Некоторые приёмы решения диофантовых уравнений

Научно-исследовательская работа

Математика

Некоторые приЁмы решения

диофантовых уравнений

        Выполнили:

Никулина Кристина Александровна

ученица 8Б класса

ГБОУ школы № 573

Приморского района г. Санкт-Петербурга

Иода Владлена Сергеевна

ученица 8Б класса

ГБОУ школы № 573

Приморского района г. Санкт-Петербурга

Руководитель:

Ганзера Анна Александровна

учитель математики ГБОУ школы № 573

Приморского района г. Санкт-Петербурга

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. 

Решение алгебраических уравнений в целых числах  представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач  и не достаточно глубоко представлено в школьном курсе математики. Однако такие задания, как правило, представлены в олимпиадах различных уровней, в вариантах вступительных работ в математические классы. Что и обуславливает актуальность темы исследования. В своей работе мы рассмотрели различные виды уравнений с целыми коэффициентами и с более чем одним неизвестным, классифицировали их по способам решений, описали алгоритмы их решения, и привели практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах.

Объектом исследования являются уравнения в целых числах.

Предметом исследования – различные способы решения этих уравнений

Цель работы – познакомиться со способами решения уравнений в целых числах и классифицировать уравнения по способам их решения.

Задачи:

• Изучить учебную и справочную литературу по теме исследования;
• Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;
• Разобрать алгоритмы решения уравнений данного вида;
• Описать способы решения;
• Рассмотреть примеры решения уравнений с применением данных способов.

Гипотеза: анализ методов решения уравнений в целых числах и их классификация способствуют конструктивному подходу к решению уравнений данного вида и не только.

Методы исследования

• Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы об уравнениях в целых числах.
• Классификация уравнений в целых числах по методам их решения.
• Анализ и обобщение методов решения уравнений в целых числах.

1. История уравнений в целых числах

Диофант – ученый – алгебраист Древней Греции, по некоторым данным он жил до 364 года н. э. Диофант специализировался на решении задач в целых числах. Отсюда и пошло название Диофантовы уравнения. Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения. «Арифметика» Диофанта — это сборник задач, каждая включает в себя решение и необходимое пояснение. В собрание входят разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофанта интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.

2. Линейные уравнения в целых числах с двумя переменными

Уравнения вида  где  – некоторые числа, а  – переменные, - называется линейным уравнением с двумя переменными.

2.1. Метод перебора.

Пример 1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решением уравнения 49x+69y=602

Решение:   выразим                

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются

Ответ: 

Пример 2.  Решить уравнение 170х+190у=3000 в натуральных числах.

Решение:  после сокращения на 10 уравнение выглядит так,

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются  

Ответ:

Очевидно, метод перебора становится неэффективным при большом количестве вариантов и невозможным, в случае, когда количество корней не ограничивается конечным числом вариантов.

2.2. Метод спуска.

Пример 3. Решить уравнение в целых числах 2x-7y=3

Решение: выразим из данного уравнения

Пусть    тогда

Ответ:  

Данный метод решения уравнения называется методом спуска.

Пример 5. Решить уравнение в целых числах 4x+3y=13

Решение: выразим из данного уравнения

Пусть  тогда

Ответ: 

3. Нелинейные уравнения с  двумя переменными

3.1. Метод перебора.

Пример 1. (Задача из материалов вступительных экзаменов в 8 математический класс). Сколько пар целых положительных решений имеет уравнение . Перечислить эти пары.

Решение: перепишем уравнение в виде

Раскладывая на множители число 500, и учитывая, что один из множителей является точным квадратом, находим подходящие пары:

Имеем 4 пары решений  в целых положительных числах .

Ответ:   

3.2. Метод разложения на множители

 Метод разложения на множители очень интересный прием и встречается он, как в элементарной математике, так и в высшей. Напомним, что разложить на множители – значит представить это выражение в виде произведения более простых множителей. Рассмотрим примеры применения данного метода.

Пример 1.  Решить уравнение х – у = ху в целых числах:

Решение: запишем уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители, получим

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

    или  

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ: 

Можно привести целый ряд таких уравнений, решение которых основывается на разложении на множители.

Пример 2. Решить уравнения в целых числах  

Решение: разложим левую часть уравнения на множители, получим

Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

    или  

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ: 

Пример 3.  Найдите все пары целых чисел x и  y, удовлетворяющих уравнению x2 – 6xy + 5y2=11

Решение: разложим левую часть уравнения на множители, получим

Уравнение имеет целые решения, если множители целые, 11 можно двумя способами разложить на целые множители .

Получим четыре системы уравнений:

Системы не имеют решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах уравнение не имеет.

Пример 4.  Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению х2 – у2= 69

Решение: разложим левую часть уравнения на множители:

.

Т.к. корни уравнения – натуральные числа, то  тогда , при этом сумма корней больше их разности. Число 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Получим совокупность двух систем уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

Выразив одну переменную и подставив ее во второе уравнение, находим корни уравнений. Первая система имеет решение  , а вторая система имеет решение .

Ответ: 

Пример 5. Решить уравнение в целых числах y3 – x3 = 91.

Решение: используя формулы сокращенного умножения, разложим левую часть уравнения на множители:

Выпишем все делители числа

Для любых целых x и y выражение . Докажем это. Умножим на 2 левую и правую часть неравенства и преобразуем его левую часть

(неравенство носит название – неравенство трех квадратов). Следовательно, оба множителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

Решив системы, отбираем те корни, которые являются целыми числами.

Получаем решения исходного уравнения:

Ответ: 

Пример 6. Доказать, что уравнение (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30 не имеет решений в целых числах.

