Вычисление числа Пи методом Монте-Карло

Вычисление числа π методом Монте-Карло

Автор:                       Бызов Евгений

Место учебы:             МАОУ «Гимназия № 24», г. Магадан

Класс                            10 А

Консультант             Загребельная И.В., учитель информатики МАОУ               

                                    «Гимназия № 24»

В алгебре и геометрии число π имеет огромное значение. Символ π означает отношение длины окружности к ее диаметру. Впервые в этом смысле символ π был использован У. Джонсом в 1707, а Л. Эйлер, приняв это обозначение, ввел его в научный обиход. Еще в древности математикам было известно, что вычисление значения π и площади круга - задачи, тесно связанные между собой. Древние китайцы и древние евреи считали число π равным 3. Значение числа π, равное 3,1605, содержится в древнеегипетском папирусе писца Ахмеса (ок. 1650 до н. э.). Около 225 до н. э. Архимед, используя вписанный и описанный правильные 96-угольники, приближенно вычислил площадь круга с помощью метода, который привел к значению ПИ, заключенному между 31/7 и 310/71. Другое приближенное значение π, эквивалентное обычному десятичному представлению этого числа 3,1416, известно еще со 2 в. Л. ван Цейлен (1540-1610) вычислил значение ПИ с 32 десятичными знаками. К концу 17 в. новые методы математического анализа позволили вычислять значение π множеством различных способов. Вычисление числа π занимались различные учёные (Ф. Виет, Дж. Валлис, У. Броункер, Г.Лейбниц и другие). В последние годы с появлением электронных вычислительных машин значение π было найдено более чем с 10 000 знаков. С десятью знаками значение ПИ равно 3,1415926536. Как число, ПИ обладает некоторыми интересными свойствами. Например, его нельзя представить в виде отношения двух целых чисел или периодической десятичной дроби; число π трансцендентно, т.е. непредставимо в виде корня алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Число ПИ входит во многие математические, физические и технические формулы, в том числе и не имеющие непосредственного отношения к площади круга или длине дуги окружности.

Например, перед нами стоит задача вычислить число π с некоторой точностью. Это задание носит прикладной характер и позволяет опытным путем вычислить число π. Да, безусловно, практически все из вас знают это число с точностью, по крайней мере, до двух знаков. Но предлагаемый метод очень хорош. Называется он методом Монте-Карло. Монте-Карло — европейская столица игорного бизнеса, а значит, там владычествует Его Величество Случай. Вот "мы и попробуем поставить его себе на службу.
Сначала забудьте, чему равно π и послушайте теорию вопроса. Представьте себе окружность радиусом R = 1 , вписанную в квадрат. Из этого следует, что сторона квадрата будет 2R , а его площадь SK = (2R)2 =4R2. Площадь круга SO = πR2 . Далее берем и равномерно посыпаем квадрат песком. Затем нанимаем бригаду рабочих, которые считают, сколько песчинок всего (N1) и сколько из них попало в круг (N2). Потом составляется простая пропорция — площадь квадрата так относится к площади круга, как общее количество песчинок к количеству песчинок попавших в круг.
Отсюда сенсационный вывод — радиус окружности не имеет никакого значения, она должна быть лишь вписана в квадрат.                                                    

Но где ж мы найдем песок, а главное тех, кто все это будет считать? Поэтому поставим компьютерный эксперимент. Нарисуем квадрат и впишем в него окружность. Координаты опорных точек (если сами рисовали) знаем. Уравнение окружности X2 +Y2 = R2 тоже знаем. Задаем цикл до 1000, в котором случайным образом определяем координаты "песчинок" так, чтобы они лежали внутри квадрата. Тут же проверяем условие, а не попала ли "песчинка" в круг (используя уравнение окружности), и если попала, подсчитываем их количество. Кроме того, рисуем их на экране разными цветами (попавшие и не попавшие). По окончании цикла подсчитываем и выводим на экран число п. Понятно, что чем больше количество "песчинок", тем более точным будет результат. Для того чтобы знать, когда закончится эксперимент, рекомендуется выводить на экран счетчик "песчинок" (как мы делали с хронометром). Но, все-таки, экспериментировать с миллионом "песчинок" не надо — замучаетесь ждать сами, да и компьютер, хотя и железный, но все же живой.

Программа вычисления числа π методом Монте-Карло имеет вид:

CLS : RANDOMIZE TIMER                                                        

LOCATE 3, 20

PRINT "Vichislenie chisla Pi metodom Monte-Karlo"                            

SCREEN 12                                                                    

LINE (100, 100)-(300, 300), 14, B  (Рисование квадрата со стороной 200)                                          

100 CIRCLE (200, 200), 100, 0, , , 1.01    (Рисование вписанной в квадрат окружности)                                  

N = 5000: K = 0                                                              

FOR i = 1 TO N                                                                

x = INT(RND(1) * 200) + 100                                                  

                                              координаты песчинок, задаваемые          случайным образом, но попадающие в квадрат

y = INT(RND(1) * 200) + 100                                                  

s = SQR((x - 200) ^ 2 + (y - 200) ^ 2)  (вычисление расстояния от выпавшей точки до центра)                                      

IF s <= 100 THEN K = K + 1: PSET (x, y), 4 ELSE PSET (x, y), 15    (проверка условия, попала ли точка в круг и изображение её красным или белым цветами)          

LOCATE 5, 20: PRINT "Vipala peschinka №"; i (вывод на экран счетчиков песчинок)

LOCATE 6, 20: PRINT "V krug uge popalo"; K; "peschinok"                      

NEXT i

LOCATE 23, 15: PRINT "Chislo Pi dlya"; N; "tochek ="; 4 * K / N  (вычисление и вывод на экран значения числа π)            

END    

        Вышеописанная программа наглядно демонстрирует метод Монте-Карло и доказывает, что число π можно вычислить экспериментальным путём с помощью указанного метода.