Геометрические построения двусторонней линейкой

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Школа с углублённым изучением отдельных предметов №85»

Сормовского района города Нижнего Новгорода

Научное общество учащихся

«Геометрические построения двусторонней линейкой»

Выполнил: Антошин Роман,

ученик 8 «А» класса;

научный руководитель:

Репьева Марина Вениаминовна

учитель математики.

Н. Новгород

2017 г.

Содержание                                                                                                        с      

Введение………………………………...……………………..…………………3

Глава1 Основные понятия……………….…………………..………..……..… .4

Глава 2 Решение задач на построение ………………….………………………5  

2.1 Задачи на построение углов ………………………………………………...5  

2.2 Задачи на построение отрезков…………. …………………………………7

2.3 Задачи на построение параллельных прямых……………………………..11

2.4 Задачи на построение перпендикуляров…………………………………..12

2.5 Задачи с участием окружностей……………………………………………14

2.6 Задачи на построение параллелограмма………………………………......15

Глава 3 Исследование эффективности двусторонней линейки………………16

Заключение ……………………………………………………………… ……..18

Список литературы……………………………………………………………. .19

Введение.

Выбор темы моей работы обусловлен тем, что когда мы изучали  на геометрии задачи на построение циркулем и линейкой, они меня заинтересовали. Я задумался, есть ли другие типы задач на построение? И нужны ли они сейчас. В своей работе я постараюсь ответить на эти вопросы.

Данная тема достаточно актуальна. Не всегда есть под рукой сложные чертёжные приборы (угольник, транспортир, рейсшина и т. д.), а если в построение не требуется миллиметровой или секундной точности, то можно воспользоваться методами построения, о которых пойдёт речь в моей работе.

Цель: проверить эффективность двусторонней линейки перед другими чертежными приборами.

Задачи:

- познакомиться с геометрическими построениями двусторонней линейкой;

 - научиться выполнять данные построения;

-  научиться применять базовые построения  при решении более сложных задач.

ГЛАВА 1. Задачи на построение двусторонней линейкой.

1.1 Основные понятия.

К задачам на построение ограниченными средствами относятся задачи на построение циркулем и линейкой, только циркулем, только линейкой, а также только двусторонней линейкой. Если задачам первых двух видов в математической литературе уделяется достаточное внимание, то задачи третьего вида почти не рассматриваются. Очевидно, поэтому многие затрудняются в решении таких задач и даже незнакомы с термином «двусторонняя линейка». При решении задач на построение двусторонней линейкой, как и при решении задач на построение классическими средствами (линейкой и циркулем), есть так называемые основные построения, на которые следует опираться в дальнейшем при решении более сложных задач.

Двусторонней линейкой ширины h  называется линейка с параллельными краями, находящимися на расстоянии h друг от друга, дающие возможность непосредственно строить:

1. Произвольную прямую;
2. Прямую через две заданные или полученные в процессе решения задачи точки.
3. Параллельные прямые, каждая из которых проходит через одну из таких двух точек, расстояние между которыми больше  h (при этом построении линейка находится в таком положении, чтобы на каждом из двух её параллельных рёбер, оказалось, по одной из двух данных точек).

Ширина линейки в данном построение считается постоянной, а потому, если в процессе решения конкретной задачи появится необходимость выполнения непосредственного построения c) относительно каких-то полученных точек А и В, то надо доказать, что АВ > h. Для упрощения решения в условиях некоторых задач на ширину линейки h могут накладываться некоторые ограничения, хотя решение может быть выполнено и без них.

ГЛАВА 2. Задачи на построение.

Глава 2.1. Задачи на построение углов.

Задача1.  Построить биссектрису данного ∠АВС.

Решение (рис.1).

рис.1

1. а BC и bAB – непосредственно (расстояние между параллельными прямыми  равно ширине линейки.) Это значение слову «непосредственно будет предаваться и далее, a∩b=D.

Получим: луч BD – биссектриса ∠ABC.

                                               Доказательство.

1. ∠1 = ∠2 (как накрест лежащие углы при а  ВС и секущей ВD).

∠3 = ∠4 (как накрест лежащие углы при b   AB и секущей ВD).

2. ∠ В =  ∠1 + ∠3.

∠В = ∠1 + ∠ 3.

∠D = ∠2+ ∠4.

∠ 1 = ∠2, ∠3 =∠4,  значит, ∠В = ∠D.

3. Проведем КН  ВС и КН1   DM.

Рассмотрим треугольники ВКН и треугольник DKH1.

Они прямоугольные, т.к. ∠ВHK = 90 и ∠DH1K = 90.

КН =КН1 (по построению двусторонней линейкой). Расстояние между параллельными прямыми равно.

Значит, треугольник ВКН = треугольнику DKH1 (по катету и острому углу).

