Управление образования и науки Липецкой области

Государственное областное автономное

профессиональное образовательное учреждение

«Липецкий металлургический колледж»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ ДРЕВНЕЙ РУСИ.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

2022 г.

Содержание

Введение

Число - важнейшее понятие математики. Потребовалось несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело форму, которая в настоящий момент признается удовлетворительной подавляющим большинством математиков. Однако в соответствующих формулировках используется профессиональный язык столь высокого уровня, что попытка передать их точный смысл "простыми и понятными словами", по-видимому, безнадежна. Приходится довольствоваться лишь общими описаниями.

Развитие счета шло параллельно с изменением в психологическом восприятии понятия "много". Вначале было "один, два, много" или "один, два, три, много", но постепенно граница отодвигалась, формировался натуральный ряд чисел.

Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме "Математическая мысль Древней Руси" в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью.

Целью индивидуального проекта является описать математическое наследие древней Руси и рассмотреть славянскую нумерацию.

Задачи проекта описать:

1. Возникновение счета;

2. Математика в Древней Руси;

3.Нумерация и счет на Руси.

Выдвинута гипотеза: если раскрыть секреты исторических древнерусских математических задач, то постижение современных теорий и формул станет интереснее, увлекательнее.

Становление Руси шло одновременно с развитием математических знаний. На стоянке (30 тыс. лет до н. э. в городе Владимир, Русь) обнаружены «предметы искусства, совмещенные азами применения математических знаний.

У славян, как и у всех других народов, первым учителем математики была сама жизнь, практика. По-видимому, все народы вначале обозначали числа зарубками на палочках, которые у русских назывались бирками. Такой способ записи долговых обязательств или налогов применялся малограмотными людьми разных стран.

Глава 1. Возникновение счета

Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течении сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом – собиранием её, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали своё существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки.

Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к активному её производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит.

Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия «много». Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало счисление Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество.

Развитие счёта пошло значительно быстрее, когда человек догадался обратиться к самому близкому ему, самому естественному счётному аппарату – к своим пальцам. Быть может, первым актом счёта по пальцам было оказание предмета, указательным пальцем; тут палец сыграл роль единицы. Участие пальцев в счёте помогло человеку переступить за число четыре, так как когда все пальцы на одной руке стали считаться равноценными единицами, это сразу позволило довести счёт до пяти. Дальнейшее развитие счёта потребовало усложнения счётного аппарата, и человек нашёл выход, привлекая к счёту сначала пальцы второй руки, а затем распространяя свой приём на пальцы ног: для племён, не носивших обуви, использование пальцев ног было вполне естественным. При этом такое расширение счётных этапов, очевидно, произошло в следствии возможности привести в однозначное соответствие пальцы рук и ног, что и отмечается у некоторых народов.

В описываемую эпоху хозяйственные расчёты людей ограничивались тем, что после распределения пищи и одежды, захваченных в результате стычки с врагом, уже не было потребности помнить числа, возникшие во время расчётов, а потому счёт и не нуждался в наименованиях для чисел, а производился главным образом путём соответствующих жестов.

Словесный счет начал развиваться, лишь когда ведущей формой производства стало сельское хозяйство. В ту пору постепенно возникла частная собственность, объектами которой служили поля, огороды, стада. Обладатели полей, домашних животных, будучи крепко связанными с ними, вынуждены были не только считать принадлежащие им объекты, но и запоминать их число, а это и толкнуло человека путь создания именованных чисел. Сначала запоминание проводилось весьма громоздким и неуклюжим способом: путем восстановления в памяти внешних признаков запоминаемых предметов. Например, обладатель стада волов запоминал количество принадлежащих ему животных по тем признакам, что один вол серый, другой – черный. Разумеется, такой способ запоминания не мог быть пригоден, когда число запоминаемых объектов было большим.

Следующей ступенью в развития наименования чисел надо признать появление описательных выражений совокупность нескольких единиц. Например, вместо наименования числа, выражающего два предмета, употреблялась фраза «столько, сколько у меня рук», наименование четыре передавалось фразой: «столько, сколько ног у животного». Итак, словесными выражениями нескольких предметов явилось преимущественно части тела человека и животного.

В дальнейшем эти описания выражения у многих народов заменились наименованием соответствующих слов, и таким образом эти наименования закрепились за числами. Так, число два стало выражаться словами, обозначающими «уши», «руки», «крылья», четыре – «нога страуса» (четырехпалая).

