Итоговый индивидуальный проект Виноградовой Дарьи представляет собой исследовательский проект в виде реферативной работы по выбранной теме, в котором продемонстрировано умения работать с различными источниками информации, сформулирована собственная точка зрения по рассматриваемой теме, выдвинута гипотеза и предложены методы исследования и рекомендации по доказательству гипотезы. Практическая значимость проекта велика. Проект будет интересен любителям математики для расширения математического кругозора. Его можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 39.01 КБ |
![]() | 832.1 КБ |
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Брейтовская средняя общеобразовательная школа»
Индивидуальный итоговый проект
Лист Мёбиуса - удивительный феномен
Выполнила: ученица 9 «в» класса
Виноградова Дарья,
Руководитель: Смирнова Елена Владимировна,
учитель математики
с. Брейтово, 2020 г.
Оглавление
На одном из уроков геометрии учитель нам поведал о таком удивительном открытии, как лист Мёбиуса (по-другому можно назвать «Лента»). Мне хватило услышать лишь несколько слов, чтобы заинтересоваться. После этого, я начала изучать различные сайты в интернете, посвящённые этой теме. А потом пришла идея написать работу по этой теме и поделиться своими знаниями и открытиями с окружающими. Мне бы хотелось рассказать об удивительной поверхности, которая имеет одну сторону и относится к «математическим неожиданностям». Несмотря на то, что лист Мёбиуса был открыт в XIX веке, он был актуален и в XX веке. Интерес к листу не угас и в наши дни. Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в технике, физике, живописи, архитектуре, оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии. Он вдохновляет на творчество многих художников и писателей. Чем больше я читала и изучала лист Мёбиуса, тем загадочнее для меня он становился.
В процессе работы над проектом я изучила литературу, изготовила лист Мёбиуса и проводила исследования, изучая его «волшебные» свойства.
Цель: исследовать поверхность листа Мёбиуса и его свойства.
Задачи:
Вид проекта: исследовательский.
Методы, использованные в работе над проектом:
Объект исследования: лист Мёбиуса.
Предмет исследования: свойства и применение листа Мёбиуса.
Гипотеза: Если лист Мёбиуса имеет одну поверхность, то он обладает необычными свойствами.
За последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии – топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии. Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения").
Топология – раздел математики, изучающий:
Топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем «Резиновая геометрия». Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать-делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства остались неизменными.
В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов. Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) – неотличимы.
Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии.
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)– немецкий математик, механик и астроном-теоретик). Родился на территории княжеской школы Шульпфорта, близ Наумбурга.(прил.1)
Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу высказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в гимназии-интернате Шульпфорта, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В 1858 году, в возрасте 68 лет, Мёбиусу удалось сделать открытие. Это открытие односторонних поверхностей. Существует несколько легенд того, как это произошло:
В дальнейшем, Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался ответа и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.
В связи с этим, он стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса, простейшей неориентируемой двухмерной поверхности с краем, допускающей вложение в трёхмерное Евклидово пространство. В профессиональной среде Мёбиус известен как автор большого количества первоклассных работ по геометрии, особенно проективной геометрии, анализу и теории чисел.
Мёбиус впервые ввёл однородные координаты и аналитические методы исследования в проективной геометрии. Получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, позднее названного его именем, исследовал коррелятивные преобразования.
Август Мёбиус опубликовал также двухтомное «Руководство по статике» (1837), где вводятся барицентрические координаты точек плоскости. Обе эти книги фактически тоже относятся к проективной геометрии и её приложениям.
Он впервые рассмотрел пространственные алгебраические кривые третьего порядка и изучил их свойства.(прил.2)
В теории чисел именем Мёбиуса названы функция и формула обращения.
В 1840 году, задолго до широко известной проблемы четырёх красок, Август Мёбиус сформулировал похожую задачу: можно ли разделить страну на 5 частей так, чтобы каждая часть имела ненулевую границу со всеми остальными? Легко показать, что это невозможно.
Из других топологических достижений следует упомянуть, что он ввёл понятие уникурсальной кривой, то есть графа, который можно начертить, не отрывая пера от бумаги (другое название: Эйлеров граф).
В области астрономии Мёбиус опубликовал несколько значительных работ по небесной механике, о принципах астрономии и о планетных затмениях.
У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.
Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.
Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, то есть, пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку, но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону. Это значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из «внешности» во «внутренность».
Чтобы вам было легче представить, как выглядит лента, я решила изготовить её макет. Ход своей работы я представлю в таблице. (прил.3)
Макет ленты Мёбиуса
Этап | Содержание |
| Для изготовления макета листа Мёбиуса я использовала обычный лист бумаги, размером А4 |
| Записав на листе бумаги нужные размеры, я выстригла полосу длиной 30 см и шириной 3 см. |
| Получив нужную деталь, я перекрутила на пол-оборота один конец, приклеила его к другому концу той же полосы и оставила в сухом месте на 5-10 минут. |
При работе с информацией я смогла выявить следующие свойства листа Мёбиуса:
«Сотри случайные черты, и ты увидишь - мир прекрасен», - писал Александр Блок. Тополог всегда готов внять подобному призыву – во всех окружающих его предметах он ищет некие важные только ему одному качества. Например, непрерывность. Это топологическое свойство. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.
