Решение задач с параметром. Дидактический материал.

Дидактические материалы для обучения решения задач с параметрами.

Тема1: «Решение линейных уравнений с параметром»

ПРИМЕР 1: Решить уравнение:

                                             Решение.

Приведём данное уравнение к виду  Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

Рассмотрим случаи:

Если т.е.  и , то обе части уравнения разделим на . Получим , сократим дробь и получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

Ответ:   при  и   -  единственное решение уравнения:

                при    -  нет  решений

                при    -   любое действительное число.

ПРИМЕР 2: Решить уравнение:                                        

Решение.

Приведём данное уравнение к виду  Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

,

.

Рассмотрим случаи:

Если т.е.  и , тогда получим  единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой части. Рассмотрим случаи:  а) 2в – 1 = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

                                                в) , т.е.  то подставив это значение параметра в          

            уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство,  

            следовательно, данное уравнение решений не имеет.

 3.  Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  

       Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой  

      части.

      Рассмотрим случаи:  а) 4 – а = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в  

      уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно,  

      решением данного уравнения является любое действительное число.

                                                в) , т.е.  то подставив это значение параметра в          

            уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство,  

            следовательно, данное уравнение решений не имеет.

 4.  Если  и , то подставив эти значения параметров в уравнение, получим  

           - неверное числовое равенство,  следовательно, данное уравнение решений  

           не имеет.

Ответ:   при  и   -  единственное решение уравнения:

                при ,   или  ,   -  любое действительное число

                при ,   или  ,      -   нет  решений.

ЗАДАЧИ.

1. Решить уравнение:  

2. Решить уравнение:  

3. Решить уравнение:  

4. Решить уравнение:  

5. Решить уравнение:  

6. Решить уравнение:  

7. Решить уравнение:  

8. Решить уравнение:  

9. Решить уравнение:  

10. Решить уравнение:  

11. При каких значениях параметра в уравнение :

     а) имеет бесконечно много корней;                 в) имеет корень, равный единице;

     б) не имеет корней;                                            г) имеет ненулевые корни?

12. При каких значениях а уравнение имеет:

     а) только положительные корни;                 б) только отрицательные корни?

13. Решить уравнение:   :

      а) относительно х  и найдите значение параметра, при котором корень равен нулю;

      б) относительно у  и найдите значение параметра, при котором корень равен единице?

14. При каких значениях параметра в число 1 является корнем уравнения ?

15. При каких значениях параметра а уравнение  имеет корни не равные    

      3?

16.Решите уравнение:

1)(а + 1)х = 1             4) (а + 1)х =а - 1  

2) ах = а+ а             5) (а+ а)х = а- 4а

3) х + 2 = ах               6) ах = а + 1 + х

17.При каком значении параметра а уравнение а(х - 1) = х - 2  имеет решение, удовлетворяющее условию х  1?

   При решении дробных уравнений с числовым коэффициентами могут появиться посторонние корни. Такая же ситуация может возникнуть и при решении дробных уравнений с параметром.

Задание 1. При каких  a уравнение  имеет единственное решение?

Решение: Данное уравнение равносильно системе

Наличие квадратного уравнения и  условие единственности приводит  к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие должно  привлечь внимание.  Квадратное уравнение системы может иметь два корня, но обязательно только один из них должен равняться -3. Имеем , отсюда , если  - корень  уравнения   при  ,

Причем  при таком значение а, второй корень квадратного уравнения отличен от -3. Ответ: a=±2 или а =-10/3.

Задание 2.Решить уравнение

Решение: при m = 0 уравнение  не имеет смысла, значение x должно удовлетворять условию x ≠ -1,  x  ≠ -2. Умножив все члены уравнения на m(x+1)(x+2)≠0, получим уравнение, равносильное данному. Его корни . Выделим из этих корней посторонние, т. е. те корни которые равны -1 и -2:

= m + 1=-1,  m =  - 2, но при m = -2, = -5; = m+ 1,  m = - 3, но при m = -3 = - 6; = m – 3 = -1,  m = 2,  но при m = 2 = 3; = m- 3 = -2,  m = 1,  но при m = 1 = 2.

