Исследование методов решения алгебраических уравнений третьей степени

Опубликовано Вакина Лидия Николаевна вкл 12.12.2021 - 19:41

Автор:

Плавский Иван

Рассмотрены способы решения уравнений третьей степени

Скачать:

Вложение	Размер
Исследование методов решения алгебраических уравнений третьей степени	241.87 КБ

Предварительный просмотр:

МОУ Ликино-Дулёвская ООШ №4

ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ

на тему: «Исследование методов решения алгебраических уравнений третьей степени».

Плавский Иван Андреевич,

ученик 9 а класса.

Руководитель проекта:

Вакина Лидия Николаевна,

учитель математики

2021 год

Оглавление.

1. Введение……………………………………………………………………....3

2. Исторические сведения…………………………………………………….3

3. Способы решения уравнений третьей степени………………….................5

а) Теорема Безу………………………………………….……………..….....5

б) Схема Горнера …………………….…………………………….……......7

в) Метод решения симметрических уравнений…………………………..10

4. Алгоритмы решения уравнений третьей степени………………………...11

5. Вывод…………………………………………………..…….……………...13

6. Список источников и литературы……………..……………………...…...14

Введение

Решение алгебраических уравнений высших степеней одна из труднейших и древнейших математических задач. Практика показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями степени выше второй. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить. Как решить эту проблему? В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Поэтому я выбрал тему «Исследование методов решения алгебраических уравнений третьей степени». Цель моего исследования: выявить наиболее интересные способы решения.

Для достижения цели исследования я поставила перед собой следующие задачи:

1) Изучить исторические сведения об уравнениях высших степеней;

2) Рассмотреть различные способы решения данных уравнений;

3) Научиться решать алгебраические уравнения третьей степени;

Исторические сведения

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Со времен Омара Хайяма ученые средневековья почти 400 лет искали формулу для решения уравнений третьей степени.

Паоло Вальмес за свое открытие поплатился жизнью. Инквизиция отправила Вальмеса на костер. Однако трагедии и неудачи не смогли остановить прогресс.

Омар Хайям (1048 – 1123)

В своих математических трудах таджикский ученый описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел геометрический способ их решения $C:\Documents and Settings\Администратор\Рабочий стол\портреты\Khayyam_Omar.jpg$

$C:\Documents and Settings\Администратор\Рабочий стол\портреты\180px-TartaliaNicolo.jpg$

Николо Тарталья (1499 – 1557)

решил уравнение

$C:\Documents and Settings\Администратор\Рабочий стол\портреты\cardano.jpg$

Джероламо Кардано (1501 – 1576)

Обобщил приемы решения разных видов кубических уравнений. Независимо от Тартальи открыл формулу корней. («формула Кардано»).

Франсуа Виет (1540 – 1603) $C:\Documents and Settings\Администратор\Рабочий стол\портреты\portrait_viete.jpg$

Установил, каким образом корни уравнения выражаются через коэффициенты. Поставил вопрос о существовании решения уравнений произвольных степеней.

$C:\Documents and Settings\Администратор\Рабочий стол\портреты\lagranzhzh.jpg$

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Искал признаки уравнений высших степеней, разрешимых в радикалах.

Эварист Галуа (1811 – 1832) $C:\Documents and Settings\Администратор\Рабочий стол\портреты\galua.jpg$

Нашел необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

Способы решения уравнений третей степени

Как показывает история, найти приемы решения алгебраических уравнений высших степеней пытались многие математики из разных стран. В наше время уже известно достаточно способов решения. В данной работе я рассмотрю способы решения уравнений.

1) Уравнения третьей степени — это уравнения вида ax3 + bx2 + cx + d = 0, где х — переменная; a, b, c, d — некоторые числа, причем а ≠ 0.

2) Симметрические уравнения третьей степени — это уравнения вида ax3 + bx2 + bx + a = 0, х — переменная; a, b — некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Теорема Безу

Теорема названа по имени французского математика XVIII века Этьена Безу.

Теорема. Если уравнение п-ой степени (a0xⁿ + a1xn-1 + a2xⁿ-2 +…+an-1x + an = 0), в котором все коэффициенты целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Учитывая, что в левой части уравнения многочлен n-й степени, то теорема имеет и другую трактовку.

