)/ 10] и подставляя значение y для каждого случая, получим x=[7/ 10] и x=1.

Пример 5. Решить уравнение {[(15x-4)/ 6]} = [(5x-3)/ 5].

Решение 
Преобразуем уравнение так, чтобы оно содержало антье:

Теперь произведём замену y=[(45x-2)/30] и выразим x через y:

подставим x в последнее уравнение:

Проведя рассуждения, аналогичные тем, которые были в предыдущем примере, получим:

Так как y - целое число, то y может быть равен только 1 или 2. Следовательно, x будет равен [32/45] или [62/45] соответственно.

Рассмотрим более сложные примеры.

Пример 6. Доказать тождество:

Решение 
Так как

то, извлекая корень из обеих частей неравенства, получим

или

значит,

Тогда

и

Предположим, что [√n+[√(n+1)]] ≤ [[√(4n+2)]]. Тогда существует такое натуральное число m, что

или

Так как (m2-(2n+1))2 - целое число, содержащееся между двумя последовательными числами (2n+1)2-1 и 2n+1)2, то из последнего неравенства следует m2-(2n+1))2=(2n+1)2, то есть m2 = 2(2n+1). Получилось, что m2 делится на 2, но не делится на 4, что невозможно, следовательно, мы пришли к противоречию, и

что и требовалось доказать.

Пример 7. Найти все числа х на отрезке [-10; 2], которые удовлетворяют уравнению [x2] = [x]2.

Решение 
Если х - целое число, то [x]=x, т.е. всякое целое число из отрезка [-10;2] будет решением уравнения. Пусть x - нецелое число, т.е. x=[x]+α, 0 ≤ α < 1. Тогда x2=[x]2+α2+2 α[x]. Если [x] < 0, то 2α[x]+ α2=α(2[x]+ α) < 0; следовательно, [x2] < x2 < [x]2, т.е. уравнение не имеет нецелых решений в этом случае.

Осталось проверить два случая: [x]=0 и [x]=1. Если [x]=0, то x=α и [x2]=0, т.е. любое число из интервала (0; 1) удовлетворяет уравнению. Если [x]=1, то x=1+α и x2=1+2α+ α2. По условию [x]2=[x2]=1, а это возможно только при 2α+ α2 < 1, т.е. 0 < α < √2-1, следовательно, уравнению удовлетворяют все числа из промежутка [1; √2).

Ответ: все целые числа из отрезка [-10; 2] и интервал (0; √2.)

Пример 8. При каких n число [([(3+√17)/2])n] чeтно?
Решение 
Положим a=[(3+√17)/ 2], b=[(3-√17)/ 2], xn = an+bn. Тогда a и b - корни уравнения x2-3x-2 и

Так как x1=3 и x2=13 - нечетны, то все числа xn - нечётны, и поскольку -1 < b < 0, то при чётном n 0 < bn < 1, и поэтому

т.е. [an] - чётное число, а при нечётном n 0 < bn < 1, и

т.е. [an] - нечётное число.

Таким образом, заданное число чётно при чётных n.

Пример 9. Решить уравнение [x]+[x2]=[x3].

Решение 
Если -1 < x < 0, то -1 < x3 < 0, 0 < x2 < 1 и, следовательно, [x]=[x3]=-1, [x2]=0. Если 0≤ x < 1, то [x]=[x2]=[x3]=0. Если |x| < 1, то [x2] > 1, тогда [x] > [x3] и, значит, x3 > x. Отсюда x > 1, но тогда [x3]=[x·x2] ≥ [[x]·[x2]]=[x]·[x2]. Теперь из уравнения следует, что [x]+[x2] ≥ [x]·[x2], или ([x2]-1)([x]-1) ≤ 1. Т.о.,[x2] ≤ 2, т.е. [x2]=1 или [x2]=2. Если [x2]=1, то 1 ≤ x < √2. Тогда [x]=1,

[x3]=2, 21/3 ≤ x < 31/3, т.е. 21/3 ≤ x < √2. Если [x2]=2, то √2 < x < √3. Тогда [x]=1, [x3]=3, 31/3 ≤ x < 41/3 , т.е. 31/3 ≤ x < 41/3.

Таким образом, мы получили ответ: -1 < x < 1, 21/3 ≤ x < √2, 31/3 ≤ x < 41/3.