4. Т. к. треугольник ВКН = треугольнику DKH1, то BK = KD, и, следовательно, треугольник BKD – равнобедренный (по определению).

 ∠3 = ∠2 (по свойству р/б треугольника).

5. Имеем ∠3 = ∠2, ∠1 = ∠2,

значит ∠3 =  ∠1 и BD – биссектриса ∠D.

Важный факт: BKDM – ромб, т. к. это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Задача 2. Построение биссектрисы угла, вершина которого неизвестна.

Решение (рис 2).

рис. 2

1. Проводим биссектрисы углов треугольников АВС и CMN. Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС, точка D, принадлежит и биссектрисе угла С. Аналогично, точка К, точка пересечения MNC принадлежит и биссектрисе угла С.
2. Проводим прямую DK, которая будет содержать биссектрису угла С.

Задача 3. Удвоить данный угол ABC.

                                             Решение (рис.3).

рис. 3

1. aAB – непосредственно, a∩BC=D;
2. через точки В и D mb – непосредственно, b∩a = F.
3. Получим: ABF=2ABC.

                                            Доказательство.

Аналогично первой задаче.

Глава 2.2 Задачи на построение отрезков.

3адача 4. Разделить данный отрезок АВ пополам.

                                          Построение 1.

Только для того случая, когда ширина линейки меньше длины данного отрезка.

Провести непосредственно две пары параллельных прямых через концы данного отрезка.

                                       Построение 2.(рис. 4.)

1. m  AB -  непосредственно.
2. C m, D   m, AC  BD =K.
3. CB  AD = F.
4. KF  AB = O.

Получим: АО = ОВ.

Доказательство.

1. АFOΔDFM (т.к AFO=NFD как вертикальные,  FAO=FDM как накрест лежащие при СD||AB и секущей AD).
2. OFBΔCMF (∠OFB=∠CFM как вертикальные, ABC=FCM как накрест лежащие при CD||AB и секущей ВС), тогда

3) Значит, =, тогда

4) Т.к. АКОСКМ, значит, .

5) Т.к. OKBMDK,следовательно, =.

6) Поэтому = или АОMD=OBCM.

7) Значит,

AO(CM+MD)=ОВ(CM+MD), значит АО=ОВ.            

Задача 5. Удвоить отрезок.

Построение (рис. 5)

рис. 5.

1. Строим нижнюю прямую, параллельную, прямой АВ непосредственно, затем строим верхнюю прямую на том же расстоянии от данной.
2. Проводим через точку А отрезок MN, концы которого принадлежат построенным прямым.
3. Через точки N и В проводим прямую до пересечения её с нижней прямой в точке K
4. MB  до его пересечения с верхней прямой в точке S.
5. Отрезок SK, AC  SK=C.

Отрезок АС – искомый.

Доказательство.

1. NB=BK (по теореме Фалеса); МВ=ВS (по теореме Фалеса); MBN=SBK (по свойству вертикальных углов).

Значит, MND=BSK (по 1 признаку).

2. Т.к. ΔMND=ΔBSK, то и ∠NMB=∠BSK.
3. МВ=ВS (по доказанному); ∠АМB=∠BSC; ∠АВМ=∠SBC (по свойству вертикальных углов).

Следовательно, ΔAMB=ΔBSC.

4. Т.к. ΔAMB=ΔBSC, то и АВ=ВС.  Поэтому АС=2АВ.

Задача 6. На прямой  l от точки К отложить отрезок равный данному отрезку AB.

Построение (рис. 8).

рис. 8.

1. K k; k||AB (задача 6).
2. Вt; t||AK (задача 6).
3. Kt=E.
4. EF||l.
5. ЕQ – биссектриса КЕF.

КQ=AB.

Доказательство.

3=2 (как накрест лежащие при EF||l и секущей EQ).

2=1 (т.к. ЕQ – биссектриса ∠КЕF).

3=∠1.

∆КЕQ – р/б (по признаку). Поэтому КQ=КЕ.

 КЕ=АВ, то и КQ=AB.

Глава 2.3 Задачи на построение параллельных прямых.

Задача 7. Провести прямую, параллельную данной прямой МN, через не принадлежащую ей точку А.

                                                       Построение 1 (рис. 6).

рис. 6.

        АА1 ∥ СС1 ∥ ВВ1 ∥ DD1 ∥ KK1 – непосредственно, СА∩ ВВ1 = С2

        С2К ∩ DD1 =F

AF – искомая прямая.

                                          Построение 2 (рис. 7).

рис. 7.

На рис. 7 пронумерована последовательность проведения прямых, из которых 1, 2 и 3 параллельны по непосредственному построению; АВ∥ МN.          

 рис. 6.

