Считать в уме? Легко!

Слет научных обществ обучающихся

образовательных организаций общего и дополнительного образования

города Нижневартовска в 2017-2018 учебном году

Считать в уме? Легко!

Секция №5

Математика.

2018

Содержание

Введение……………………………………………………………………………..…………2

Повышение уровня вычислительных навыков ………………………………….…………..3

Методы совершенствования вычислительных навыков…………………………………….5

Методы быстрого счёта………………………………………………………………………..9

Заключение…………………………………………………………………………………..14

Список литературы………………………………………………………………………….15

Приложение………………………………………………………………………………….

Введение

Актуальность. Современный уровень развития науки и техники требует глубоких  и прочных математических знаний. Математические расчёты, основанные на использовании алгоритмов основных математических действий, оказывают влияние на усвоение не только математики, но и отдельных разделов курса физики, химии и других предметов, а также являются основной частью трудовой деятельности рабочего, инженера, экономиста, биолога и так далее.

Цель работы: Изучить способы быстрого счёта. Исходя из поставленной цели, в работе решаются следующие задачи:

1. Изучить дополнительные методы математических действий.
2. Быстро и безошибочно выполнять действия над числами.
3. При выполнении работ практического характера использовать методы быстрого счёта.

Повышение уровня вычислительных навыков

 О роли и значении вычислительных навыков в процессе обучения К. Д. Ушинский говорил: «Если бы человек не имел способности к навыку, то не мог бы продвинуться ни на одну ступень в своем развитии, задерживаемый беспрестанно бесчисленными трудностями, которые можно преодолеть только навыком, освободив ум и волю для новых работ и для новых побед.

Бес прочных навыков в области вычислений и тождественных преобразований изучение математики немыслимо, так как, вместо того чтобы расходовать энергию, например на осмысливание задачи, составлении упражнений, мы ученики будем сосредотачивать все внимание на упрощении выражений, сокращении дробных чисел и всякого рода вычислениях.

Мои наблюдения показывают, что всякого рода вычисления при решении задач отнимают много времени  (порой до90%), предоставленного для выполнения работы, а не более 10% на размышления и обоснования. Между тем если бы учащиеся владели навыками вычислений, то тем самым они освободили бы ум и волю для проведения иных процессов, в частности для размышлений при решении задач. К тому же техника вычислений способствует развитию скорости мышления, внимания, памяти. Формирование сознательных и прочных вычислительных навыков - одна из основных задач обучения математике

 Вычислительную культуру я формирую на всех этапах изучения математики, стараюсь осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень).  Моя вычислительная работа на уроках математики и дома способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений, а также играет немаловажную роль в привитии и повышении   познавательного интереса к урокам математики. На мой взгляд, устные упражнения важны и ещё и тем, что они активизируют мыслительную деятельность. Таким образом, развивается и закрепляется умение находить числовое значение выражения на все действия с обыкновенными и десятичными дробями. Эта работа проводится как при изучении нового материала, так и при выполнении заданий вычислительного характера. В вычислительная техника совершенствуется при выполнении тождественных преобразований над степенями с натуральным показателем, с одночленами многочленами, при использовании тождеств сокращенного умножения.

 Для достижения правильности и беглости устных вычислений я использую приёмы быстрого счёта. И это мне помогает быстрее остальных решить ту или другую задачу, найти значение выражения. И многое другое.

Исследовательская работа (была проведена в 5-6 классах)

Устный счёт провожу так, чтобы ребята начинали с лёгкого, а затем постепенно брались за вычисления всё более и более трудные. Я использую два вида устного счёта. Первый, – при котором не только называю числа, с которыми надо оперировать, но и демонстрирую их учащимся каким-либо образом (записываю на доске, указываю по таблице, проекцирую на экран с помощью проектора). Подкрепляя слуховые восприятия учащихся, зрительный ряд фактически делает ненужным удерживание данных чисел в уме, чем существенно облегчает процесс вычислений. Второй вид устного счёта, когда числа воспринимаются только на слух. Учащиеся при этом ничего не записывают и никакими наглядными пособиями не пользуются. Второй вид устного счёта сложнее первого.

В 5 классе я старался сделать так, чтобы устный счёт воспринимался как интересная игра.

Они внимательно следили за ответами друг друга. Практически на каждом занятии при проведении устного счета использую игровые моменты: закодированные примеры, «игру в футбол», числовые цепочки, развивающие задачи, математические диктанты.

Различные  задания позволяют выполнить большой объем вычислений за небольшое время. Таким образом, оттачиваются не только вычислительные навыки, формируется «числовая зоркость», но и тренируется внимание, развивается оперативная память. В результате таких тренировок я сам научился быстрее и правильно считать и думать, овладел различными приемами самопроверки, значительно лучше ориентируюсь в числовых множествах.

