Исследование приёмов быстрого устного счёта

XIII городская межшкольная конференция

«Я - исследователь»

Секция «Математика»

Исследование приёмов быстрого устного счёта

Самара, 2021-2022 гг.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение3

1. Основная часть5

1. Метод умножения с использованием опорного числа……………5
2. Русский способ умножения и деления (способ изменения сомножителей)8
3. Применение формул сокращенного умножения: Разность квадратов двух выражений 10

2. Практическая часть10
3. Заключение12
4. Список использованной литературы13

Приложение…………………………………….……….……………….14

Введение

Для своего проекта я выбрал весьма актуальную и полезную тему для большинства людей. С изобретением калькуляторов человек утратил необходимость самому производить вычисления. Из - за этого многие просто разучились считать в уме. В основном – это школьники, ведь именно они больше всего пользуются калькуляторами, как на уроках в школе, так и дома, выполняя домашнюю работу. Тема поиска способов устного счета заинтересовала меня, так как я и сам часто пользуюсь калькулятором, не раз попадая в ситуации, когда нужно было произвести быстрые вычисления, а вычислительного прибора  при себе не имелось, мне приходилось тратить много времени.

Цель проекта: определить эффективность методов устного счета на практике.

Для достижения поставленной цели мне необходимо решить следующие задачи :

 1) рассмотреть ряд способов устного счета

 2) предложить одноклассникам провести вычисления при помощи предложенных способов,

3) сравнить скорость вычисления с помощью традиционных методов и с помощью «приёмов быстрого счёта»

4) создать сборник тренировочных упражнений и «памятку» с приёмами устного счёта.

Устный счет в основном применяется в повседневной жизни: для подсчета стоимости покупки в магазине, для распределения семейного бюджета, для расчета количества строительных материалов, необходимых для ремонта квартиры.  Для школьников освоение методик устного счета поможет в решении различных задач и примеров.

Для поиска способов устного счета и обратился к научной литературе. Автору одной из прочитанных мною по этому вопросу книг принадлежит очень интересное высказывание:  «Чем проще метод, используемый вами для решения задачи, тем быстрее вы ее решите и тем меньше вероятность того, что вы допустите ошибку». Это высказывание Билла Хэндли, и с ним трудно не согласиться.

Основная часть

1.  Метод умножения с использованием опорного числа

Число 10 в качестве опорного числа

Рассмотрим пример: 7*8

10    7*8=

Число 10 слева от примера является опорным. Это число, из которого мы вычитаем множители.

В рассматриваемом примере множители меньше, чем опорное число. Поэтому рисуем кружки ниже множителей. Множители  меньше опорного числа на 2 и 3 соответственно. Вписываем 3 и 2 в кружки. 7 равно 10 минус 3, поэтому ставим знак минус перед кружком с цифрой 3. 8 – это 10 минус 2, значит, ставим знак минус и перед кружком с цифрой 2.

 7 * 8 =

-3 -2

Теперь вычитаем накрест. 7 минус 2 и 8 минус 3 дают 5. Записываем 5 после знака равенства. Теперь умножим 5 на опорное число 10. 5, умноженное на 10, дает 50, поэтому записываем 0 после 5. 50 является нашим промежуточным результатом.

Теперь перемножим числа в кружках. 3 на 2 дает 6. Прибавим результат к 50 и получим окончательный ответ: 56.

Число 100 в качестве опорного числа

Данный метод работает при перемножении чисел больше 10.

Рассмотрим пример:

96*97=

-4     -3     

Вычитаем накрест: 96 минус 3, так же как и 97 минус 4, равно 93. Это первая часть ответа. Далее перемножаем числа в кружках. Произведение 4 на 3 равняется 12. Это последняя часть ответа. Сам ответ, соответственно, равен 9312.

96*97=9312

-4    -3

Умножение чисел от 10 до 20

Посмотрим, как работает метод для перемножения чисел от 10 до 20. В качестве примера возьмем 13*14, а 10 – в качестве опорного числа.

10  13*14=

 И 13, и 14 больше опорного числа 10, поэтому рисуем кружки над множителями.  Множители больше опорного числа на 3 и 4 соответственно. Поэтому вписываем 3 и 4 в кружки над 13 и 14. 13 равно 10 плюс 3, 14 равно 10 плюс 4, поэтому ставим знак плюс перед цифрами 3 и 4.