Ответ: при m ≠ 0,  m ≠ ±2,  m ≠ 1 = m + 1, = m - 3; при m = -2 = -5; при  m = -3, = -6; при m = 2 = 3; при  m = 1 = 2; при  m = 0 решений нет.

Задание 3. Решите уравнение.

Решение: при b ≠ -1, x ≠ 2 получаем (1) и корни ,, существующие при , т. е. при   Теперь проверим, нет ли таких b при которых либо, либо равен 2. Это легче определить по уравнению (1), подставив x = 2, при этом получим b = -8.

Второй корень в таком случае равен  (по теореме Виета) и при b = -8 равен 14.

Ответ: при  b = -8 единственный корень x = 14; при b  (-∞;-8) (-8;-4) (1;+∞)- два корня , ; при b= единственное решение x=; при b  корней нет.

  Задание4.  

  ОДЗ:  х  х – а = 0, х = а

  Ответ: при  х = а; при а = -2 корней нет.

Задачи.

Решите уравнение (1 - 5)

Тема2: «Количество корней уравнений с параметром»

      Квадратичная функция задаётся формулой y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y- переменные. Графиком квадратичной функции является  парабола.  

        Коэффициент  a определяет направление ветвей параболы. Если  а >0 , то они направлены вверх, если а<0, то направлены вниз.  Дискриминант квадратного трёхчлена  D=b²-4ac  определяет  наличие и количество общих точек с осью  Ох. Если D<0, то парабола не пересекает ось абсцисс. Если D=0, то  парабола и ось имеют одну общую точку. Если D>0, то общих точек  две.

        Графический способ решения задач с параметрами является универсальным, а значит  (обратная сторона любой универсальности), есть конкретные случаи, когда задачу можно решить несколько проще.

       Пусть для функции y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y — переменные. Числа  и  – нули функции, D = b– 4ac, D > 0, , = - - абсцисса вершины параболы.         В этих задачах, как правило, требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней.

        Перечислим основные условия:

1) оба корня меньше некоторого числа А                                  <А;

2) число А лежит между корнями                                               <А<;

3) оба корня больше некоторого числа А                                     А< ;

4) оба корня лежат между числами  А и В                                 А< <В;

5) только больший корень принадлежит промежутку (А;В)    < А,  А< <В;

6) только меньший корень принадлежит промежутку (А;В)    А< <В,  В< ;

7) оба корня лежат по обе стороны от промежутка (А;В)         < А, >В.

В таблице приведены условия, необходимые и достаточные для выполнения перечисленных условий. Понятно, что запомнить  их все-задача весьма непростая, но это и не требуется. Покажем, что означает то или иное неравенство в условиях, начав с первого случая:  Самое простое требование – не отрицательность дискриминанта квадратного трёхчлена- корни должны существовать. А вот второе неравенство системы совсем неочевидно.

      Если мы знаем знак выражения, то всегда можем определить  где лежит число А (между корнями или нет). Если a>0, то график квадратного трёхчлена «растёт» вверх. Тогда , меньше нуля. Когда число А не находится между корнями, то   больше нуля.

      Если а<0,то график квадратного трёхчлена «растёт вниз». При этом значение  наоборот, меньше нуля, когда число А находится между корнями. Однако выражение  снова отрицательно. Аналогично, это выражение положительно при  А (;).

Итак, если <0, то А(; ), если >0, то А (; ).вернёмся к условиям  не отрицательность дискриминанта даёт существование корней, положительность выражения  соответствует тому, что А(;), а последнее неравенство устанавливает расположение обоих корней слева от А, ведь абсцисса вершины параболы – середина отрезка -находится слева. Выбор абсциссы вершины объясняется тем, что работать с формулой  = - в общем случае проще, чем с формулами корней квадратного трёхчлена. Условия в третьем случае аналогичны предыдущим.

