«Последняя цифра степени. Решение некоторых олимпиадных задач»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Заревская средняя общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов

Домодедовского городского округа

Областной конкурс научно - исследовательской и проектной деятельности «Юный исследователь»

Секция: Точные науки.

Тема: «Последняя цифра степени. Решение некоторых олимпиадных задач»

Автор работы: Рагулин Владимир, 13 лет

Научный руководитель: Шаповалова Вероника Николаевна

Черноголовка

2019

Оглавление

Введение ………………………………………………………………………....  3

Определение последней цифры натуральной степени натурального числа .... 4

Решение некоторых математических задач повышенной трудности ………... 7

Заключение ………………………………………………………………………. 9

Библиографический список ………………………………………………….... 10

Введение

В курсе алгебры 7 класса мы изучаем степени с натуральным показателем и их свойства. Меня заинтересовали эти задачи, так как степени чисел встречаются достаточно часто в заданиях работ разного уровня, в том числе олимпиадах и ОГЭ. Время на выполнение таких работ ограниченное, поэтому я задался вопросом: можно ли быстро определить последнюю цифру любой натуральной степени любого натурального числа при решении подобных задач?

Цель моей исследовательской работы – научиться быстро определять последнюю цифру любой натуральной степени любого натурального числа.

В ходе исследования решались следующие задачи:

• устанавливалось, есть ли закономерности получения последних цифр в степенях чисел;
• составлялась таблица последних цифр степеней;
• рассматривались примеры решений некоторых задач, опираясь на выведенные закономерности.

При работе над проектом я использовал материалы олимпиадных заданий для 7-9 классов из разных источников.

Определение последней цифры натуральной степени натурального числа

При решении задач на возведение в степень чисел я наблюдал, что последняя цифра степени любого натурального числа зависит только от последней цифры самого этого числа. Например, 1 в любой степени будет 1, значит, если число оканчивается на 1, то и любая степень этого числа – число, оканчивающееся на 1.

Попробуем выявить, а есть ли закономерности получения последней цифры для других случаев.

1. Легко убедиться, что любая степень числа, оканчивающегося на 5, и 6, будет оканчиваться на эти же цифры.
2. Рассмотрим степени числа 2: 21=2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32, 26=64, 27=128, 28=256, 29=512 и т.д. Как мы видим, через четыре шага, последняя цифра повторяется – это значит, что у нас есть закономерность определения последней цифры степени числа, оканчивающегося на 2.
3. Рассмотрим степени числа 3: 31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729, 27=2187, 28=6561, 29=19683 и т.д. Как мы видим, через четыре шага, последняя цифра повторяется – это значит, что у нас снова есть закономерность определения последней цифры степени числа, оканчивающегося на 3.
4. Таким же образом, выявились закономерности повторения последних цифр степеней чисел, оканчивающихся на 7 и 8, также, через четыре шага: 71=7, 72=49, 73=343, 74=2401, 75=16807, 76=117649, 77=823543, 78=5764801, 79=40353607; 81=8, 82=64, 83=512, 84=4096, 85=32768, 86=262144, 87=2097152, 88=16777216, 89=134217728.
5. Рассмотрим степени числа 4: 41=4, 42=16, 43=64, 44=256, 45=1024, и т.д. Рассмотрим степени числа 9: 91=9, 92=81, 93=279, 94=6561, 95=59049, и т.д., здесь тоже есть закономерность – повторение последней цифры через два шага, то есть для нечетных и четных степеней.

Эти наблюдения позволили сделать вывод, что последние цифры степеней подчиняются закономерностям, и для наглядности я составил таблицу для быстрого определения этих цифр для всех случаев.

Последние цифры натуральных степеней натуральных чисел

Рассмотрим на примерах, как пользоваться этой таблицей для решения конкретных заданий:

1. На какую цифру оканчивается число 127345?

Решение: число оканчивается на 7, через четыре шага цифры повторяются, значит, 345:4=86(ост. 1), значит 7345=71, оканчивается на 7.

2. Какая цифра будет последней в записи числа 2648569325?

Решение: число оканчивается на 9, при нечетных степенях – будет цифра 9, при четных - 1, значит, 2648569325, оканчивается на 9.

3. Какой цифрой оканчивается сумма чисел 21367+21878?