+3  +4

13 * 14 =

Складываем накрест. И 13 плюс 4, и 14 плюс 3 равно 17. Пишем 17 после знака равенства. Умножаем 17 на опорное число 10 и получаем 170 – это наш промежуточный результат, записываем его после знака равенства.

В качестве последнего шага перемножаем числа в кружках. 3, умноженное на 4, равно 12. Прибавляем 12 к 170 и получаем ответ: 182. Вот так выглядит полностью решенный пример:

+3 +4  

13 * 14 = 170

            +12

             182 – ОТВЕТ

Если число, которое мы перемножаем, больше опорного, мы помещаем кружок над числом. Если число меньше опорного, мы рисуем кружок под числом.

А как перемножить 12 и 21?  Рассмотрим пример:

+2    +11

12 * 21 =

В качестве опорного числа берем 10. Оба множителя больше 10, поэтому рисуем кружки над ними. 12 больше 10 на 2, а 21 - на 11, поэтому вписываем 2 и 11 в соответствующие кружки.  21 плюс 2 равно 23, которое после умножения на 10 дает 230. 2, умноженное на 11, равно 22, которое в сумме с 230 равняется 252.

Полностью решенный пример выглядит следующим образом:

+2 +11

12*21=230

            +22

            252 – ОТВЕТ

Умножение чисел больше 100

Метод опорного числа используется для перемножения чисел больше 100. Что бы перемножить 106 на 104, возьмем 100 в качестве опорного числа.

100  106*104=

Множители превышают опорное число 100, поэтому рисуем кружки над 106 и 104. Они превышают 100 на 6 и 4 соответственно. Вписываем 6 и 4 в кружки. Перед ними ставим знак плюс (как перед положительными числами), поскольку 106 равняется 100 плюс 6, а 104 - 100 плюс 4.

        +6     +4

100  106*104=

 Складываем накрест. 106 плюс 4 равно 110. Записываем 110 после знака равенства.

Умножим 110 на опорное число 100. Получаем промежуточный результат: 11000.

Теперь перемножим числа в кружках: 6*4=24. Приплюсуем результат к 11000 и получаем 11024.

Полностью решенный пример выглядит следующим образом:

           +6     +4

100     106*104=11000

                               +24

                            11024 – ОТВЕТ

1.2 Русский способ умножения и деления (способ изменения сомножителей)

Этот метод я нашел в книге А.С. Сорокина.  Мне он показался достаточно эффективным и легким в освоении даже для неподготовленных людей.

Изложение метода в общем виде.

 Если один и множителей увеличить в m раз, а второй сомножитель во столько же раз уменьшить, то произведение не изменится. Этим свойством произведения можно пользоваться для облегчения вычислений.

Например:

25*24=(25*4)*(24/4)=100*6=600

13*18 = (13*6)*(18/6)=78*3=234

Пример дает хорошие результаты при умножении на двузначные числа. Применяя его, очень часто удается свести умножение на двузначное число к умножению на однозначное число с последующим умножением опять на однозначное число.

23*15=115*3=345

Активное усвоение метода заключается в том, чтобы в каждом отдельном случае быстро сообразить, как можно упростить множимое на множитель. При этом сведение к умножению на однозначное число – только частный случай.

35*55=(34/2)*(55*2)=17*110

Умножать на 110 проще, чем на 55.

Умножение на число вида 5*10n.

Способ изменения сомножителей упрощает умножение на числа вида 5*10n.

Если необходимо умножить 246*5, то, уменьшая первый множитель в 2 раза, а второй множитель увеличивая в 2 раза, получим:

(246/2)*(5*2)=123*10=1230

257*5=128,5*10=1285

349*5=174,5*10=1745.

Отсюда вытекает правило: чтобы умножить число на 5, его необходимо умножить на 10 и разделить на 2

257*5=2570/2=1285

349*5=3490/2=1745

Аналогично происходит умножение на 5*10n.

7292*5*10n=36460*10n

272*500=136,5*10*100=136500

43*0,005=43*5*10-3=215*10-3=0,215

Умножение на 25*10n.

Что бы умножить число на 25, его необходимо умножить на 100 и разделить на 4.

1232*25=123200/4=30900

9532*25=953200/4=238300

Множитель 10±n не меняет алгоритма нахождения произведения:

378*25*104=37800/4*104=9600*104=96*106

36*25*10-2=3600/4*10-2=900*10-2=9

157*2500=15700/4*100=392500.