Для существования второго расположения корней относительно данного числа А достаточно, чтобы  выполнялось неравенство <0. Это же неравенство даёт нам условие существования корней,  если их нет, то выражение  всегда положительно.

Условия для случаев 4-7 следуют из уже рассмотренных нами случаев.

Практикум по решению задач с использованием таблицы.  

Пример 1.     Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения

                       (а-2)х-3(а+3)х+а+1=0 имеют разные знаки?

Решение.

Пусть (а-2)х-3(а+3)х+а+1,  -корни причём, .

Условие того, что уравнение =0 имеет корни разных знаков, равнозначно условию расположения числа 0 между нулями квадратичной функции у =.

Необходимым и достаточным условием этого является следующее неравенство

(см. второй случай в таблице) (а-2)(а+1)<0, где а второй коэффициент при хквадратного трёхчлена; f(0) = а+1 — значение квадратного трёхчлена при х=0.

Решив неравенство (а-2)(а+1)<0, получим -1<а<2.

                                             Ответ.(-1;2)

Пример 2.     Найти все значения параметра b, при которых корни уравнения

(b+1)x²+2x-3b-1=0 меньше 1.

Ответ:

Пример 3.     Найти все значения а, при которых корни уравнения

(а+1)x²-(а²+2а)x-а—1=0 принадлежат отрезку

Ответ:

Указания: рассмотреть случаи, когда старший коэффициент при x² равен нулю и когда он не равен нулю, во втором случае найти абсциссу вершины параболы, значение квадратного трёхчлена в точке х=1, дискриминант. С помощью таблицы составить систему неравенств, преобразовать её в простейшую и выбрать ответ из двух случаев.

Задачи

1.Найдите все значения параметра а такие, что уравнение  имеет один корень.

2.Найдите все числа а такие, что уравнение  имеет решение.

3.Найдите все числа а такие, что уравнение  имеет решения:

4.Для каждого значения параметра а найдите число корней уравнения

5. Для каждого значения параметра а найдите число корней уравнения

Тема3: «Решение линейных неравенств с параметром»

Задачи

1.Решите неравенство:

ax > 1                    

2.При каких значениях параметра а неравенство  верно  при  всех х, удовлетворяющих условию

3.Для     всех   допустимых    значений   параметра     а   решите  неравенство                                        

Тема4: «Количество корней квадратных уравнений с параметром»

Задачи

1. При каких значениях параметра а уравнение имеет один корень:

2. Найдите все значения параметра а, при котором уравнение  имеет два различных корня.
3. Найдите число а такое, что графики функций

 и

     имеют одну общую точку

4. Найдите все значения параметра а , при которых уравнение  имеет два различных корня
5. Выясните, в зависимости от параметра m сколько корней имеет уравнение.
6. а) Найдите все значения параметра а для которых уравнение  имеет два положительных корня

     б) При каком значении параметра а, оба корня квадратного трехчлена   положительны?

Тема5: «Решение квадратных уравнений с параметром»

Рассмотрение решение параметрических квадратных уравнений, с их геометрической иллюстрацией.

Задание. Найти все значения параметра p, при  которых уравнение  а) имеет одно решение; б) имеет два решения; в) имеет решение; г) не имеет решение. Проанализировать знаки корней уравнения.

Решение: Для нахождения корней уравнения проанализируем возможные случаи, в зависимости от параметра p.  

 Найдем  ; D=.

1. Уравнение имеет два совпадающих корня, т. е. одно решение. Это возможно, если D = 0, ;  Проверим знаки корней:  

                                                  y                                              y

; (рис 1)

                                                                            x                                              x

                                         Рис.1                                      Рис.2

2. Уравнение имеет корни разного знака, если (Рис.2)

а). Оба корня уравнения положительные. Это возможно тогда и только тогда, когда выполняется условие:(рис.3)  

              y                                                                          y

                                          x    Рис.3                                                         x  Рис.4

б). Оба корня уравнения отрицательны, если выполняется условие:                                                                                             (рис.4)

           y

Рис.5                                   x

3.Уравнение вообще не имеет корней. Это возможно, если D <0, т. е. (рис.5)

 Ответ: а) имеет единственное решение, если ; б) имеет два решения,  

   если ; в) не имеет решение, если.