Теорема. При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x – a остаток равен значению делимого при x = a.

Алгоритм решения уравнения ах3 + bx2 + cx + d = 0:

1. Найти подбором корень уравнения (среди делителей свободного члена). Сначала нужно проверить корни 1 и −1:

1) Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число 1 является корнем многочлена.

2) Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число −1 является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку x0 = 1, а 0 — четное число.

2. Разделить многочлен ах3 + bx2 + cx + d на х – х1, где х1 — корень уравнения ах3 + bx2 + cx + d = 0;

3. Частное приравнять к нулю и решить получившееся уравнение;

4. Записать ответ.

Пример1. В уравнении x3 + 2x2 − 8x + 5 = 0 сумма коэффициентов равна нулю: 1 + 2 – 8 + 5=0 Значит, число x = 1 является корнем данного уравнения. Можно разделить в столбик x3 + 2x2 − 8x + 5 на x − 1:

x3 + 2x2 − 8x + 5 х - 1

х3 – х2 х2 + 3х - 5

3х2 – 8х

3х2 - 3х

- 5х + 5

Таким образом, x3 + 2x2 − 8x + 5 = (x − 1)(x2 + 3x − 5). Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения x2 + 3x – 5 = 0.

Таким образом мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: 1; .

Пример 2. В уравнении x3 - x2 + x + 3 = 0 сумма коэффициентов при четных степенях −1 + 3 = 2, а при нечетных: 1 + 1 = 2. Таким образом, число x = −1 является корнем данного уравнения.
Значит, число x = -1 является корнем данного уравнения. Можно разделить в столбик x3 - x2 + x + 3 на x + 1:

x3 - x2 + x + 3 х + 1

х3 + х2 х2 - 2х + 3

-2х2 + х

-2х2 - 2х

3х + 3

Таким образом, x3 - x2 + x + 3 = (x + 1)(x2 - 2x + 3). Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения x2 - 2x + 3 = 0.

корней нет

Ответ: -1

Пример3. Решим уравнение x3 − 13х − 12 = 0;

Найдем сумму коэффициентов 1 + 0 – 13 - 12 = -24, найдем коэффициенты при четных и нечетных коэффициентов 1 − 13 = −12 и 0 - 12 = -12 → х = −1;

x3 + 0х2 – 13x − 12

x3 – x2

x + 1

x2 − x − 12

−x2 − 13x

−x2 − x

−12x − 12

−12x −12

x2 − x − 12 = 0;

По T. Виета: х1 = −3; х2 = 4.

Ответ: −3; 1, 4.

Схема Горнера

Схема Горнера — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена. Названа данная схема в честь Уильяма Джорджа Горнера.

Чтобы понять механизм работы схемы Горнера, необходимо рассмотреть пример.

Пример1. Решить уравнение .

Старший коэффициент равен 1, коэффициенты целые числа, значит, корнями могут быть делители числа 6, т.е. . Используем схему Горнера

	1	6	11	6
-1	1	5	6	0
1	1	7	18	24
-2	1	4	3	0
2	1	8	27	60
-3	1	3	2	0

Так как уравнение третьей степени, значит, уравнение может иметь только три корня. По схеме Горнера мы их нашли: -1; -2; -3.

Можно было найти один корень с помощью проверки и разделить многочлен, расположенный в левой части уравнения на (х- х0), где х0 найденный корень.

Тогда получим следующее уравнение: ( х + 1 )( х2 + 5х + 6 ) = 0. Квадратные уравнения мы решать умеем.

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение х3 - 6х2 + 5х + 12 = 0.

Старший коэффициент равен 1, коэффициенты целые числа, значит, корнями могут быть делители числа 12: ±1: ±2: ±3: ±4: ±6: ±12

1) Записываем коэффициенты уравнения в таблицу.

1	-6	5	12

2) Проверяем корни. К примеру, 1. Записываем его в таблицу.

	1	−6	5	12
1	1	-5	0	12

Получился 12, значит 1 — это не корень нашего уравнения. И так проверяем все числа по таблице:

	1	-6	5	12
-1	1	-7	12	0
2	1	-4	-3	6
-2	1	-8	21	-30
3	1	-3	-4	0
-3	1	-9	32	-84
4	1	-2	-3	0

Так как уравнение третей степени имеет 3 корня дальше можно не проверять, мы нашли все корни уравнения.

