Построение сечений треугольной пирамиды.

Слайд 1

Слайд 2

Сечения многогранников используются; при решении, многих задач стереометрии . При этом стоит отметить, что, говоря о построениях в пространстве , обычно имеют в виду не столько реальные построения , сколько утверждении о существовании объектов. Например, фраза " проведем плоскость через течки А, В, С" означает ''фиксируем, что существует плоскость , проходящая через точки А, В, С". Аналогичный смысл имеет " проведение" прямых в пространстве . При таком подходе построение фигуры в пространстве (сечения, в частности ) фактически означает доказательство ее существования , основанное на аксиомах. Введение

Слайд 3

Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R. 1

Слайд 4

Сначала надо попробовать отыскать такие точки, которые принадлежат одной плоскости. У нас это точки P и Q – они принадлежат грани ASC, а также пара P и R – они принадлежат грани ABC. Их можно сразу соединять:

Слайд 5

Теперь, чтобы понять, как плоскость рассечет грань SBC, нужно заполучить точку в этой грани, или в плоскости, которой принадлежит грань. Чтобы точка принадлежала плоскости нужно, чтобы она принадлежала прямой этой плоскости. П рямая PR лежит в плоскости основания и принадлежит искомому сечению. Прямая CB тоже лежит в плоскости основания. Также она лежит в плоскости грани SBC, где нам необходима точка, чтобы построить сечение. Н айдем точку, где прямые PR и CB пересекутся. Такая точка принадлежит сечению, а также плоскостям боковой (SBC) и нижней (ABC) граней пирамиды.

Слайд 6

Так как построенная точка T и точка Q лежат в одной плоскости, то можем соединить их прямой:

Слайд 7

Эта прямая пересечет ребро SB в точке F – это и есть еще одна нужная нам точка для построения сечения. Соединяем R и F – они лежат в одной плоскости (SAB). Теперь смотрим: можно ли пройти по линиям сечения, принадлежащим граням пирамиды, от точки P и снова попасть в нее непрерывным маршрутом? Если да, то построение окончено. У нас такой маршрут замкнутый: P-Q-F-R-P. Это и есть сечение.

Слайд 8

Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R. 2

Слайд 9

Видим, что точки R и Q принадлежат одной грани пирамиды – SCB – и соединяем их.

Слайд 10

Можно, конечно, было бы сразу и точки P и Q соединить – они тоже лежат в одной плоскости – плоскости грани SAB. Но это успеется, пока что нам нужна точка в плоскости грани SAC, да такая, чтобы принадлежала и сечению. Поэтому она должна принадлежать прямой искомого сечения, и прямой, принадлежащей плоскости SAB, то есть быть пересечением таких прямых. Продлим SC до пересечения с прямой QR -и получим такую точку.

Слайд 11

Точка X и точка P принадлежат одной плоскости, можем их соединить и получить точку пересечения данной прямой с ребром AC:

Слайд 12

Соединяем E с R, P с Q, и получаем сечение.

Слайд 13

Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R . 3

Слайд 14

Теперь, уже имея опыт, первый шаг выполняем без проблем:

Слайд 15

Понимаем, что нет точки в задней грани. Вернее, одна есть – P – но второй не хватает. Аналогично, есть одна точка в нижней грани – в плоскости основания, а второй точки нет. Определим такую точку: пересечем AC и PQ. Обе прямые лежат в плоскости SAC, PQ принадлежит плоскости сечения, поэтому их пересечение будет принадлежать обеим плоскостям:

Слайд 16

Теперь имеем две точки в плоскости основания – U и R, и можем смело соединять их:

Слайд 17

Прямая UR пересечет ребро AB в точке Z. Теперь маршрут Q-R-Z-P-Q замкнут, можем достраивать сечение:

Слайд 18

Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R, причем точка P принадлежит. грани ASC. 4

Слайд 19

Имеем две точки в одной плоскости – Q и R, и можем их сразу же соединять. AS так же, как и QR, принадлежит плоскости задней грани, поэтому продолжение AS пересечет QR в точке L, также принадлежащей плоскости задней грани.

Слайд 20

Но, так как AS принадлежит также и плоскости боковой грани SAC, то точка L лежит с точкой P в одной плоскости и их можно соединять:

Слайд 21

LP пересечет ребро AC в точке M, а ребро SC – в точке N, и можно восстанавливать четырехугольник сечения:

Слайд 22

1. https ://5terka.com/node/2680 2. https ://clck.ru/TndWc 3. https ://clck.ru/TndYa 4. https ://clck.ru/TndbP 5. https ://clck.ru/Tndg4 6. https ://clck.ru/TndmP Список литературы:

Слайд 23

Спасибо за внимание!