 Задачи

Решите уравнение, используя общую формулу

Решите уравнение, используя теорему Виета

Решите уравнение

Тема6: «Решение квадратных неравенств с параметром»

          Неравенства вида ах2 + bх + с>0,   ах2 + bх + с < 0,

                                        ax2+bx + c≥0,    ax2 + bx + c≤0   (a≠0),

          где а, b, с — действительные числа или выражения, зависящие от

          параметров,   называются квадратными.

Решение квадратных неравенств основано на применении свойств квадратного    

трехчлена ах2+bх+с, которые допускают наглядную геометрическую  

интерпретацию.

Рассмотрим, например, неравенство  ах2 + bх + с>0,   (a≠0).

                  Возможны следующие случаи.

1. Если а > 0 и дискриминант D < 0 (рис.1), то решением
   неравенства являются все xЄR.                                                                                                               

         рис.1                                     рис.2                                                   рис.3

 2.Если а > 0 и D = 0 (рис.2), то хЄ(-∞;-b/2а)U(-b/2а;+∞).

З.Если а>0 и D>0 (рис.3), то хЄ(-∞;х1)U(x2;+∞) где х1,х2 — соответственно меньший и больший корни квадратного трехчлена.

4.Если а<0 и D < 0 (рис.4), то хЄØ.

5.Если а < 0 и D = 0 (рис.5), то хЄØ.

6.Если а<0 и D>0 (рис.6), то хЄ(х1;х2), где х1,х2 — соответственно меньший и больший корни квадратного трехчлена.

                       рис.4                                рис.5                                   рис.6

   II. Этап усвоения новых знаний, тренировочные упражнения.

Пример 1. Для каждого действительного значения a решить неравенство

                   a х2 +х+1>0.

Решение.

1) При a=0  неравенство является линейным и имеет решение  х>-1.

2) При a≠0  неравенство является квадратным,  D=b2-4ac=1-4a.

    a) Если D=0, то есть а=1/4, то неравенство принимает вид х2+4х+4 >0, решая которое получим х<-2, x>-2.

    б) Если D<0, то есть а>1/4, то неравенство справедливо при х Є R.

    в) Если D>0 и 01,2=        .

       Разложим левую часть исходного неравенства на линейные

множители  а(х-        )(х-        ) >0. Решив методом интервалов,

получим  х<        и   х>         .

     г) Если D>0 и а<0, то с учётом предыдущего рисунка получим

решение            

Ответ:  1) при а=0   х> -1;    2) при а=1/4    х<-2, х>-2;                         

            3) при 01,2=

Пример 2.  Решить  для любых вещественных значений а неравенство

                   х2-4ах+9≤0.

Решение.

Данное неравенство является квадратным, D=16a2-36.

 1) Если D=0, то получим  16a2-36=0,  a2=9/4,  a=±1,5.

        а)  при а=1,5 неравенство примет вид  х2-6х+9≤0, решением

             которого является х=3;

        б)  при а=-1,5 неравенство примет вид х2+6х+9≤0, решением

             которого является х=-3.

  2)  Если D<0 при -1,5

        неравенство не имеет (см. рис.7).

  3)  Если D>0  при а<-1,5 и a>1,5 , то хЄ[2a-; 2а+]

         (см.  рис. 8).                    

       рис.7                           рис.8

Пример3. При каких значениях параметра а неравенство х2 – ах+а >0 выполняется при всех х, таких, что  -1<х<0?

Решение.

       Данное неравенство является квадратным при любых действительных

значениях параметра а. Рассмотрим поведение соответствующего квадратного трехчлена в зависимости от знака его дискриминанта.

   «Ветви» параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при указанных значениях х в трех случаях:

1. парабола расположена выше оси абсцисс при всех значениях х ( рис .9);
2. парабола пересекает ось абсцисс (или касается ее) в точках, расположенных не правее точки -1 (рис. 10);
3. парабола пересекает ось абсцисс (или касается ее) в точках, расположенных не левее точки 0 (рис. 11).