Пальцевой счет постепенно приводил к упорядочению счета, и человек стихийно приходил к упрощению словесного выражения чисел. Так, например, выражение, которое должно соответствовать числу 11 – «десять пальцев на обеих руках и один палец на одной ноге» - упрощалось в «палец на ноге»; для выражения числа 23 вместо слов «десять пальцев на обеих руках, десять пальцев на обеих ногах и три пальца на руке другого человека» говорилось просто: «три пальца другого человека».

Подобного рода сокращения в то же время приводили как бы к выделению единиц из высшего разряда. В самом деле, такие называния, как «рука» - для обозначения пяти, «две руки» - для обозначения десяти, «нога» - для обозначения пятнадцати «человек» - для обозначения двадцати, служили для обозначения единиц высшего разряда, чем пальца, а пальцы играли роль единиц низшего разряда.

В этом смысле выражение «один на другой руке», означающее «шесть» можно рассматривать как «один из второго пятка» или как «пять и один», т.е. «рука» - единица высшего разряда. Точно также наименование «два на ноге», означающее «двенадцать», указывало на то, что две единицы взяты из второго десятка; это можно было бы передать и такой фразой: «две руки и два пальца», где «две руки» играют роль единицы высшего порядка по отношению к пальцам.

Переход человека к пальцевому счету привел к созданию нескольких различных систем счисления.

Дальнейшее развитие систем счисления пошло по двум путям. Племена, не остановившиеся на счете по пальцам на одной руке, перешли к счету по пальцам второй руки и далее – по пальцам ног. При этом часть племен остановилась на счете пальцев только на руках и этим положило основу для десятичной системы счисления, а другая часть племен, вероятно большая, распространила счет на пальцы ног и тем самым создало предпосылки на основание системы с основанием 20.

Глава 2. Математика в Древней Руси

Предки русского народа – славяне – с незапамятных времён жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В Х века нашего летоисчисления у славян появилась письменность. С этого времени начинается «писаная» История Древней Руси.

У славян, как и у других народов, первым учителем математики была жизнь, практика. Постепенно рождались и накапливались навыки счёта, правила измерения: ведь без этого нельзя было ни торговать, ни даже обмениваться продуктами.

В первом тысячелетии у славян появилась денежная единица – рубль, название которой сохранилось до наших дней. Слово «рубль» происходит от глагола «рубить». Первые рубли, по всей вероятности, были просто кусочками металла, которые отрубали от полосы серебра или меди. Для того чтобы разрубить металлическую полосу на равные части, нужно было знать простейшие дроби: 1/ 2; 1/ 3; 1/ 4; уметь складывать и вычитать числа. При измерении полей славяне употребляли и более сложные дроби: 1/ 6; 1/ 8 и даже 1/ 32.

В раскопках славянских селений учёные находили изображение циркуля. Значит древним славянам были известны некоторые свойства окружности. Основу своего алфавита славяне вместе с христианской религией позаимствовали от средневековых греков – византийцев. Способ записи цифр буквами со специальными значками – «титлами» - они тоже взяли от греков.

С появлением письменности на Древней Руси стали появляться переводы греческих книг. Поначалу это были «священные» книги, но и в них нет-нет да и встречались обрывки замечательной математики древних греков. Знания славян по математике постоянно росли.

Известно, что в Англии в VII веке чудом учёности считался монах, который мог выполнить деление чисел; и долго считалось, что нет труднее четырёх действий арифметики над целыми числами. По-видимому, математические знания славян около 1000-го года были не ниже, чем у западных народов.

Однако несколько десятилетий спустя большая часть русских княжеств была захвачена ордами полудиких кочевников – монголов. Стон стоял над Русской землёй. Горели города, лилась кровь. Жизнь замерла; приостановилась и древнерусская образованность.

Почти триста лет длилось монгольское иго. За это время наука Западной Европы сделала большой шаг вперёд: народы Европы ознакомились с замечательной математикой арабов и индийцев. А в задавленной захватчиками и отрезанной от всего культурного мира России математика стала отставать от науки Западной Европы. Для того чтобы потом, после свержения монгольского ига, снова выйти в ряды мировой науки, ей понадобилось несколько столетий.

