Проектно- исследовательская работа учащихся 11 класса по математике тема: "Комплексные числа"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школы – интернат среднего общего образования села Уэлен»

Тема проектной работы: «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА».

В номинации:  « Математика вокруг нас» для учащихся 10-11 классов.

                                              Выполняли работу:

Кенен Ярослав

Киселева Марина

Клименко Олеся

Рыно Любовь

Учащиеся 11 класса

Руководитель: Фаустова В.А.

учитель математики

                                                 с. Уэлен, 2015 год

                                        Оглавление:

1. Введение                                                                                                          3

2. Немного истории                                                                                           4-5

3. Понятие комплексного числа и его формы                                                 5-8

4. Построение комплексных множеств на плоскости                                      8

5. Графическое решение систем уравнений и неравенств комплексных чисел, содержащих параметр                                                                                          9

6. Проверка качества применимости изложенного материала для самостоятельного изучения темы «Комплексные числа »                             9-11

7. Заключение                                                                                                       11

8. Литература                                                                                                        12

                                                          Введение.

        Тема «Комплексные числа» не изучается в общеобразовательном школьном курсе математики. Но очень часто из-за полного отсутствия информации о существовании таких чисел у любознательного учащегося возникают серьёзные проблемы при решении кубических уравнений, которые должны иметь три корня, так как после разложения многочлена на линейные множители возникает необходимость решения квадратного уравнения. И вдруг оказывается, что дискриминант отрицателен, то есть квадратное уравнение корней не имеет. А это значит, что кубическое уравнение вместо трёх имеет только один корень. Вот так ученики получают противоречие, к которому однажды пришла и наша группа.

        В десятом классе при решении системы уравнений второго порядка мы не нашли ни одного корня, входящего в известное нам множество действительных чисел. Проще говоря, нам необходимо было извлечь арифметический квадратный корень из отрицательного числа. Но в школе нам постоянно твердили, что такая операция невозможна. Однако когда мы обратились к своему учителю математики, то оказалось, что мы просто невнимательно слушали на уроках. Такая операция невозможна в множестве действительных чисел, но не невозможно вообще.  

        Оказалось, что корни решаемой нами системы уравнений принадлежат множеству комплексных чисел. А ещё учительница нам сказала, что это множество содержит число, квадрат которого равен -1. Мы подумали, что учительница что-то перепутала, потому что в нашем сознании никак такая мысль не укладывалась. Теперь нам стало необходимо самим в этом убедиться. И мы убедились.

        Изучив комплексные числа, мы разработали методическое пособие для тех, кто желает самостоятельно овладеть теоретическими знаниями в данной области математики. И теперь хотим проверить, насколько наш материал применим в обучающих целях.

Цели:

1. Познакомить с понятием комплексного числа;
2. Создать программу ознакомления с материалом, включающую в себя элементы тестирования.

Задачи:

1. Провести тестирование среди одноклассников;
2. Изучить полученные результаты тестирования и сделать выводы о качестве, созданного математического пособия;
3. На основании сделанных выводов усовершенствовать созданную обучающую программу;
4. Выявить перспективу на будущее.

1. Немного истории.

1.  Несколько высказываний знаменитых ученых о комплексных числах.

        Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытиём. (Г.Лейбниц.)

        Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более широкое распространение. (Ф.Клейн.)

        Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. (Л.Карно.)

2. Несколько слов о появлении комплексных чисел.

        Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так с нуждами самой математики. Древнегреческие ученые считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических подсчетах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н.э., а древнегреческий математик Диофант в III веке н.э. уже умел производить действия над отрицательными числами.  В XIII веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицательными эта операция невозможна. Но в XVI веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись с этой проблемой. Поэтому итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 году в своем труде «Великое искусство, или «Об алгебраических правилах»  предложил ввести числа новой природы. Он назвал эти величины «число отрицательными» или «софистически отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако уже в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

        Название «мнимые числа» в 1637 году было введено французским математиком и философом Р. Декартом. А в 1777 году один из крупнейших алгебраистов XVIII века – Л. Эйлер – предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа  Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л. Карно, но в употребление он вошел только благодаря работам К. Гаусса. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII – XVIII веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, а полное геометрическое истолкование «мнимым» величинам дали в своих работах К. Вессель и Ж. Арган.

        В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений постоянными коэффициентами, а Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Также с помощью «мнимых» величин были решены прикладные задачи, связанные с картографией и гидродинамикой.

2. Понятие комплексного числа.