       рис. 9                        рис. 10                            рис. 11

Рассмотрим эти случаи.

Сначала найдем дискриминант и корни соответствующего уравнения:

А=1,  В=-а,  С=а,  D=a2-4a,  х1= x2= x1≤x2.

1 случай (см. рис. 9). Этот случай определяется условием D<0, тогда получаем:  а2-4а<0, из чего следует решение 0<a<4.

2 случай (см. рис.10).Данная ситуация задается системой неравенств:

Находим её решение:    Решив второе неравенство системы, получим =>   =>   =>  =>  Ø.

3 случай (см. рис.11).Этот случай определяется следующей системой неравенств:   Находим решение данной системы:  =>

  =>  a=0, a≥4. (Действительно, решая второе неравенство системы, получаем: а-  =>    =>    =>    =>  a≥0).

Учитывая решение первого неравенства (а≤0, а≥4), находим  ответ: а=0, а≥4.

       Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.  

Ответ: а≥0.

Пример 4. Определить все значения параметра m, при которых неравенство

(m-1)х2 +(m+1)х+m+1>0  справедливо для любых действительных значений х.

Решение.

    Пусть m=1. Исходное неравенство примет вид 2х+2>0 и не может выполняться при всех х Є R.

    Пусть m≠1, тогда квадратный трехчлен  f(х)=(m-1)х2+(m+1)х+m+1 принимает положительные значения при х Є R (график лежит выше оси абсцисс) тогда и только тогда, когда выполняются условия:

  <=>    <=>    <=> .    

Ответ: mЄ(5/3;+∞).

Пример 5.  При каких а неравенство (х-а)(х-2)≤0 имеет единственное решение?

Решение.

1). Если а=2, то требование задачи удовлетворяется, т.к. при а=2 получаем

     неравенство (х-2)2≤0, имеющее единственное решение х=2.

2). Если а≠2, то решением исходного неравенства будет отрезок.

Ответ:  а=2.

Пример 6.  При каких а решением неравенства (х-а)2(х-2)(х+3)≤0 будет отрезок?

Решение.

1). Так как (х-а)2≥0, то исходное неравенство равносильно системе

                                        (*)

2).  Решением системы неравенства будет отрезок  -3≤х≤2. Следовательно,

при  аЄ[-3;2] решением системы (*) также будет отрезок.

Ответ:  -3≤a≤2.

Пример 7.  Найти все значения а, при которых неравенство (х-3а)(х-а-3)<0

Выполняется при всех х, таких, что 1≤х≤3.

Решение.

 Решением неравенства является один из промежутков: (3а;  а+3) или (а+3; 3а).

 Причем по условию задачи каждый из этих промежутков должен содержать отрезок [1;3], и возможны два варианта:

      а)                                               б)

 Итак, искомые значения параметра – это решение двух систем:

а)                 б)  

Решая эти системы, получим 0<а<1/3.

Ответ:  0<а<1/3.

Пример 8. Найти все значения параметра m, при которых всякое решение неравенства 1≤х≤2 является решением неравенства х2-mх+1≤0.

Решение.

   Исходная задача может быть переформулирована следующим образом:

при каких значениях  m  множество решений неравенства  х2-mх+1≤0 содержит  отрезок [1;2]? График квадратного трехчлена должен располагаться так, как показано на рис.12:

               рис.12

Положение параболы определяется условиями:  

  <=>    <=>  m≥2,5.

Ответ:  mЄ[2,5;+∞).

Пример 9.   Найти  все  значения  параметра  а, при  которых  любое значение х, удовлетворяющее неравенству  ах2+(1-а2)х-а>0, удовлетворяет также неравенству │х│≤2.

Решение.

Исходную задачу можно переформулировать следующим образом: при каких значениях а все решения исходного неравенства принадлежат отрезку -2≤х≤2?

