Исследовательская работа по математике: От натурального числа до мнимой единицы

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение школа 543 Московского района Санкт-Петербурга

Исследовательская работа

на тему:

От натурального числа до мнимой единицы

Выполнил: ученик 9 «А»

Милов Максим

Руководитель:

учитель математики Чагина Ю.А.

Санкт-Петербург, 2020 г.

Содержание:

1. Цель
2. Задачи
3. Теоретическая часть

1. Что такое комплексное число?
2. Что такое мнимое число?
3. Зачем нужно мнимое число?
4. Кто ввел обозначение мнимого числа?
5. Кто ввел понятие мнимого числа?
6. Где применяются комплексные числа?

3.6.1 Математика

3.6.2 Физика

4. Практическая часть

Как же решается квадратное уравнение, не имеющее действительных корней?

5. Карточки для учащихся
6. Контрольные вопросы
7. Итоги проекта
8. Источники информации

1.  Цель моей работы:

Выяснить что такое мнимое число, рассмотреть комплексные числа и узнать историю их возникновения и их применение.

2.   Задачи:

1. Собрать материал по своей теме.
2. Узнать что такое мнимое и комплексное число.
3. Расширить для себя поле действительных чисел до комплексных.
4. Познакомиться с историей возникновения комплексных чисел.
5. Рассказать слушателям о комплексных и мнимых числах.
6. Закончить исследование в виде презентации.
7. Сделать карточки  заданиями для учащихся, изучающих математику на углубленном уровне.

3. Теоретическая часть:

3.1 Что такое комплексное число?

Комплексным числом называется выражение вида z=a+bi, где i -мнимая единица.

Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями есть поле и обычно обозначают как С.

3.2 Что такое мнимое число?

Действительное число а называется действительной частью комплексного числа z=а+bi и обозначается а=Rez

Действительное число b называется мнимой частью числа z=a+bi и обозначается b=Imz

3.3 Зачем нужно мнимое число?

Неполное квадратное уравнение вида x2 = m (m – известная величина)является самым простым типом квадратного уравнения и вместе с тем очень важным, так как к нему приводится решение всякого квадратного уравнения. Оно легко решается, если m=0 или если m-положительное число, но если m-отрицательное число,то уравнение х2 = m (например, х2 = - 9) не может иметь никакого положительного и никакого отрицательного корня: ведь и положительное и отрицательное число по возведении в квадрат дает положительное число. Таким образом, можно сказать, что уравнение х2 = - 9 не имеет решений. Но с таким же основанием до введения отрицательных чисел можно было говорить, что и уравнение 2x + 6 = 4 не имеет решений.

 Однако после введения отрицательных чисел это уравнение стало разрешимым. Точно так же уравнение х2= - 9, не имеющее решений среди положительных и отрицательных чисел, становится разрешимым после введения новых величин - квадратных корней из отрицательных чисел. Введя в рассмотрение мнимые числа, можно сказать, что неполное квадратное уравнение x2 = m всегда имеет два корня. Если m > 0, эти корни действительны, они имеют одинаковую абсолютную величину и различны по знаку. Если m = 0, оба они равны нулю; если m < 0,  они мнимые.

3.4 Кто ввел обозначение мнимого числа?

Сам символ  был предложен академиком Петербургской академии наук Леонардом Эйлером в 1777 году, от латинского слова imaginarius – мнимый.

Также Леонард Эйлер распространил все стандартные функции на комплексную область и уточнил формулировку Основной теоремы алгебры о том, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень.

3.5 Кто ввел понятие мнимого числа?

Величины были впервые введены итальянским математиком Джероламо Кардано в середине XVI века в связи с решением кубического уравнения. Кардано назвал эти числа «софистическими» (т. е. «мудреными»).Французский математик Рене Декарт в 30-х годах XVII века ввел наименование «мнимые числа», которое, удерживается до сих пор. В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными. Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом. Часто и комплексные числа называют мнимыми.

3.6 Где применяются комплексные числа?

3.6.1 Математика

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел немецкий математик Карл Фридрих Гаусс нашел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник?

Из школьного курса геометрии известно, как циркулем и линейкой построить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более сложным является построение правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника. Научившись строить эти правильные многоугольники, легко перейти к построению соответствующих многоугольников с удвоенным числом сторон: восьмиугольника, десятиугольника и т. п.