1. Алгебраическая    форма

a=Re z – действительная часть числа z (вещественная);

b=Im z – мнимая часть числа z.

Если а≠0, b≠0,то z – мнимое число (z=97-7∙i).

Если а=0, b≠0, то z – чисто мнимое число (z=55∙i).

Если а≠0, b=0, то z – действительное число (z=-4).

Степени числа i;

i 1 = i =› i 4n+1 = i;   i 2 = -1 =› i 4n+2 = -1;    i3 = i2 ∙ i =› i4n+3 = -i;   i4 = (i2)2 = 1 =› i4n = 1;

1. z = a + b ∙ i и z = a - b ∙ i – сопряженные; сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами (z  +  z͞ = 2a,

z ∙ z͞͞ = a2 + b2);

2. z = a + b ∙ i и –z = -a –b ∙ i– противоположные; сумма двух противоположных чисел равна 0 (z + (-z) =0). Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i2 = -1. 

1. Условие равенства комплексных чисел z1 = a1 + b1 ∙ i и z2 = a2 + b2 ∙ i;       z1 = z2, если  a1 = a2  и  b1 = b2 .
2. Сумма комплексных чисел z1 = a1 + b1 ∙ i и z2 = a2 + b2 ∙ i равна: z1 + z2 = (a1 + a2)  + (b1 + b2) ∙ i (сумма двух противоположных чисел равна 0).
3. Разность комплексных чисел z1 = a1 + b1  ∙ i и z2 = a2 + b2 ∙ i равна: z1 - z2 = (a1 - a2)  + (b1 - b2) ∙ i.
4. Произведение комплексных чисел z1 = a1 + b1  ∙ i и z2 = a2 + b2 ∙ i равно:

 z1 ∙ z2 = (a1 ∙ a2  -  b1 ∙ b2) + (a2 ∙ b1 + a1 ∙ b2) ∙ i.

5. Частное комплексных чисел z1 = a1 + b1 ∙ i и z2 = a2 + b2  ∙  i равно:  (для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.)

1. Понятие о комплексной плоскости.

        Комплексная плоскость С – плоскость с прямоугольной декартовой системой координат х, у, каждая точка которой (х; у) отождествлена с комплексным числом z = x + yi. Поэтому на комплексной плоскости говорят о точках z или о векторах z, подразумевая вектор, приложенный в начале координат с концом в точке z. Ось абсцисс ОХ на комплексной плоскости называется действительной осью, а ось ординат ОУ – мнимой осью.

        Поле С является алгебраическим расширением поля действительных чисел и получается присоединением к полю R корня i многочлена х²+1. Поле С алгебраически замкнуто: любой многочлен с коэффициентами из С разлагается над С на линейные множители. Поле С является единственным минимальным расширением поля R, в котором уравнение x2+1 имеет корень.

2. Геометрическая форма комплексного числа.

        Комплексное число z = a + b ∙ i изображается плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (a; b). Эта точка обозначается той же буквой z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто – мнимые – точками оси координат.

               Y (мнимая ось)   Z (x;y)                                                     Y (мнимая ось)    Z (x;y)                                   

                                                       Х (действительная ось )         Комплексное число изображается также вектором на комплексной плоскости с началом в точке О и концом в точке z. Сумма и разность комплексных чисел строятся по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма.

        Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма: (приложение 1.)

          Разность комплексных чисел строится по правилу вычитания векторов: (приложение 2.)

 Тригонометрическая форма комплексного числа. z=r ∙ (cos ϕ + i ∙ sin ϕ), где  r ∙ cos ϕ=Re  z; r ∙ sin ϕ = Im z;          

 Для комплексных чисел  справедливы равенства:

Для n-ой степени числа z справедливо равенство:

При r=1 соотношение принимает следующий вид и называется формулой Муавра:   (cos φ + i ∙ sin φ)n=cos (nφ)+i∙sin (nφ)

     Корень n-ой степени:

Пример:

z = 8 + 6 ∙ i – алгебраическая форма.

  =>        =>           =>       .

Показательная форма комплексного числа.            

           - формула Эйлера.

1. Для комплексных чисел     справедливы равенства: ;                              .
2. Для n-ой степени числа z справедливо равенство:

.

3. Корень n-ой степени из числа z равен:

.

Пример:

    =>        =>    

3. Построение комплексных множеств на плоскости.

1. Пример 1.

 то

а) первое условие примет вид:

    =>           =>      .