      Если а=0,то исходное неравенство принимает вид х>0.Видно, что значение а=0 не удовлетворяет условию задачи.

      Пусть а≠0. Вычислим дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части неравенства:  D=(1-а2)2+4а2=(а2+1)2. Очевидно, что D>0 при любых значениях а. Поэтому при любых значениях а≠0 рассматриваемый квадратный трехчлен имеет два действительных различных корня  х1=а,      х2=-1/а, причем х1<х2. Тогда решением исходного квадратного неравенства является либо промежуток (х1; х2), что соответствует случаю а<0 ( рис. 13),  либо множество, состоящее из двух   неограниченных промежутков (-∞;х2) и (х1;+∞), что

соответствует случаю а>0 (рис.14).

                   рис. 13                                         рис. 14

Видно, что все а>0 не удовлетворяют условию задачи. Рассмотрим случай  

а<0. Тогда искомые значения а определяются системой -2≤а<-1/2≤2, откуда учитывая, что а<0, получим  -2≤а≤-1/2.

Ответ:  аЄ[-2;-1/2].

Пример 10.  При  каких  а  неравенство  ах2+(2а+3)х+а-1≥0  не имеет решений?

Решение.

1. Если а=0, то неравенство примет вид 3х-1≥0, которое имеет решение при х≥1/3, то есть условие задания не выполняется.
2.  Если  а≠0, то исходное неравенство является квадратным.                                    

а)  а<0,  ветви параболы направлены вниз. В этом случае  исходное          неравенство не будет иметь решение, если D<0 (см. рис.15).

     D=(2а+3)2-4а(а-1)=16а+9;      16а+9<0, если а<-9/16.

     б)  а>0,  ветви параболы направлены вверх, в этом случае исходное

     неравенство обязательно будет иметь решение, то есть условие задания

     не выполняется ( см. рис. 16).           

        рис. 15                                           рис. 16

Ответ:  а< -9/16.

Подготовительные задачи

1. Решите неравенство  с использованием эскиза графика квадратного трехчлена
2. Какие  и сколько можно получить различных эскизов графиков квадратного трехчлена  при решении квадратного неравенства?

     Охарактеризуйте каждый рисунок. a>0, a<0

3. Каким должен быть рисунок, чтобы для неравенства

  Вы дали ответ: 1)решений нет; 2) х-любое число?

Задачи

1. При каких значениях параметра а неравенство выполняется для всех х:

2. При каких значениях параметра b неравенство не выполняется ни при каких x:

3. Решите неравенство:

Тема7: «Задачи на расположение корней квадратного трёхчлена»

Задание 1. При каких значениях параметра а, число 2 находится между корнями квадратного уравнения

  Решение: Пусть x и xкорни  квадратного уравнения, причем.

Воспользуемся теоремой о расположении корней квадратного трехчлена и придем к следующей системе: или 17+6a<0, откуда a<-.  Ответ: a<-.  

Задание 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых корни квадратного уравнения  различны и лежат на отрезке .

Решение:

Изобразим схематично условие задачи:

                                                             0                               2                   х                    0                       2      х

D=                               

 Если

Ответ:

Задачи

1. При каких значениях параметра а корни уравнения  положительны?

2.  При каких значениях параметра а оба корня уравнения  больше -2?

3.  При каких значениях параметра а оба корня уравнения  больше -1?

4.  При каких значениях параметра а корни уравнения  таковы, что число 2 находится между ними?

5. Найдите все значения параметра а при которых корни квадратного трехчлена  имеют разные знаки и расположены по разные стороны от числа 1.

7. Найдите множество всех значений параметра m, при которых уравнение имеет два корня, заключенные между -1 и 1.

Тема8: «Системы уравнений и неравенств с параметром»

Пусть дана система линейных уравнений   (1).

В этой системе хотя бы один из коэффициентов  и  при х отличен от нуля, пусть для определенности ≠0. Тогда из второго уравнения системы получим, что х = . Подставив полученное выражение вместо х в первое уравнение системы и умножив уравнение на ≠0, получим    (2).