 Подобные задания использую для индивидуальной работы со своими одноклассниками вне урока. В ходе устной работы проводим математические эстафеты: ученики по очереди называют ответы, а для развития математической речи предварительно прочитывают задания.

Экспериментирую  работу в парах – один ученик называет ответы, другой проверяет правильность. Затем меняемся ролями. В этом случае каждому ученику приходиться решить достаточно большое количество заданий.

Методы совершенствования вычислительных навыков

    Математика – это мощный фактор интеллектуального развития познавательных и творческих способностей. Очевидно, что характер и эффективность математического развития в значительной мере становится фактором успешности дальнейшего обучения математике. Почему же трудно даётся математика уже в школе? Мои исследования (в 5-7 классах.) показали, что ученики  не владеют техникой вычисления   

 Счёт в уме (устные вычисления) является самым древним и простым способом вычислений. Устному счёту уделял большое внимание известный русский деятель в области просвещения доктор естественных наук, профессор ботаники Московского университета Сергей Александрович Рачинский (1832-1902). В 1872 г. он переехал из Москвы в своё имение, село Татево Смоленской губернии. Там организовал начальную школу и сам преподавал в ней, стремясь развить у крестьянских детей математические способности и привить им интерес к математике. Всем известна картина Н. П. Богданова-Бельского “Устный счёт”. На ней изображён С. А. Рачинский со своими учениками. Обратимся к картине. На доске записан пример для устного счёта:. Мальчик, конечно же, догадается, что сумма квадратов первых трёх натуральных чисел равна сумме квадратов следующих чисел, т.е. . Таким образом, данное на картине числовое выражение равно 2 ,Но  эту задачу  ученикам 6 –х классов решить трудно. Не под силу эта задача и среднему звену современных учащихся. Почему? Да потому что ученики не отрабатывают свои вычислительные навыки, ссылаясь на недостаток времени («лучше на калькуляторе – быстрее!»)..В настоящее время бытует мнение, что вычислительная работа должна стать уделом компьютеров, а человек может отойти от этого рутинного занятия. При этом мы не замечаем, что всё более и более освобождая себя от вычислений, фактически освобождаемся его от умственного развития. “Развитие навыков должно предшествовать развитию ума”. Это сказал Аристотель 25 веков назад. В этой цитате навыки рассматриваются как необходимое условие развитие ума, а их совершенствование как важная составляющая развития детей. Чтобы довести умения до уровня навыка, надо, чтобы каждый ученик выполнил примерно 600 упражнений в течение месяца  Это не так много -всего 20 примеров в день!.В своей работе я нашёл и применяю следующие формы устного счёта: Магические квадраты, Кто быстрее, Лучший счётчик, Лабиринт сомножителей, Индивидуальное лото, Светофор, Цветок, Солнышко, Кто быстрее, Числовая мельница, , Кодированные упражнения, Беглый счёт, Равный счёт, , Лесенка, , Эстафета,.
   Повышению вычислительной культуры способствуют и способы быстрых вычислений. Они развивают память учащихся, быстроту их реакции, воспитывают умение сосредоточиться. Вот некоторые из них.

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел.

    Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится. Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть . Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результате получится удвоенное большее число, то есть .

Сложение столбцами.

    Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы.

Сложение с перестановкой слагаемых.

    72+63+28=? Третье слагаемое является дополнением первого до 100. Мысленно переставим слагаемые. Сложим их 72+28+63=163. Соединяем слагаемые попарно: (3013+2118)+(74+126)=5200+200=5400.

Сложение десятичных дробей.

    Складывать устно десятичные дроби следует подобно целым числам, то есть, начиная с высших разрядов: сначала поразрядно сложить целые части, затем – дробные десятичные доли.

Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел.

    Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.

Примеры: 8•318=8• (310+8)=2480+64=2544
7•196=7• (200-4)=1400 - 28=1372.

Умножение методом Ферроля.

Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот, и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Этот способ умножения следует из тождества. Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20. Можно умножать и трёхзначное число на двузначное.

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10.

Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Этот способ основан на тождестве .

Умножение чисел на 11.

    Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9.

Умножение на числа вида .

    Умножить данное число на , потом на 11.

Умножение двузначного числа на 111.

    Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.

Умножение однозначного или двузначного числа на 37.

    Способ основан на равенствах 2• 37=74, 3• 37=111.

Умножение на 5, 25, 125.

    Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.

Умножение на 9, 99, 999.

    К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

Умножение на 75.

    Нужно число разделить на 4 и результат умножить на 300.

Умножение на 101.

    Чтобы умножить двузначное число на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

Умножение на 1001.