Пример 10. Решить уравнение 

Решение 
Очевидно, что уравнению не могут удовлетворять как те значения x, при которых [(x3-2)/ 3] ≥ x+1, так и те значения x, при которых [(x3-2)/ 3] ≤ x-1. Среди решений первого из этих неравенств будут значения x ≥ 3. Действительно, если[(x3-2)/ 3] ≥ x+1, то x3 ≥ 3x+5, или x2(x-3) ≥ -3x2+3x+5. При x ≥ 3 левая часть последнего неравенства будет неотрицательной, тогда как трёхчлен, стоящий в правой части, будет отрицателен, т.е. числа x ≥ 3 входят в число решений рассматриваемого неравенства.

Покажем теперь, что среди решений неравенства [(x3-2)/ 3] ≤ x-1. будут значения x ≤ -2. В самом деле, в этом случае x3 ≤ 3x-1 или x2(x+2) ≤ 2x2+3x-1. При x ≤ -2 левая часть последнего неравенства будет не больше нуля, тогда как трёхчлен, стоящий в правой части, будет положителен.

Таким образом, решения данного уравнения следует искать лишь на промежутке -2 < x < 3. Для этого достаточно решить следующие системы неравенств:

Система 3) не имеет решений. Остальные системы соответственно дадут:

и окончательно

Пример 11.Решить уравнение 

Решение 
Так как [x] ≤ x < [x]+1 и x = x/2+x/3+x/6, то

Отсюда следует, что

и поэтому, во-первых, x ≥0, а во-вторых, в сумме, стоящей в середине полученного двойного неравенства, все слагаемые, начиная с третьего, равны нулю, так что x < 7.

Поскольку x - целое число, то остаётся проверить значения от 0 до 6. Решениями уравнения оказываются числа 0, 4 и 5.

Пример 12. Решите неравенство x2-4[x]+3≥0.

Решение 
Найдём все x, удовлетворяющие обратному неравенству

тогда значения x, которые ему не удовлетворяют, будут являться решением неравенства задачи.

Пусть x удовлетворяет обратному неравенству и n = [x]. Из этого неравенства следует, что x2 + 3 < 4n, и, значит, n > 0. В таком случае, используя неравенство n ≤ x, получаем

откуда

Решением последнего неравенства являются значения 1 < n < 3, но n - целое, так что годится лишь значение n=2. Следовательно, x ≥2. Далее, из неравенства x2 +3 < 4n = 8 устанавливаем, что x < √5. Нетрудно проверить, что все значения x из промежутка [2, -√/5) удовлетворяют неравенству x2-4[x]+3 < 0, поэтому значения (-∞, 2)∪[√5, +∞) являются решением исходного неравенства.

Ответ: (-∞,2)∪ [√5,+∞).

Пример 13. Решите систему уравнений

Решение 
Обозначим k = [√(y-1)]. Поскольку √(y-1) ≥ 0, то k ≤ 0. Из определения целой части получаем

Из уравнения x = 1+k2 и предыдущего неравенства выводим неравенство

значит, √{y+2√x} = k+1. Из второго уравнения системы заключаем,

что у = 2k + 3. Подставляя полученное выражение вместо у в (*), учитывая определение целого числа k, находим оттуда k = 2, х = 5, у = 7.

Пример 14. Дана система с двумя неизвестными

При каких значениях a система имеет не более двух решений.
Решение 
Множество точек, удовлетворяющих уравнению [x] = [y], представляет собой серию квадратов

с открытыми верхней и правой границами. Графическое представление второго уравнения системы есть ромб с центром в начале координат, с полудиагональю, равной a, и со сторонами, наклоненными к осям координат под углом 45° (см. рисунок). Эти два множества имеют не более двух общих точек, когда a - целое чётное число.

Ответ: a=2n, n∈Z.

2.2 Графический метод решения уравнений и неравенств

В основе графического метода лежит нахождение точек пересечения графиков функций левой и правой частей уравнения. Обычно данный метод применяется когда графики обеих частей уравнения достаточно просто строятся и легко находятся точки пересечения этих графиков.

Пример 15. Решить уравнение

Решение.

Преобразуем уравнение:

Решением данного уравнения будут точки пересечения графиков функций y=x5-2 и y=[[(x+2)/ 3]]. Как видно из рисунка это единственная точка, которая находится из уравнения x5-2=1, таким образом x=5√3.