Возможны три случая:

        1) Если ≠0  (3), то уравнение (2) имеет единственный корень, поэтому и система (1) имеет единственный корень.

Если не только ≠0, но и ≠0, то условие (3) можно записать в виде ≠ (коэффициенты при  и не пропорциональны).

2) Если =0 и =0  (4), то уравнение (2) имеет бесконечное множество корней, поэтому система (1) имеет бесконечное множество решений.

Если не только ≠0, но и ≠0, и ≠0, то условия (4) можно записать в виде == (коэффициенты первого уровня пропорциональны коэффициентам второго уровня).

3) Если =0 и ≠0 (5), то уравнение (2) не имеет корней, поэтому система (1) не имеет решений.

Если не только ≠0, но и ≠0, и ≠0, то условия (5) можно записать в виде =≠ (коэффициенты при  пропорциональны коэффициентам при , но не пропорциональны свободным членам).

Если в уравнении (1) не ≠0, ≠0, то, проведя аналогичные рассуждения, мы получим тот же результат – уравнение (2).

Это означает, что сделанные выводы не зависят от того, какой из коэффициентов  или  (или оба) отличны от нуля.

Пример 1: Определить число решений системы

             а) ,            б) ,              в) .

Решение:      а) коэффициенты при  и второго уровня системы не равны нулю и  ≠ , поэтому система имеет единственное решение.

                      б)   Все коэффициенты второго уравнения системы не равны нулю и  =  = , поэтому система имеет бесконечное множество решений.

                     в)    Все коэффициенты второго уравнения системы не равны нулю и  =  ≠ , поэтому система не имеет решений.

Ответ:   а)  система имеет единственное решение;

            б)  система имеет бесконечное множество решений;

            в)  система не имеет решений.

        Пример 2: Определите все значение параметра  при которых система уравнений      (1) имеет единственное решение.

Решение:  Если ≠0, то система имеет единственное решение при выполнении условия ≠, а для любых система имеет единственное решение, если выполняется условие  (2).

Так как уравнение имеет два корня =1 и = - , то при всех ≠1, ≠-  выполняется условие (2) т.е. система (1) имеет единственное решение.

Ответ:    при ≠1, ≠- .

        Пример 3: Определите все значения параметра , при которых система уравнений       имеет бесконечно много решений.

Решение:  = , то есть все коэффициенты второго уровня системы отличны от нуля.

Тогда система имеет бесконечно много решений при условии ==.

Так как уравнение = имеет единственный корень =1 и при =1 справедливо равенство =, то система имеет бесконечно много решений только при  =1.

Ответ: при  =1.

Пример 4: При каком значении параметра  система уравнений

          не имеет решений?

Решение: Система не имеет решен6ий при выполнении условий =≠ (если ≠0) или условий  и  (для любых значений ). Уравнение  имеет корни =0 и = 4, при каждом из этих двух значений  выполняется условие , поэтому система не имеет решений при = 0 и = 4.

Ответ: при = 0 и = 4.

        Пример 5. При всех значениях параметра  решить систему уравнений

          (1).

Решение: Система равносильна системе

          (2).

        1) Если =5, то второе уравнение системы (2) не имеет корней. В этом случае система (2) не имеет решений.

        2) Если =-5, то решением второго уравнения системы (2) является любое действительное число . Тогда, , т.е. решением системы (1) является любая пара чисел (;), где R.

        3) Если ≠ ±5, то второе уравнение системы (2) имеет единственный корень =. Из первого уравнения системы (2) вычитаем значение

        ===0.

В этом случае система  (1) имеет решение (0; ).

Ответ: если =5, то система не имеет решений;

          если =-5, то решением является (;),R.;

          если ≠ ±5, то (0; ) – решение системы.

Задачи

1. При каком значении параметра а система уравнений

        не  имеет решений?

2. При каких значениях параметра m система уравнений

        имеет бесконечное множество решений?

3. При каких значениях параметра а система неравенств

         имеет одно решение?

4. При каких значениях параметра а система неравенств

         не имеет решений?