Последние цифры степеней

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Гусиноозерская гимназия»

Последние цифры степеней

Исследовательская работа                                                                     

Автор: Будабазарова Суржана,

ученица 9А класса

Руководитель:

Будобазарова Ц. Н.,

учитель математики

Гусиноозерск, 2019

Содержание

Введение

Цели и задачи исследования 

1. Последние цифры степеней

1.1.Степень числа

1.2.Последняя цифра степени

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа

1.4.Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

2. Практическая часть

Выводы

Литература

Введение.

      Алгебру называют нередко «арифметикой семи действий», с четырьмя математическими операциями мы знакомы ещё с начальной школы, в 5 классе познакомились с пятым действием: возведение в степень. Вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью? Безусловно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. Например: глава VI, учебник "Геометрия",  Л. С. Атанасян. Можно встретить задания, содержащие степени числа в ОГЭ, в олимпиадных заданиях, заданиях "Кенгуру".

При решении примеров и задач не всегда под рукой находятся таблица квадратов, таблицы степеней. Тем более степени с большими показателями.

     Например такая задача. 

Надо найти последнюю цифру суммы  20112019 + 20122019 + 20132019 +20142019 +…+ 20192019. Я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления. Мне стало интересно, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели и задачи исследования.

Цель работы: построить алгоритм нахождения последней цифры числа.

Задачи:

• изучить литературу по данной теме;
• построить таблицу последних цифр различных степеней;
• выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа;
• применить данные закономерности при решении задач.

Метод исследования: теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический.

Обзор литературы.

1. Теоретическая часть

                                                    1.1.Степень числа

Сумму одинаковых слагаемых обычно записывают короче и называют произведением: а + а + а + а = 4а.

     Произведение одинаковых множителей также записывают короче и называют степенью:  а⋅а⋅а⋅а = а 4.

Читают: «а в степени 4» (или просто «а в четвертой»). При этом число а, называют основанием степени, а число 4 – показателем степени.

     Степенью числа а с натуральным показателем n (n>1) называется произведение  n множителей, каждый из которых равен а:  а.а.а....а=аn.

1.2.Последняя цифра степени

    Проведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2n, где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:

 Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2n для любого показателя n.

     В самом деле, возьмем число 2100. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 24, 28, 212, показатели которых кратны четырем. Значит, число 2100, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

     Возьмем к примеру, 222, если проверить, просто посчитав, используя калькулятор, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

     Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2,  т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

     А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа

     Я решила заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во - второй строке - цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.

    Я заполнила пятую строку, затем шестую и увидела, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.

     Итак, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения таблицы я получила следующие закономерности изменения последней цифры степени натурального числа :

• Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
• Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
• В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
• В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
• В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
• В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные - цифрой 6.

     Тогда возник вопрос, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

1.4. Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

      Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 нацело.

Вывод: если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.

 Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 с остатком, равным 1.

Вывод: если остаток равен 1, то последняя цифра будет равна последней цифре основания степени.

      Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степени делятся на 4 с остатком, равным 2.

 Вывод: : если остаток равен 2, то последняя цифра будет равна квадрату последней цифре в записи основания степени.

     Найдем последнюю цифру степеней  где показатели степени делятся на 4 с остатком, равным 3.

Вывод: если остаток равен 3, то последняя цифра будет равна кубу последней цифре в записи основания степени.

Итак, мы получили алгоритм нахождения последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, надо:

Найти остаток от деления показателя степени на 4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.

2. Практическая часть.

Я хочу предложить вам задать мне примеры, содержащие степень любого числа..., а я найду последнюю цифру данного числа.

 показать на презентации (Без решения)

А теперь, я хочу предложить вам решить некоторые из задач составленных мною.

 Задачи, составленные мною

1.Найти последнюю цифру числа 82016; 82017; 82018; 82019.

Решение:

82016

2016:4=504 (остаток 0)

Следовательно, т. к. последняя цифра основания четная искомая цифра равна 6.

82017

2017:4=504 (остаток 1)

Следовательно, последняя цифра равна последней цифре основания степени, т.е. 8.

82018

2018:4=504 (остаток 2)

Следовательно, последняя цифра равна квадрату последней цифры в записи квадрата основания степени, т.е. 8²=4.

82019

2019:4=504 (остаток 3)

Следовательно, последняя цифра равна квадрату последней цифры в записи куба основания степени, т.е. 83=2.

2.Какой цифрой оканчивается число ?

Решение:

11:4=3 (остаток 3).

Следовательно, последняя цифра числа  - 1.

12:4=3 (остаток 0).

Следовательно, последняя цифра числа  - 6.

13:4=3 (остаток 1).

Следовательно, последняя цифра  числа  - 3.

Получаем, 1+6+3=10. Итак, последняя цифра числа 0.

3.Доказать, что число  не делится нацело на 15.

Решение: Т.к. 15=5·3, то данное число  должно делиться на 5 и на 3. Выясним, делится ли оно на 5. Для этого, число должно оканчиваться цифрой 5 или 0.

2016:4=504 (остаток 0).

Тогда,  оканчивается цифрой 1,  оканчивается цифрой 6,  оканчивается цифрой 5. Получаем 1+6+5=12. Следовательно, число   оканчивается цифрой 2, а значит, оно не делится на 15.

4.Найдите последнюю цифру суммы 20112019 + 20122019 + 20132019 +20142019 +…+ 20192019.

Решение:

2019:4=504 (остаток 3).

Тогда 20112019 оканчивается цифрой 1, 20122019 - 8, 20132019 - 7, 20142019 - 4, 20152019 - 5, 20162019 - 6, 20172019 - 3, 20182019 - 2, 20192019 - 9.

Получаем: 1+8+7+4+5+6+3+2+9=45. Следовательно, 20112019 + 20122019 + 20132019 +20142019 +…+ 20192019 оканчивается цифрой 5.

5. Какой цифрой оканчивается число ((9999999)99)9 .

Решение:  ((999999)99)9 оканчивается на 9, т.к. степень нечетная.

6.  Найти последнюю цифру числа  1979 -1879 .

Вывод.

     В ходе исследования я выявила закономерности изменения последней цифры степени натурального числа, а также применила данные закономерности при решении задач. При применении данных закономерностей возникают расширенные возможности для решения алгебраических задач. Данная работа будет полезна как для проведения дополнительных занятий по математике, для более глубокого изучения алгебры, а также для подготовки к олимпиадам по математике, подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Результаты  работы могут быть использованы на занятиях математического кружка  и факультативах в 5-7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой.

       Результат моего исследования: выявлены закономерности изменения последней цифры степени натурального числа.

Литература

1. Р.И.Довбыш, Л.Л.Потемкина Математические олимпиады: 906 самых интересных задач – Ростов н/Д: Феникс: издательский центр «Кредо», 2006
2. Задания конкурса "Кенгуру", 2012-2014г.
3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М., Издательский дом ОНИКС, 2000.
4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра, М., Издательство технико-теоретической литературы, 1955.
5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы - М.: Просвещение, 1990    
6. intelmath.narod.ru/article_minmds.html