В XVI веке, при Иоанне Грозном, на Руси появляются первые рукописные учебники по математике, а немного позже - печатные книги о применении математики для разных практических нужд; таковы, например, «Книга сошного письма» и «Устав ратных, пушечных и иных дел, касающихся до воинской науки».

В 1134 году новгородский монах Кирик написал сочинение «…о том как узнать человеку числа всех лет». Это самый древний дошедший до нас письменный памятник славянской математики. В своей рукописи Кирик подробно вычисляет, сколько лет, месяцев, недель и дней прошло «от сотворения мира» до года, в котором он, Кирик, писал свой труд. Главная «священная» книга христиан – Библия – дала церковникам основание утверждать, что мир был сотворён Богом ровно за 5508 лет до начала нашего летосчисления. Кирик, по-видимому, где-то ошибся: число месяцев у него получилось больше, чем должно быть, но это, конечно, никому не повредило.

Глава 3. Нумерация и счет на Руси

Восточнославянские племена, древние предки русской, украинской и белоруской народностей начали формироваться около 2-3 т. лет до н.э. В VII и VIII вв. у славян появились первые города. Первыми большими городами Руси были Киев и Новгород.

В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло). В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).  Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.

Славянская кириллическая нумерация, представлена на рисунке 1.

Рисунок 1- Славянская кириллическая нумерация

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чиcел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали.

Глава 4. Славянская нумерация

Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления - арабские числа.

Интересный факт, что почти та же система использовалась и у греков. Именно этим объясняется то, что для буквы б не было цифрового значения. Хотя, ничего особенно удивительного здесь нет: кириллическая нумерация полностью скопирована с греческой. На рисунке 2 представлена славянская нумерация.

Рисунок 2 – Славянская нумерация

Заключение

В принципе, каждый, кто знал древнерусскую нумерацию и умел считать па абаке, мог научить этому и других. Но не каждый из тех, кто владел основами средневековой арифметики, мог взяться за составление сборника упражнений для обучения на абаке, подобного дополнительным статьям-задачам «Русской Правды». Среди людей, владевших арифметическими навыками, были специалисты, имевшие интерес к арифметике. Тем не менее нет оснований для вывода о том, что на Руси была особая категория средневековых профессионалов, которые только и занимались, что вычислительной деятельностью. По-видимому, основы арифметики преподавали те же учителя, которые обучали чтению и письму. Меры, используемые при вычислениях, применялись и для обучения грамоте.

Так постепенно, под влиянием потребностей экономического характера, человечество создавало свои методы счета и достигло, наконец, стройного метода, который в дальнейшем сознательного совершенствовался и упрощался, пока не превратился в метод, которым и пользуется современная математика.

Если развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия, то дальнейший рост экономических потребностей у людей вел их по пути все большего и большего расширения и углубления понятия о числе. Особенно значительные сдвиги в этом смысле произошли, когда возникли государства с более или менее сложным государственным аппаратом, потребовавшим учета имущества и создание налоговой системы, и когда товарообмен перешел в стадию развития торговли с применением денежной системы. С одной стороны, это повлекло за собой зарождение письменной нумерации, а с другой – стали развиваться счетные операции, т.е. появились действия над числами.

В ходе выполнения индивидуального проекта были рассмотрены следующие задачи:

1. Возникновение счета;

2. Математика в Древней Руси;

3.Нумерация и счет на Руси.

Список использованных источников

1. Депман И.Я. Мир чисел: Рассказы о математике / Рис. Ю. Киселева. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – Л.: Дет.лит., 2018. – 71 c.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3 томах. Том 1. С древнейших времен до начала нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. – М.: Издательство «Наука», 2019. – С. 252-254.
3. Ожегов, С.И., Шведова, Н.Ю. Толковый словарь русского языка: 80000 слов и фразеологических выражений / Российская академия наук. Институт русского языка им. В.В.Виноградова. – 4-е изд., дополненное. – М.: ООО «А ТЕМП», 2018. – 874с.
4. Энциклопедический словарь юного математика. / Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 2019. – 352с.
5. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика. / Глав. ред. М.Д. Аксёнова; метод. и отв. ред. В.А. Володин. – М.: Аванта+, 2018. – 688с.
6. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова: Под общ. ред. О.Г. Хинн; Худож. А.В. Кардашук, А.Е. Шабельник, А.О. Хоменко. – М.: ООО «Издательство АСТ-ЛТД», 2019. – 480с.