Все эти задачи на построение были решены еще в Древней Греции. Однако, несмотря на огромные усилия многих замечательных древнегреческих геометров и других ученых, никому не удалось построить ни правильный семиугольник, ни правильный девятиугольник. Не удалось также осуществить построение правильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой задачи. В 1796 году Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал возможность построения правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории математики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников. Именно эту фигуру Гаусс завещал изобразить на своем надгробии. Скульптор это сделать отказался в виду сложности работы. Но памятник, воздвигнутый Гауссу в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольном постаменте.

3.6.2 Физика

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал Н. Е. Жуковский (1847 - 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа нашли применение во многих вопросах науки и техники.

Комплексные числа широко используются в различных областях физики, в особенности в описании волновых и электромагнитных процессов. С помощью комплексных чисел можно рассчитать параметры для сетей не только постоянного, но и переменного тока.

Также, комплексные числа используется в квантовой физике, квантовой механике и в электротехнике.

4. Практическая часть:

 Как же решается квадратное уравнение, не имеющее действительных корней?

= -1, преобразуем это уравнение:

=(-1)* 25 , =*,  -*=0

(x-5)*(x+5)=0, откуда =5=-5

Выпишем значения коэффициентов:

Формулы:

Подставим значения:

При школьных знаниях ответ будет: Нет действительных корней. Но с помощью мнимой единицы мы сможем найти корни квадратного уравнения

Ответ: 

5. Контрольная работа для учащихся:

_____________________________________________

1 вариант

1. Решить уравнение: = - 81

2. Составить приведенное квадратное уравнение, имеющее корни:

= 2+2,  = 2-2

3. Разложить на множители квадратный трехчлен:

+2z+5

                    4.       Найдите значения x и y из равенств:

                            1.7x + 5i = 1 – 10iy.                2.(2x + y) – i = 5 + (y – x)i.

                                                    3. x + (3x – y)i = 2 – i.

                      5.        Вычислите:

               1. (3 + 5i) + (7 – 2i).                                       2. (6 + 2i) + (5 + 3i)                    

                                                    3. (– 2 + 3i) + (7–2i).  

__________________________________________________________

2 вариант

1. Решить уравнение: = - 36

2. Составить приведенное квадратное уравнение, имеющее корни:

= 2+3,  = 2-3

3. Разложить на множители квадратный трехчлен:

- 2z+10

                    4.        Найдите значения x и y из равенств:
              1. (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i.               2. (2 – i)x + (1 + i)y = 5 – i.  

               3. (3i – 1)x + (2 – 3i)y = 2 – 3i.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

                    5.          Вычислите:

                          1.(5–4i)(6+2i).                             2. (3 – 2i) + (5 + i).      

                                                3. (4 + 2i) + (– 3 + 2i).

__________________________________________________________

6. Контрольные вопросы:

• 1.Какое число называют мнимой единицей?
• 2.Какие числа называются комплексными, из каких частей они состоят?
• Какая форма записи комплексных чисел называется алгебраической?

7. Итоги проекта:

• В ходе выполнения проекта я узнал историю возникновения мнимых чисел
• Узнал,  что мнимому числу посветили свои работы такие известные математики как Рене Декарт, Карл Фридрих Гаусс, Абрахам Муавр и другие.
• Выяснил, что мнимые числа применяются не только в алгебре и геометрии, но и в квантовой физике и электротехнике.
• Создал карточки с заданиями для учащихся.

         8. Источники информации:

Интернет источники:

• https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число
• https://thequestion.ru/questions/185064/chto-takoe-mnimoe-chislo-prostymi-slovami-zachem-oni-kak-imi-polzuyutsya
• https://otvet.mail.ru/question/72278136
• http://engangs.ru/175456/zachem-nujnyi-kompleksnyie-chisla-gde-eto-ispolzuetsya
• http://fb.ru/article/88839/kompleksnyie-chisla-znachenie-i-evolyutsiya-mnimyih-velichin
• https://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2013/04/21/metodicheskie-rekomendatsii-dlya-studentov-po

Справочные материалы и книги:

• Куланин Е.Д. – Комплексные числа – серия «Математика, Элективный курс», М. Илекса. 2013 – 112 с.
• Шахмейстер А.Х. – Комплексные числа, СПб. «Виктория-Плюс», 2011 – 176 с.
• Глейзер Г.И. – История математики в школе, М. Просвещение,  1964 – 375 с.
• Деменева Н.В. – Комплексные числа – Пермь, ИПЦ «Прокрость», 2017 – 112 с.
• Глазков Ю.А и др, – Комплексные числа. 9-11кл. – М, Экзамен, 2012 – 160 с.