Мини-исследовательская работа по теории чисел. "Существует ли такое пятизначное число, которое при возведении в произвольную натуральную степень будет оканчиваться на те же пять цифр, что и исходное число"

Рубрика «Решение одной задачи».

Мини-исследовательская работа по теории чисел.

Из материалов Всероссийских предметных олимпиад

«Познание и творчество», «Увлекательная математика», 9-10 кл. http://www.future4you.ru/ 

Решение задачи:

Существует ли такое пятизначное число,

которое при возведении в произвольную натуральную степень

будет оканчиваться на те же пять цифр,

что и исходное число, притом в том же порядке?

Выполнила ученица 9А класса Гребецкая Анастасия.

Руководитель: учитель математики

Юнева Лариса Сергеевна, г.Москва.

Задание . Существует ли такое пятизначное число, которое при возведении в произвольную натуральную степень будет оканчиваться на те же пять цифр, что и исходное число, притом в том же порядке?

Решение.

Решение этой задачи проведём через исследование, составляя таблицы второй и других степеней.

По условию степень произвольная, значит, начиная со второй, должно соблюдаться повторение цифр.

1. Однозначными числами такого рода являются 1, 5 и 6.
2. Для двузначных чисел такое повторение происходит для чисел 25 и 76.

252 = 625 и 762 = 5776.

Проверяем третью степень 253 = 15625 и 763 = 438976.

Четвёртую:                 254 = 390625 и 764 = 33362176.

Пятую:                        255= 9765625 и 765 = 2535525376.

Шестую:                         256 = 244140625 и 766 = 192699928576.

И так далее.

Степени числа 25 и 76 действительно оканчиваются на 25 и 76 соответственно. Повторение с 25 и 76 соблюдается. Можно предположить, что оно будет верно для любых степеней.

Пусть число имеет вид . Все цифры, стоящие до 25, можно принять за одно число, например, А: .

Разложим его по разрядным слагаемым: 100А + 20 + 5 = 100А +25. Тогда

(100А + 25)2 = (100А)2 + 2 ∙ 100А ∙ 25 + 252. Это число оканчивается на 25. Значит, и все последующие степени оканчиваются на 25.

Аналогично для числа 76.

3. Для трёхзначных чисел. Такими числами могут быть числа, оканчивающиеся на 25 или 76.

1252 = 15625; 2252  = 50625; 3252  = 105625; 4252 = 180625; 5252  = 275625; 6252 = 390625; 7252  = 525625; 8252 = 680625; 9252 = 855625.

1762 = 30976; 2762 = 76176; 3762 = 141376; 4762 = 226576; 5762 = 331776; 6762 = 456976; 7762 = 602176; 8762 = 767376; 9762 = 952576.

В произведениях чисел прослеживается то число, для которого может произойти повторение, либо это 625, либо – 376.

Действительно, 6251 = 625, 6252 = 390625, 6253 = 244140625, … Числа оканчиваются на 625. Рассмотрим общий вид числа . Заменим все стоящие перед 625 цифры как число на В:

 = 1000В + 600 +20 + 5 = 1000В + 625.

(1000В + 625)2 = (1000В)2 + 2 ∙ 1000В ∙ 625 + 6252. Это число будет оканчиваться на 625, так как оканчивается последними цифрами из числа 6252, а это 625. Значит, для любых степеней  будет оканчиваться на 625.

Для числа 376: 3761 = 376, 3762 = 141376, 3763 = 53157376, … Дальнейшие рассуждения, как для числа 625, приводят к тому, что это трёхзначное число тоже подходит.

4. Для четырёхзначных чисел.

Четырёхзначное число для повторения надо искать в записи значений степеней числа 625. Это 0625, что не может служить четырёхзначным числом.

Проверим числа, имеющие 376 на конце. 13761 = 1376, 13762 = 1893376. Уже видно, что нужного набора цифр здесь нет. Таких чисел нет.

5. Пятизначное число возможно среди последних пяти цифр степеней числа 625: 6252 = 390625, 6253 = 244140625, то есть это либо 90625, либо 40625.

Сначала проверяем вторую степень этих чисел.

906252 = 8212890625 – есть повторение.

406252 = 1650390625 – нет повторения.

Тогда проверку осуществим для числа 90625.

 =  = 100000С + 90625.

(100000С + 90625)2 = (1000000С)2 + 2 ∙ 100000С ∙ 90625 + 906252. Это число будет оканчиваться на 90625, так как оканчивается последними цифрами из числа 906252, а это 90625.

Следовательно, пятизначное число, которое при возведении в произвольную натуральную степень будет оканчиваться на те же пять цифр, что и исходное число, притом в том же порядке, существует. Это число 90625.

Ответ: такое пятизначное число существует. Это 90625.