Другое интересное свойство – связность. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он распадается на два отдельных куска. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно два разреза. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он всё равно останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат - односвязен, кольцо - двусвязно, а диски с отверстиями – многосвязны. Лист Мёбиуса двусвязен, ведь фокус состоял в том, что, будучи разрезан вдоль, он превращался в одну целую ленту. Впрочем, если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум и так далее.
Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился в собственное отражение.
Односторонность – топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. Убедиться в этом несложно: если окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, то в конце он будет полностью окрашен.
«Хроматический номер» - максимальное число областей, которое можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.
Ли де Форест (1923) – трёхэлектродная лампа. Изобретатель предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек.
Амир Губайдуллин (1969) – бесконечная шлифованная лента, работающая обеими сторонами. Он предложил натянуть из спец. материала ленту Мёбиуса на два вращающихся ролика и покрыть её крупинками твёрдого абразива.
Павел Чесноков (1971) – фильтр непрерывного действия для жидкости, «отличающийся тем, что, с целью интенсификации процесса фильтрования и увеличения срока службы фильтрующего материала, лента выполнена в виде Мёбиуса листа».
Иван Киселёв (1972) – «бесконечный шлифованный ремень, выполненный на гибкой основе с нанесённым на неё абразивным покрытием и склеенный в кольцо с повёрнутой ветвью, отличающийся тем, что, с целью увеличения стойкости, он имеет в сечении форму многогранника с равными гранями, покрытыми абразивным слоем, а ветвь его повёрнута на одну грань».
Юрий Драбович и Игорь Криштафович – «магнитный сердечник, изготовленный из ферромагнитной ленты с изоляционным покрытием, отличающийся тем, что, с целью улучшения магнитных свойств сердечникапутём создания равномерного магнитного поля по его сечению, сердечник намотан в форме ленты Мёбиуса».
Джакобс (1963) – самоочищающийся фильтр, который представляет собой всё ту же ленту Мёбиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, работая при этом обеими сторонами.
Ричард Дэвис (1963) – электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.
Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.
Применение листа Мёбиуса в технике.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.
Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).
Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.
В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.
Лист Мёбиуса в повседневной жизни
Лента Мёбиуса вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.
Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.
Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).
Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.(прил.4)
Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах, ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках.
Например, на значке механико-математического факультета Московского университета. (прил.5)
Символ вселенной создан в виде ленты Мёбиуса. (прил.6)
Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Более того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.
Я получила интересный математический материал. В ходе работы создала мультимедийную презентацию, в которые включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса.
Я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.
В результате проведённых исследований моя гипотеза о необычности свойств подтвердилась.
Лист Мёбиуса можно изготовить самостоятельно простым способом.
Лента используется в самых различных изобретениях и отраслях.
Выполняя работу по изучению листа, я узнала биографические сведения учёного, а также историю уникального открытия.
Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах.
Слайд 1
Лист Мёбиуса – удивительный феномен Выполнила работу: ученица 9 «В» класса Виноградова Дарья, Руководитель: Смирнова Елена Владимировна, учитель математикиСлайд 2
Цель : исследовать поверхность листа Мёбиуса и его свойства. Задачи : Изучить понятие топологии; Познакомиться с биографией Августа Фердинанда Мёбиуса и с историей его замечательного открытия; Описать лист Мёбиуса, а также процесс его изготовления; Исследовать его свойства; Выяснить, какие изобретения появились, в основе которых лежала односторонняя поверхность; Установить области применения листа Мёбиуса.
Слайд 3
Август Фердинанд Мёбиус
Слайд 4
Пространственные алгебраические кривые третьего порядка
Слайд 5
Макет ленты Мёбиуса
Слайд 6
Международный символ переработки
Слайд 7
Значок механико-математического факультета Московского университета
Слайд 8
Символ вселенной
Слайд 9
Заключение Я получила интересный математический материал. В ходе работы создала мультимедийную презентацию, в которые включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса. Я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе. В результате проведённых исследований моя гипотеза о необычности свойств подтвердилась. Лист Мёбиуса можно изготовить самостоятельно простым способом. Лента используется в самых различных изобретениях и отраслях. Выполняя работу по изучению листа, я узнала биографические сведения учёного, а также историю уникального открытия. Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах.
Слайд 10
Список литературы Альфорс Л. - А 59 - Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 112 с., ил. Левитин К. Е. – Л 36 – Геометрическая рапсодия. – 2-е изд., переработ . и доп. – М.: Знание, 1984. – 176 с. с ил. – 60 к. – 100000 экз. Сайт «Топологические свойства ленты Мёбиуса» [электронный ресурс] – режим доступа: https :// mydocx . ru /12-72675. html , свободный (18:16, 13.01.20) Сайт «Лист Мёбиуса» [электронный ресурс] – режим доступа: https :// kopilkaurokov . ru / matematika / prochee / proiect _ list _ miebiusa , свободный (20:34, 04.02.20) [электронный ресурс] – режим доступа: ru . wikipedia . org , свободный (10:22, 15.03.20) Сайт «Толковый словарь Ожегова» [электронный ресурс] – режим доступа: https :// gufo . me / dict / ozhegov ? letter = r & page =4 , свободный (10:19, 15.03.20)
Новогодние гирлянды
Рисуем белые грибы пастелью
Муравьиная кухня
Проказы старухи-зимы
Лепесток и цветок