Пример 16. Решить уравнение x2+{x}= -x.
Решение

Так как {x}=x-[x], то уравнение можно переписать в виде x2+x-[x]=-x или x2+2x=[x], значит, (x+1)2-1=[x].

Решением этого уравнения являются точки пересечения графиков функций y=(x+1)2-1 и y=[x]. Как видно (См. рисунок), это две точки x=0 и x=-1.

Пример 19 Решите уравнение x3-[x] = 3.
Решение Перепишем уравнение в виде x3-3 = [х]. Построив графики функций y = x3-3 и y = [x] и найдя их точку пересечения, убеждаемся, что [x] = 1. Данное соотношение можно получить и аналитическим путем. Обозначим [x] = n, n ∈ Z, тогда n ≤ x < n+1, откуда n3 ≤ x3 < (n+1)3. С другой стороны, из уравнения находим x3 = n + 3, следовательно,

Единственным целым числом, удовлетворяющим данному двойному неравенству, является .значение n = 1, т.к. при n ≤ 0 имеем (n+1)3 < n+3, а при n ≥ 2 имеем n+3 < n3. Итак, мы показали, что [x] = 1, и уравнение приобретает вид x3 - 4 = 0, откуда x = 3√4.

Итак, на вышеприведенных примерах можно убедиться что, графический способ намного легче и эффективнее аналитического, однако, в более сложных примерах, линейных и нелинейных системах уравнений, содержащих большое количество переменных, рекомендуется использовать аналитический метод решения уравнений, так как в этом случае он будет более лёгок в применении, нежели графический.

Глава 3. Применение антье

3.1 Делимость

Всякое натуральное число m можно, и притом единственным способом, разложить на простые множители. Очевидно, показатель степени α, с которым простое число p входит в разложение числа m на простые множители: m = p1α1·p2α2·. . .pkαk, равен максимальной степени числа p, на которое делится m.

Возьмём число N! = 1·2·...·N. Пусть p - некоторое простое число. Как узнать: на какую максимальную степень числа p делится N! ?

Посчитаем, сколько в последовательности 1, 2, ..., N чисел, кратных p. Если таких чисел k, то число kp среди них - наибольшее, и поэтому kp ≤ N < (k+1)p, т.е. k ≤ N/p < k+1. Значит, k = [N/p].

Итак, среди чисел 1, 2, ..., N кратными p будут числа p, 2p, 3p,:, [N/p]p, и мы можем записать N! так:

где число M1 на p уже не делится. Если [N/p] < p, то максимальная степень числа p, на которую делится N!, равна [N/p]. Если же [N/p ] ≥ p,. то выделим числа, кратные числу p, среди чисел 1, 2, . . . , [N/p ]. Их будет [[([N/p])/( p)] ], или (свойство 5) - [[(N)/( p2)]]. Таким образом,

где число M2 уже не делится на p если при этом мы получили [[(N)/( p2)] ] < p, то задача решена, и α = [N/p]+[[(N)/( p2)] ]. Если же [[(N)/( p2)] ] ≥ p, то, повторив предыдущие рассуждения, найдём

Через конечное число шагов мы получим степень ps, большую N;

т.е. [[(N)/( ps)]] = 0. Следовательно, в сумме (3) число слагаемых - конечное, и мы можем дать окончательный ответ: простое число p входит в разложение числа N! с показателем

где s - таково, что ps-1 ≤ N < ps.

Применим полученную формулу к решению следующих задач.

Пример 17. Сколькими нулями оканчивается число 1996!?
Решение Задача будет решена, если мы найдём, чему равна максимальная степень числа 10, на которую делится 1996!. Но поскольку 10 = 5·2, нам достаточно подсчитать, в какой степени число 5 входит в разложение на простые множители числа 1996! (ясно, что 2 войдёт в 1996! сомножителем большее число раз, нежели 5). Так как 54 < 1996 < 55, то мы получаем следующий ответ: число 1996! оканчивается

нулями.

Пример 18.Доказать, что число C9761976 делится на 762.
Решение Поскольку 76 = 22·19, то для делимости на 762 необходимо и достаточно, чтобы C9761976 делилось на 24 и 192. Имеем C9761976 = [1976!/ 976!·1000!]. Найдём, чему равны показатели степеней α1, α2, α3 и β1, β2, β3, с которыми числа 2 и 19 входят в разложения на простые множители чисел 19761, 976! и 1000!. Имеем

и α1-α2-α3 = 4, то есть C9761976 делится на 24.