Построение 2 даёт более компактное построение, но по сравнению с решением 1 в нём на одну прямую больше.

Глава 2.4 Задачи на построение перпендикуляров.

Задача 8.  К данной прямой MN, в данной её точке A провести перпендикуляр.

Решение (рис.9).

рис.9.

1.  – непосредственно (B  MN C  MN);
2. Через точки A и B mn – непосредственно, m  D.

3)       Получим: ADMN.

                                          Доказательство.

1. 1 = 2. (т. к. треугольник ABE – р/б (по построению). (Расстояние между краями линейки равно).  
2. 3 = 4 (т. к. треугольник ABF – р/б (по построению). (Расстояние между краями линейки равно).  
3. 1 =  4 (как соответственные при mn и секущей MN).

Значит, 3 = 1.

4. Следовательно, Треугольник DCB – р/б.
5. Т. к. ADEF – ромб, то треугольник ADF = треугольнику ADE ( по трём сторонам).
6. Т. к. треугольник ADF = треугольнику ADE, то и  5 =  6.

Следовательно, DA – биссектриса треугольника DCB, а значит и высота.

Задача 9.  К данной прямой через данную вне её точку провести перпендикуляр.

Указание: через данную точку провести 2 прямые, пересекающие данную точку, и удвоить углы образовавшего треугольника, прилежащие к данной прямой.

Построение (рис 10).

рис. 10.

1. Через точку А проводим две прямые АВ и АС.

АВМN = B.

ACMN = C.

2. Строим АВ = 2АВС.
3. Строим  АСА1 = 2АСВ.
4. АА1 МС.

АА1 – искомая прямая.

                                           Доказательство.

1. AB = A1B (по построению).

Значит, треугольник ABA1 – р/б.

2. 1 =  (по построению).

Значит BH – биссектриса ABA1, а значит и высота.

BH  AA1.

Глава 2.5 Задачи  с участием окружностей.

Задача 10.  Построить центр окружности, если он неизвестен.

Построение (рис. 11).

рис. 11.

Построим две равнобокие трапеции. Точка пересечений их серединных перпендикуляров совпадает с центром окружности.

Двух замечаний к рисунку будет достаточно.

1. В окружность можно вписать только равнобокую трапецию.
2. Серединный перпендикуляр в хорде совпадает с диаметром.

Задача 11.  Внутри окружности равны две точки N и T. Провести через них две равные параллельные хорды.

Построение (рис. 12).

рис. 12.

1. Находим центр данной окружности (задача 10).
2. NQ=QT (задача 4).
3. OQ – диаметр окружности.
4. AN||CT||OQ.
5. AB =CD (как равноудалённые х орды).

Значит, отрезки АВ и СD – искомые.

Глава 2.6 Задачи на построение параллелограмма.

Задача 12.  Восстановить параллелограмм по трём серединам сторон.

Построение (рис. 12).

  рис 12.

1. Соединяем данные нам точки отрезками.
2. Найдём середину отрезка АВ – точку О.
3. Удвоим отрезок ОС. Получим точку С1.
4. l || k|| AB.
5. m||n||CC1
6. K; L; M; N – вершины искомого параллелограмма.

ГЛАВА 3 Исследование эффективности двусторонней линейки.

Ученики в возрасте 14 лет.

Следует отметить, что построение с помощью угольников, транспортиров и пр. значительно затрудняется, если длина или градусная не целые числа. Также построение выполнить сложнее, если длина отрезка или расстояние от точки до прямой больше длины линейки.

Заключение.

Двусторонняя линейка – это эффективный чертёжный прибор, позволяющий выполнять множество различных построений и способная при необходимости заменить сложные чертёжные приборы.

Она выигрывает во времени у них при решении простейших задач, но значительно проигрывает в выполнении более сложных построений.

К тому же при выполнении построений двусторонней линейкой на чертеже остаётся много посторонних линий, в которых легко запутаться.

Однако скорость выполнения построения с её помощью мало зависит от длины отрезка или градусной меры угла, чего нельзя сказать о транспортирах и линейках.

Вывод: двусторонняя линейка имеет как преимущества перед другими чертёжными инструментами, так и недостатки. Однако в случае необходимости её можно использовать вместо них.

Я считаю, что мне удалось выполнить поставленную мною цель, ведь я научился выполнять построения двусторонней линейкой и применять навыки решения простых задач при решении более сложных.

Также мне удалось повести исследование и проверить эффективность объекта моего исследования в сравнении с другими инструментами.

Список литературы.

1. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 класс/ - М.: Дрофа, 1998.
2. Журнал «Математика в школе»,  1998, №7.
3. «1 сентября» Математика, 2008, №4.
4. А.В. Аляев. Геометрические построения двусторонней линейкой. Математика в школе. 1976г, №3.