Доказательство:

Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

Делителями 10 являются числа Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Доказано.

3.3.  Выделение полных квадратов

Пример 1. Решить в целых числах уравнение 5х2+5у2 + 8ху+2у-2х +2=0

Решение: Данное уравнение можно решить методом разложения на множители, однако этот способ применительно к данному уравнению достаточно трудоёмкий. Рассмотрим более рациональный способ.

Выделим полные квадраты двучленов

Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно 0, значит единственная пара решений

Ответ: 

3.4. Свойства делимости

Пример 1. Решить уравнение в натуральных числах: mn +25 = 4m.

Решение:  выразим переменную  через

Поскольку  натуральное число, то  является натуральным делителем числа .  Натуральные делители числа

Если

если (посторонние корни),

если  (посторонние корни).

Ответ:

Пример 2.  Решить уравнение 2х2 -2ху+9х+у=2 в целых числах:

Решение: выразим из уравнения ту переменную, которая входит в него только в первой степени, то есть переменную у:

, откуда

Выделим целую часть дроби

Получим:

Поскольку  – целые, то 3 нацело делится на выражение , т.е.      – делитель числа 3, значит,   может принимать только значения

Выполняем проверку получившихся значений и получаем решения:

Ответ: .

Помимо задания решить уравнение в целых числах, встречаются задания на доказательство того факта, что уравнение не имеет целых корней.

При решении таких задач, необходимо помнить следующие свойства делимости:

1)

2)

3)

4)

6)

7)

3.5.  Метод остатков

Основная задача метода – находить остаток от деления обоих частей уравнения на целое число, на основе полученных результатов делать выводы. Часто полученная информация уменьшает возможности множеств решений уравнения. Рассмотрим примеры:

Пример 1. Решите уравнение в натуральных числах:

Решение: перенесем  вправо, разложим на множители и рассмотрим делимость  на 2 и 3.

Левая часть уравнения делится на 2, значит и правая часть делится на 2. 3 на 2 не делится, значит   , значит  при этом  , значит , тогда

Ответ: .

Пример 2. Доказать, что уравнение 2x+6y=23 не имеет решений в целых числах

Доказательство: покажем, что левая часть уравнения делится на 2, а правая – не делится.

 выражение делится на 2, так как один из множителей делится на 2. А 23 не делится на 2, значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример 3. Доказать, что уравнение x2 = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда  . Рассмотрим остатки от деления каждой части уравнения  на 3.

Правая часть уравнения дает остаток 2 при делении на 3 при любом значении  

Левая  часть, которая является квадратом натурального числа, при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1.  Докажем это.

Все числа можно объединить в три группы по остаткам при делении на 3:  

при делении на 3 дает остаток 0,

 при делении на 3 дают остатки 1.

Исходя из этого, получаем, что решения данного уравнения в натуральных числах нет.

Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно 0. Тогда очевидно, решений в целых числах нет.

Случай, когда y – целое отрицательное не имеет решений, т.к. правая часть будет отрицательна, а левая – положительна.

Случай, когда x – целое отрицательное, также не имеет решений, т.к. попадает под один из рассмотренных ранее случаев ввиду того,   что

Получается, что указанное уравнение не имеет решений в целых числах.

Доказано.

Пример 4.  Доказать, что уравнение  x2– 3у = 17 не имеет целых решений.

Доказательство:

Рассмотрим остатки от деления на 3 каждой части уравнения. В предыдущем примере мы уже доказали, что квадрат целого числа при делении на 3 дает остатки только 0 или 1, 3у кратно 3, значит, левая часть при делении на 3 дает остатки 0 или 1, а правая при делении на 3 дает остаток 2. Значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

Доказано.

Пример 5. Может ли сумма кубов трех последовательных целых чисел быть равной сумме квадратов двух последовательных целых чисел.

Решение: Запишем данное утверждение в виде уравнения:

Раскроем скобки, упростим выражение и рассмотрим делимость на 3 левой и правой части уравнения:

Левая часть уравнения делится на 3, рассмотрим правую часть:

Если  дает остаток 1 при делении на 3;

Если

 дает остаток 2 при делении на 3;

Если

 дает остаток 1 при делении на 3;

Значит, правая часть уравнения, не делится на 3 ни при каком значении .

Уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: сумма кубов трех последовательных целых чисел не может быть равной сумме квадратов двух последовательных целых чисел.

4. Задачи для самостоятельного решения

1. Определите количество натуральных решений уравнения:

2. Решите уравнение в целых числах:

3. Решите уравнение в натуральных числах:

3. .

4. Решите уравнение в целых числах, разложив на множители:

5. Решите уравнение в целых числах, выполнив оценку:

6. Используя разложение на множители и метод остатков, докажите, что уравнение не имеет решений:

Заключение:

В результате исследования подтвердилась гипотеза о том, что анализ методов решения уравнений в целых числах и их классификация способствуют конструктивному подходу к решению уравнений данного вида и не только. Определены дальнейшие задачи – возможность использования данных методов для доказательства утверждений. Собран материал для самостоятельного решения уравнений.

Результаты наших исследований могут быть полезны всем ученикам, интересующимся математикой.

Литература

1. Галицкий М.Л. , Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре, уч пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики,  Просвещение – 2015г.
2. Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Потемкин В.Л., Сборник олимпиадных задач по математике 6-8 класс- Донецк: Каштан, 2005.-205с.
3.  История Диофантовых уравнений http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html
4.  История Диофанта http://www.studfiles.ru/preview/4518769/ http://pandia.ru/text/78/004/3180.php