Аналогично

и β1-β2-β3 = 2, то есть. C9761976 делится и на 192. Следовательно, C9761976 делится на 762.

Пример 19. Докажите, что для любого действительногочисла α разность ([α]/ 1997)-([α/1997]) может принимать только значения 0, 1/1997, 2/1997, ..., 1996/1997.
Решение Для любого α имеем α-1 < [α] ≤ α, так что

т.е. целое число [α]-1997[α/ 1997] может равняться только 0, 1, ..., 1996. Осталось поделить все числа на 1997.

3.2 Антье в геометрии

Под целыми точками мы будем понимать точки (x, y) координатной плоскости с целочисленными координатами x и y. Спрашивается, как подсчитать число целых точек, лежащих внутри данной плоской области?

Пример 20. Сколько целых точек расположено на сторонах и внутри треугольника, образованного прямыми y = 2/3x-1/2, x = 10 и осью абсцисс?
Решение Найдём значения функции y = 2/3x-1/2 при целых x = 1, 2, . . ., 10 (заметим, что у = 0 при x = 3/4); получим ординаты 1/6, 5/6, 3/2, 13/6, 17/6, 7/2, 25/6, 29/6, 11/2, 37/6. Легко подсчитать, что общее число целых точек, лежащих в данном треугольнике (учитывая точки на границе), равно сумме целых частей этих ординат плюс десять точек, лежащих на оси абсцисс:

Таким образом, внутри данного треугольника лежат 37 целых точек.

Пример 21.Доказать тождество

(p и q - взаимно простые натуральные числа). 

Решение Рассмотрим прямоугольник с вершинами O = (0; 0), A = (p; 0), B = (p; q), C = (0; q). Отметим внутри прямоугольника все целые точки (x, y): 1 ≤ x ≤ p-1, 1 ≤ y ≤ q-1. Число этих точек равно произведению (p-1)(q-1).

Проведём диагональ OB нашего прямоугольника; её уравнение - y = q/px. Так как p и q взаимно просты, а x = 1, 2, . . ., p-1, то числа q/px - не целые, т.е. на диагонали OB нет целых точек, и таким образом в треугольнике, лежащем под диагональю OB, будет ((p-1) (q-1))/ 2 целых точек. С другой стороны, способом, описанным в предыдущем примере, получаем, что число этих точек равно сумме [(q·1)/( p)]+ [(q·2)/( p)]+. . . +[(q·(p-1))/( p)], и, значит, нужное тождество доказано.

Пример 22. Пусть в интервале Q ≤ x ≤ R функция f(x) непрерывна и неотрицательна. Доказать, что ∑ Q ≤ x ≤ R [f(x)] выражает число целых точек плоской области: Q ≤ x ≤R, 0 < y ≤ f(x). 
Решение На любой ординате y0 кривой y = f(x)с абсциссой x лежит [f(x)] целых точек данной области. Тогда во всей области содержится ∑ Q ≤ x ≤ R [f(x)] целых точек.

Заключение.

Итак, в своей работе я познакомиться с понятиями антье и дробной части, с примерами построения графиков функций.

Рассмотрел приемы решений различных уравнений, содержащие выражения под знаком антье. Убедился что, графический способ намного легче и эффективнее аналитического, однако, в более сложных примерах, линейных и нелинейных системах уравнений, содержащих большое количество переменных, рекомендуется использовать аналитический метод решения уравнений, так как в этом случае он будет более лёгок в применении, нежели графический.

Рассмотрел применение понятия антье в задачах на делимость и некоторых геометрических задачах.

Надеюсь, что полученные мною знания пригодятся мне при подготовке к различным конкурсам и олимпиадам .

Список литературы

1.  А. Мордокович, В. Смышляев "Антье" //Журнал "Квант" N 5, 1976г.,        с. 43-47

2.  Л.Г. Лималов "О числе e и пи"//Журнал "Квант" No5, 1972г., с. 14-19

3.  "Метод интервалов" //Журнал "Квант" No12, 1985г., с. 20

4.  Андреев А.А., Люлев А.И., Савин А.Н. "АНТЬЕ" Самара "Пифагор" 1997г.