    Чтобы умножить трёхзначное число на 1001, надо к этому числу приписать справа это же число.

Умножение чисел, близких к 100 и 1000

    Примеры. 245•998=245•(1000-2)=245000-490=244510   
375•999=375• (1000-1)=375000-375=374625    
225•999=225• (1000-3)=222000-675=224325.

Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10

    Примеры: 83•87=8•9•100+3•106=10••207=20•21•100+3•7=42021

Умножение двух рядом стоящих чисел

    Правило. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц.

Умножение чисел, оканчивающихся на 1

    Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ.

Деление на 5, 25, 125

    Умножить числа соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

Умножение чисел, оканчивающихся цифрой 5

    При умножении чисел, оканчивающихся цифрой 5 (одна цифра десятков – чётная, а другая – нечётная), надо к произведению цифр десятков прибавить целую часть половины суммы цифр десятков. Получим число сотен, и тогда к числу сотен следует приписать 75.

 Приемы быстрого счета

Русский крестьянский способ умножения

Пример:

умножим 56 на 45,

• запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
• далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

Нам очень понравился “метод решетки” умножения чисел

Найдем произведение чисел 25 и 63.

1. Горизонтально запишем числа 25, вертикально 63.
2. Чертим решетку, проводим диагонали.
3. На пересечениях находим произведения чисел.
4. Складываем числа по диагоналям.

Получили результат: 1575

А какой интересный способ умножения чисел, которым пользуются даже в наше время в Японии.

Найдем произведение чисел 32 и 21

• Чертим 3 полоски, через промежуток 2.
• Под углом чертим 2 и 1 полоски.
• Считаем количество точек пересечения:

Крайние правые - единицы - 2

По диагонали – десятки - 7

Крайние левые – сотни - 6

Получили результат 672.

С большим интересом мы познакомились с системой быстро счета Якова Трахтенберга.

Яков Трахтенберг- еврейско-русский математик, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок.

Рассмотрим умножение чисел на 11 по методу Трахтенберга.

Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее “соседа”.

Пример: 63247 * 12

Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась.

• 63247 * 12 1дважды 7 будет = 14, переносим
• 4
• 63247 * 12 дважды 4+7+1=16, переносим 1
• 64
• 63247 * 12 дважды 2+4+1 = 9
• 964

Следующие шаги аналогичны.

Окончательный ответ:  63247 · 12 = 758964

Мы изучили много приемов быстрого счета. Сегодня мы не можем рассказать о каждом из них, остановимся только на некоторых.

Сложение с использованием свойств действий с числами

• Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа: 
  52+84+48=(52+48)+84=100+84=184.
• Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:
  869+156= (800+100)+(69-4)=900+65=965.
• Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:
  294+698=(300+700)-(6+2)=992.

Поразрядное вычитание:

Если число единиц каждого разряда уменьшаемого больше, то вычитаем поразрядно и результаты складываем.

Пример 1:

654-243=(600-200)+(50-40)+(4-3)=400+10+1=411.

Если меньше, то занимаем у высшего разряда:

Пример 2:

387–232=(300-200)+(80-30)+(7-2)=100+50+5=155.

Применение свойств вычитания

• Если из числа вычесть сумму чисел, можно сначала вычесть из этого числа одно слагаемое, а затем, из полученной разности второе слагаемое:
  934 – (123 + 634)= (934 – 634) – 123 = 300 – 123 = 177
• Если из суммы чисел вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого и затем к полученной разности прибавить второе слагаемое:
  (567 + 148) – 367 = (567 - 367) +148 = 200 +148 = 348

Умножение чисел от 10 до 20

Чтобы найти произведение чисел от 10 до 20 необходимо: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1. 15 * 13 = (15+3) * 10 + 5 * 3 = 195,или 13*1,5*10=19,5*10

Пример 2. 17 * 19 = (17+9) * 10 + 7 * 9 = 323.

Умножение на 11,111

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

• 72 * 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;
• 35 * 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример:

• 94 * 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.
• 32*111=3552: 3+2=5, 3+2=5, раздвигаем 3 и 2, и вставляем между ними 55 

Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125

• Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:
  56 * 125 = 56 : 8 * 1000 = 7000, или умножим на 1,25 (одна целая и четверть числа) и умножаем на 100: (56*1+14)*100=7000
• Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:
  32 * 12,5 = 32 : 8 * 100 = 400 или 32*1,25*10=300, т.к. 1,25-1.1/4.
• Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:
  48 * 1,25 = 48 : 8 *10 = 60. Или 48*1.1/4.
• Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8 или умножить на 1.1/ 4 и разделить на 10.
  24,8 · 0,125=24,8 : 8 = 3,8.

Умножение на 0,5;1,5; 2,5; 3,5 ...