Решение: число 21367 оканчивается на 3, через четыре шага цифры повторяются, 67:4=16(ост. 3), значит, 367=33, оканчивается на 7; число 21878 оканчивается на 8, 78:4=19(ост. 2), значит, 878=82, оканчивается на 4. При сложении многозначных чисел сумма единиц 7+4=11, последняя цифра - 1.

4. Докажите, что

Решение: уменьшаемое оканчивается на цифру 1, любая степень единицы – число, оканчивающееся на 1, т.е. разность этих чисел оканчивается на 0, а это признак делимости числа на 10, что и требовалось доказать.

Таким образом, пользуясь выведенными закономерностями, достаточно легко выполнять такого типа задания.

Решение некоторых математических задач повышенной трудности

Рассмотрим решение некоторых типов задач, встречающихся на олимпиадах.

1. Докажите, что

Решение: выясним, какой цифрой оканчивается первое число: рассмотрим 77, 7:4=1(ост. 3), значит, 73 - оканчивается на 3, 37 – оканчивается на 7, так как, 7:4=1(ост. 3) и 37=33, опять 77 – оканчивается на 3, 37 – оканчивается на 7 и, очевидно, что и уменьшаемое оканчивается на цифру 3, и вычитаемое тоже оканчивается на цифру 3, т.е. разность этих чисел оканчивается на 0, а это признак делимости числа на 10, что и требовалось доказать.

2. Докажите, что число является составным.

Решение: натуральное число, имеющее больше двух делителей, называется составным;

 оканчивается на цифру 3, так как, основание степени оканчивается на 3, значит, последняя цифра меняется с шагом 4, показатель степени 589:4=148(ост. 1), 31=3. Рассмотрим второе слагаемое , где n – натуральное число, по таблице видим, что все возможные варианты степени числа 7 оканчиваются всегда на нечетную цифру, то есть Значит, будет оканчиваться на четную цифру, будет числом четным, а, значит, являться составным.

3. Докажите, что число 4545+5454 является составным.

Решение: выделив полный квадрат двучлена, разложим число на множители

4545+5454=(2545)2+(5452)2 + 2·2545·5452 - 2·2545·5452=(2545+5452)2 - 2546·5452=(2545+5452 - 545·2273)·(2545+5452 + 545·2273), так как 4545+5454 оканчивается на 9 (числа с 4 на конце в нечетной степени оканчиваются на 4, а числа с 5 на конце – в любой степени оканчиваются на 5), а каждая из скобок оканчивается на 7 (545:4=136(ост. 1), значит, 2545=21, оканчивается на 2, 5452=51, оканчивается на 5, и, произведение 545·2273 оканчивается на 0, т.к. 273:4=68(ост. 1), значит, 2273=21, 545·2=0, получаем 2+5-0=7 или 2+5+0=7), таким образом, множители в скобках отличные от 1 и от 4545+5454, значит, 4545+5454 является составным числом.

4. Докажите, что число n4+64  является составным.

Решение: по таблице видно, что четвертая степень любого натурального числа оканчивается либо на 1, либо на 6, кроме чисел, оканчивающихся на 5; значит, число n4+64 для всех натуральных n, кроме чисел, оканчивающихся на 5, будет составным, так как 1+4=5 - число кратно пяти, и, 6+4=10 – четное число;

рассмотрим случай – число n оканчивается на 5, значит n4+64 оканчивается на 9, выделив полный квадрат двучлена, разложим число на множители n4+64=(n2+8)2-16n2=(n2+8-4n)·(n2+8+4n), выясним, на какие цифры оканчиваются множители: n2 оканчивается на 5, 4n – на 0, значит 5+8-0=13 и 5+8+0=13, таким образом, множители в скобках отличные от 1 и от n4+64, значит, n4+64 является составным числом.

Заключение

Известный российский математик Василий Петрович Ермаков говорил: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления». Я полностью согласен с ним. Работа над проектом помогла убедиться в том, что в математике много закономерностей, которые можно получить, правильно рассуждая и внимательно анализируя получаемые результаты.

Результаты данной работы помогут мне в дальнейшем расширять знания о степенях, а также применять полученные закономерности при решении олимпиадных задач, а также для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

Библиографический список:

1. Московские математические олимпиады / Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго. - М.: Просвещение, 1986г. - 303 с.
2. Пособие для учителей 5—8 классов / Под редакцией К. П. Сикорского. - М.: «Просвещение»,1967г. - 236 с.
3.  Сборник задач московских математических олимпиад / Болтянский В.Г. (ред.). – МГУ, 384 с.