Ответ: -1; 3; 4.

Пример3. Решить уравнение x3 – 2x2 – 9 = 0.

Находим все делители 9: ±1: ±3: ±9

	1	-2	0	-9
-1	1	-3	3	-12
1	1	-1	-1	-10
-3	1	-5	15	-54
3	1	1	3	0
-9	1	-11	99	900

Нашли только один корень х = 3.

x3 – 2x2 – 9 х – 3

х3 – 3х3 х2 + х +3

х2 – 9

х2 – 3х

3х – 9

х2 + х + 3 = 0

D = 1 – 12 = - 11 (корней нет)

Ответ: 3.

Решение симметрических уравнений

Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид ах3 + bx2 + bх + a = 0.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать, что

у любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1. Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, а((х + 1)(х2 – х + 1)) + bx(x + 1) = 0,

(x + 1)(a(x2 – x + 1) + bx) = 0,

(x + 1)(ax2 – ax + a + bx) = 0,

(x + 1)(ax2 + (b – a)x + a) = 0,

т.е. х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение., а второе помогает найти все остальные корни.

Пример1. 2х3 + 7х2 + 7х + 2 = 0;

Данное уравнение — симметрическое уравнение третей степени, поэтому

х + 1 = 0 и 2х2 + 5х + 2 = 0;

х = −1; D = b2 – 4ac = 25 - 4

x =;

x1 = -3; x2 = 0,5

Ответ: −3; −1; −0,5.

Алгоритмы решения уравнений высших степеней

Существует множество решений алгебраических уравнений высших степеней, которые мы изучаем в школе и за ее пределами. Но запомнить все способы очень сложно. Поэтому я решил составить алгоритмы решения уравнений третьей степени в виде схем.

Алгоритм решения уравнений 3-ой степени вида ax3 + bx2 + cx + d = 0 с помощью теоремы Безу:

$D:\Школа\Проекты\Исследовательская работа по математике 2019(9 класс)\Схемы\3.JPG$

Алгоритм решения уравнений 3-ой степени вида ax3 + bx2 + cx + d = 0 с помощью схемы Горнера:

$D:\Школа\Проекты\Исследовательская работа по математике 2019(9 класс)\Схемы\4.JPG$

Алгоритм решения симметрических уравнений 3-ей степени вида

ax3 + bx2 + bx + a = 0:

$D:\Школа\Проекты\Исследовательская работа по математике 2019(9 класс)\Схемы\Снимок.JPG$

Вот такие схемы получились у меня. Мне кажется, что они смогут пригодиться при решении уравнений высших степеней.

Вывод

Занимаясь изучением своей темы, я узнал много интересного об алгебраических уравнениях третьей степени, изучил их историю, рассмотрела методы решения.

Исследую разные методы решения уравнений, я узнал их признаки и особенности. Я выполнил поставленные мною задачи. Во-первых, рассмотрел различные способы решения данных уравнений, во-вторых, научился решать алгебраические уравнения третьей степени. в-третьих, составил алгоритмы решения данных уравнений. Больше всего мне понравилось решать уравнения с помощью схемы Горнера.

И главное, я выполнил цель работы — я изучил алгебраические уравнения третьей степеней и выявил наиболее интересные и практичные способы решения. Я рассмотрел много способов решения уравнений третьей степени, но для себя выявила только несколько. Т.к некоторые из решений мне были не понятны. Например, решение с помощью метода Феррари я не смог выполнить, потому что этот материал пока сложен мне для понимания, формула Кардано — слишком громоздкая, поэтому на практике использовать сложно. А теорема Безу и схема Горнера — наиболее практичные и экономичные методы решения, которые смогут помочь на ОГЭ и ЕГЭ.

Список источников и литературы

Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М.: МЦНМО, 2004.
Еремин М.А. Уравнения высших степеней. — Арзамас, 2003.
Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. — М.: Наука, 1975.

Гном Гномыч и Изюмка. Агнеш Балинт

Сверчок

Самый главный и трудный вопрос

Хитрость Дидоны

Ёжикина Радость