Это множество точек, лежащих внутри и на границе кольца между окружностями с центром (1; 0)  радиусами, равными 2 и 3;

б) второе условие примет вид:

 искомое множество есть часть кольца, ограниченная отрезками прямых: .

Решение данной системы есть следующее множество точек, изображенных на плоскости: (приложение 3.)

3.2.Пример 2.        .

 Так    как .

Тогда исходное неравенство примет вид:

          =>             .

Решением данной системы является следующее множество точек: (приложение 4.)

4. Графическое решение систем уравнений и неравенств комплексных чисел, содержащих параметр.

 4.1.   Пример 1.   При каких значениях параметра а система уравнений 

имеет единственное решение?

Так как z = x + y ∙ i, то система  будет выглядеть следующим образом  <=>  Графиком функций      y = 1 - x  является прямая, проходящая через точки (0; 1) и (1; 0), а график x2+y2=a представляет собой окружность с радиусом  Система уравнений будет иметь единственное решение только в том случае, когда прямая, заданная функцией y = 1 - x будет касательной к окружности с радиусом   Ответ: при  система заданных уравнений имеет единственное решение (приложение 5.)

2.  Пример 2.   При каких значениях параметра а система неравенств  

  выполняется для всех х на отрезке ?

Так как  будет выглядеть следующим образом:

         Для решения системы неравенств воспользуемся графическим методом. Введём прямоугольную систему координат и обозначим вертикальную ось Оx, а горизонтальную – Оа. Решением данной системы неравенств является множество точек, заключенных внутри окружности, заданной уравнением , и в то же время находящимися между прямыми  а также лежащих не ниже точек графика, заданного функцией  Данные чертежа наглядно иллюстрируют решение системы неравенств:  (Приложение 6.)

           5. Проверка качества применимости изложенного материала для самостоятельного изучения темы «Комплексные числа».

1. Тест контроля знаний по теме «Комплексные числа» (приложение 7).

5.2.  Критерии оценки (приложение 8).

3. Данные проведенного тестирования.  

5.4 Анализ полученных результатов.

        В тестировании принимали участие 11 человек: 3 человека получили оценку «3», 4 человека – оценку «4», 4 человека – оценку «5».

        Средний балл, полученный учащимися за тестирование: 4,1.

        Процент качества: 72,7%.

        Типичные ошибки допущены в вопросах 6 и 8. Обе ошибки допущены в вопросах, связанных с представлением комплексного числа в требуемом виде. Из этого следует, что теорию нужно подкрепить примерами, наглядно иллюстрирующими все формы комплексного числа.

        В результате анализа полученного тестирования была выявлена необходимость усовершенствования имеющегося материала, что и было сделано (приложение 9).

5.5. Основные выводы по проведенному исследованию.

1. Успешное тестирование показало, что:

- обучающий материал изложен понятно и доступно;

- обучающий материал содержит полную информацию для работы с комплексными числами;

- обучающий материал содержит перечень примеров;

- предложенный тест помогает наглядно увидеть, что для обучающегося осталось неясным или вызвало трудности при изучении.

      II. Опираясь на результаты тестирования, можно утверждать, что обучающая программа составлена успешно и её можно рекомендовать в качестве самоучителя по теме «Построение комплексных множеств на плоскости. Графическое решение систем уравнений и неравенств комплексных чисел, содержащих параметр».

Заключение.

        В процессе исследования была создана обучающая программа, которую можно использовать для индивидуального обучения. Эту программу можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя математики могут использовать её как методическое пособие при изложении данной темы, а также для контроля знаний учащихся. Этой программой могут воспользоваться и те, кто хочет знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Литература:

1. Афанасьев, О.Н., Бродский, Я.С. Сборник задач по математике для техникумов. – М.: Наука, 1992.
2. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ. – М.: Просвещение, 1990.
3. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.
4. Говоров, В.М., Дыбов, П.Т. Сборник конкурсных задач по математике. – М.: Наука, 1983.
5. Маркулевич, А.И. Комплексные числа и комфортные отображения. – М.: 1960.
6. Сканави, М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. – М.: ОНИКС XXI век, Мир и образование, 2002.
7. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач. – М.: Просвещение, 1989.
8. Шахно, К.У. Элементарная математика для окончивших среднюю школу. – Л., 1976.
9. Шклярский, Д.О., Ченцов, Н.Н. Избранные задачи и теоремы элементарной математики: арифметика и алгебра. – М.: Наука, 1976.
10. Штейнгауз, В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
11. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.