• Чтобы умножить число на 0,5, надо разделить это число на 2.
  36* 0,5 = 36: 2 = 18
• Чтобы умножить число на 1,5, надо к данному числу прибавить его половину:
  24* 1,5 = 24+12= 36
• Чтобы умножить число на 2,5, надо умножить его на два и прибавить половину числа:
  15 * 2,5 = 15 * 2 + 7,5 = 37,5
• Чтобы умножить число на 3,5, надо умножить его на 3 и прибавить половину числа:
  16 * 3,5 = 16 * 3+8=48+8 = 40+16=56

Деление на 5, на 50, на 25

При делении на 5, на 50, на 25 воспользуемся следующими выражениями:

• a : 5 = a * 2 : 10
• a : 50 = a * 2 : 100
• a : 25 = a * 4 : 100
• 135 : 5 = 135 * 2 : 10 = 270 : 10 = 27
• 3750 : 50 = 3750 * 2 : 100 = 7500 : 100 =75
• 6400:25 = 6400 * 4 : 100 = 25600 : 100 = 256

Деление на 0,5; 0,25; 0,125

• Чтобы разделить число на 0,5, нужно это число умножить на 2:
  32 : 0,5 = 32 * 2 = 60 + 4 = 64
• Чтобы разделить число на 0,25, нужно это число умножить на 4:
  32 : 0,25 = 32 * 4 = 120 + 8 = 128
• Чтобы разделить число на 0,125, нужно это число умножить на 8:
  32 : 0,125 = 32 * 8 = 240 + 16 = 256

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25

Примеры:

352 = 3 * (3+1) и приписать 25, получим 352 = 122

752 = 7 * 8 и приписать 25, 752 = 5625

852 = 8 * 9, приписать 25 = 7225

Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Примеры:

562 = (25+6), приписать 62 =36, 562 = 3136

582 = (25+8), приписать 82 = 64, 582 = 3364

53?2 (25+3), приписать 32 = 09, 532 = 280

Мы изучили много игр с числами. Пример одной игры мы приводим в брошюре. Поиграйте со своими одноклассниками, вам понравится.

Угадывание задуманного числа.

• Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.
• Полученную сумму пусть умножит на 3.
• От произведения пусть отнимет 7.
• Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.
• Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.
  (x+5 ) * 3 - 7- 8 = 3x +15 – 15 = 3x

Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3.

Заключение

Применение теоретических знаний в практике вычислений должно быть осознанно. Необходимо правильно выбрать рациональный приём вычисления, развивать числовую наблюдательность. Скорость и точность вычислений зависит во многом от того, как ведётся оформление вычислительных работ на бумаге, - письменные вычисления являются основным видом вычислительной работы в школе на уроках физики, химии и других учебных предметах. Для сокращения письменных вычислений можно использовать устное вычисление, а также практические рекомендации.

Список литературы

1. Минаева С.С., Прокофьева Н.С. «Повышение вычислительной культуры»
2.  «Математические тренажеры» В. И. Жохова и В. Н. Погодина.
3.  «4000 примеров по математике» О. В. Узоровой, Е. А. Нефедовой из серии «Как научиться быстро считать».
4. Газета «Математика»

Считать в уме? Легко!

Табашнев Владимир Игоревич

Ханты – мансийский автономный округ – Югра

г. Нижневартовск

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

"Средняя школа № 6»

6 класс

Рецензия

Данная работа соответствует заявленной теме. Учащиеся, владеющие прочными математическими знаниями, могут в дальнейшем применить в различных областях науки и техники, что актуально в настоящее время.

Современный уровень развития науки и техники требует глубоких и прочных математических знаний. Математические расчёты, основанные на использовании алгоритмов основных математических действий, оказывают влияние на усвоение не только математики, но и отдельных разделов курса физики, химии и других предметов, а также являются основной частью трудовой деятельности рабочего, инженера, экономиста, биолога и так далее.

Рассмотренные в работе методы математических расчётов, позволяют учащимся выполнять математические действия гораздо быстрее, тем самым повышают продуктивность своего труда.

Владимиру Игоревичу удалось выполнить поставленные задачи, познакомившись с различными способами быстрого счёта. Методы совершенствования вычислительных навыков и применение их на практике, позволило доказать целесообразность и актуальность выбранной темы.

При самостоятельной работе с учебной, дополнительной литературой, Владимир Игоревич доказал о необходимости рациональных способов решения.

Работа имеет четкую структуру, состоящую из введения, основной части и заключения.

Автор смог логически изложить материал своего исследования.

Данная работа соответствует требованиям учебно-исследовательских работ, может быть допущена к защите.

Научный руководитель

учитель математики

Федотова Т.Н.__________________________________________________