Умножение чисел на 125*10n.

Чтобы умножить число на 125, необходимо это число умножить на 1000 и разделить на 8.

453*125=453000/8=56625

129*125=129000/8=16150

Так же, как и в предыдущих случаях, наличие множителя 10±n не изменяет характера вычислений

354*0,125=354000/8*10-3

Множитель 10±n проще учитывать на конечной стадии вычислений.

3. Способ применения формул сокращенного умножения: Разность квадратов двух выражений

Данный способ дается в школьной программе за 7 класс. Не смотря на свою банальность, способ является очень эффективным, и во многих случаях может заметно упростить решение определенных задач. Формулировка  разности квадратов двух выражений дана в учебнике Алгебры за 7 класс:

«Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы».

Формула выглядит следующим образом: а2-b2 = (a-b)(a+b).

По школьной программе восьмого класса школьники изучают способы нахождения арифметических квадратных корней и решают примеры, в которых встречаются арифметические квадратные корни.

Рассмотрим пример:  .

В этом случае возводить каждое число в квадрат, не пользуясь калькулятором или таблицей квадратов чисел сложно, да и велик шанс допустить ошибки в вычислениях. Использовав формулу разности квадратов, решение будет выглядеть следующим образом:

  =  =  = 7.

Данный метод, не смотря на свою ситуативность, очень эффективен. Большой ошибкой является то, что школьники часто забывают про его существование.

2. Практическая часть

Что бы наглядно проверить действенность представленных выше способов устного счета, я решил провести тестирование среди своих одноклассников. На уроке им были даны примеры, и они должны были решить их двумя способами: по-своему и с помощью предложенных мною способов.

Суть эксперимента в том, чтобы понять, быстрее или медленнее опрашиваемые решат предложенные им примеры с помощью способов устного счета. Одноклассникам были предложены следующие примеры:

1. 14*15=        2. 34*35=                3. 182-122=                        4.=    5. 22*25=                6. 125*24 =         7. 372-232 =                        8. =

Первые 4 примера нужно было решить известным способом, а оставшиеся 4 – способами, предложенными мной. По команде учителя на секундомере начинался отсчет времени, и ученики начинали решать примеры. Когда первый решил 4 примера, отсчет времени завершился. На секундомере было значение 2 минуты 30 секунд. Далее, я познакомил одноклассников со своими приёмами и предложил использовать их для подсчёта значений следующих выражений. При включенном секундомере ребята решили оставшиеся четыре примера. По окончании решения секундомер показал 60 секунд. Разница во времени ощутимая, к тому же, решая примеры по своему, многие опрашиваемые допускали ошибки в счете. Решая моими способами, ошибок было сделано значительно меньше.                                                                                      

По итогам эксперимента можно сказать, что использование методов показало отличную результативность. На мое удивление, новые способы счета у одноклассников вызвали большой интерес. Им не составило труда адаптироваться и применять их почти без подготовки. А при постоянной практике решение задач данными способами будет еще легче и быстрее. Поэтому я решил не останавливаться на достигнутом и составил памятку приёмов устного счёта и сборник тренировочных упражнений. Они размещены в приложениях к работе.

Заключение

Подводя итоги моей работы, можно еще раз отметить актуальность выбранной мною темы. Использование методов устного счета на практике показало свою эффективность – время на решение примеров тратится меньше, а результативность становится выше. Проводя опрос в классе, я еще раз убедился в этом. У некоторых моих одноклассников, есть проблемы с устным счетом. И такая ситуация не только в моем классе, но и у большинства других людей. Решить эту проблему поможет большое количество практики и тренировок. А упростят этот процесс – методы устного счета. Я доволен своей работой и надеюсь, что методы, которые я показал своим одноклассникам, помогут им в дальнейшем. Я планирую познакомиться и с другими методами и обязательно их применять.

Список  использованной  литературы

1. Мерзляк  А.Г.,  Полонский  В.Б., Якир М.С. Алгебра: 8 класс, – М.: Вентана-Граф, 2015 – 272 с.
2. Сорокин А.С. Техника счета (Методы рациональных вычислений), –  М.: Знание, 1976 – 120 с.

Приложение

Метод опорного числа

Метод изменения сомножителей

Применение формулы «Разность квадратов»