XXII городская научно-практическая конференция учащихся

«Юные исследователи – будущее Братска» в рамках городской

программы «Интеллект и творчество» под эгидой российской

научно-социальной программы для молодёжи «Шаг в будущее»

Арифметический треугольник Паскаля

и его применение в решении комбинаторных задач

Братск, Иркутская область

2020 год

СОДЕРЖАНИЕ

Введение        3

Глава 1. Арифметический треугольник Паскаля        4

1.1 Историческая справка        4

1.2 Построение треугольника Паскаля        4

1.3 Свойства треугольника Паскаля        5

Глава 2. Решение комбинаторных задач с применением треугольника Паскаля        6

Глава 3. Моделирование пирамиды        7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        8

Список используемой литературы        9

Приложение А. Арифметические треугольные таблицы разных авторов        I

Приложение Б. Правила построения треугольника Паскаля        II

Приложение В. Свойства треугольника Паскаля        IV

Приложение Г. Типы задач, решаемые с помощью треугольника Паскаля        VI

Приложение Д. Модель пирамиды        IX

Приложение Е. Слайды презентации        X

Введение

В курсе математики 6 класса, на математических олимпиадах и конкурсах встречаются комбинаторные задачи. Основной вопрос таких задач - сколько различных комбинаций можно составить из заданного множества объектов. На мой взгляд, такие задания весьма интересны и развивают логическое мышление.

В поисках решения комбинаторных задач я познакомилась со способом их решения с помощью треугольной арифметической таблицы Паскаля или иначе треугольника Паскаля. Меня поразила быстрота и простота решений этого класса задач данным методом.

Предмет изучения - арифметический треугольник Паскаля.

Объектная область исследования – математика.

Цель исследования - выявить математические закономерности в треугольнике Паскаля и возможность его применения в комбинаторике.

Для достижения поставленной цели я поставила перед собой следующие задачи:

• дать определение арифметическому треугольнику Паскаля;
• сформулировать свойства треугольника Паскаля;
• рассмотреть примеры эффективного применения треугольника Паскаля в решении комбинаторных задач курса математики 6 класса;
• создать модель пирамиды, демонстрирующей некоторые свойства треугольника Паскаля, которая может быть использована в качестве демонстрационного материала на уроках математики.

Я сформулировала следующую гипотезу - треугольник Паскаля, являясь простой конфигурацией чисел, имеет множество интересных фактов и математических закономерностей.

Методы исследования:

- изучение литературы по данной проблематике;

- анализ и систематизация собранных данных;

- решение комбинаторных задач.

Актуальность темы заключается в приобретении навыков решения комбинаторных задач с применением треугольника Паскаля в рамках изучения школьного курса математики и при решении олимпиадных задач.

Глава 1. Арифметический треугольник Паскаля

1.1 Историческая справка

Блез Паскаль (годы жизни 1623 - 1662 гг.) - французский математик, физик, философ, один из основателей математического анализа, теории вероятности и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники.

В возрасте 27 лет Блез Паскаль вёл разгульную жизнь и увлекался азартными играми. В самом известном казино Парижа того времени Пале-Рояль он познакомился с шевалье де Мере. Этот человек отличался математическими способностями. Он сообщил Паскалю, что при бросании кости четыре раза подряд вероятность выпадения шестерки составляет более 50 %. Но эта система работала, только если бросать одну кость.

Тогда Паскаль решил рассчитать вероятность выпадения шестерки для двух игральных костей. Он решил эту задачу с помощью арифметического треугольника, который был известен задолго до этих событий, но получил имя Паскаля.

Первое упоминание треугольной последовательности чисел встречается в трудах индийского математика X века Халаюдхи в комментариях к трудам другого математика Пингалы. Треугольник исследуется Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма (см. Приложение А, рис. А.1). В Китае считается, что треугольник изобрел китайский математик Ян Хуэй, поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя (см. Приложение А, рис. А.2). И только в 1653 году [1] вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике» (см. Приложение А, рис. А.3).

1.2 Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля - это бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке [2] (см. Приложение Б, рис. Б.1). Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Первая диагональ треугольника Паскаля - это натуральные числа, идущие по порядку, и номера строк. Нумерация строк в треугольнике Паскаля начинается с нуля [2].

Вторая диагональ - это «треугольные» числа. Они показывают, сколько касающихся шаров можно расположить в виде треугольника [2] (Приложение Б, рис. Б.2).

Третья диагональ треугольника - это «пирамидальные» или тетраэдрические числа. Они показывают, сколько касающихся шаров можно расположить в виде треугольной пирамиды (тетраэдра) [2, 3] (Приложение Б, рис. Б.3).

Четвёртая диагональ треугольника Паскаля - это фигурные числа в четырехмерном измерении, поэтому геометрические фигуры, сложенные из такого количества касающихся шаров, можно представить только в виртуальном мире.

1.3 Свойства треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля обладает множеством свойств. При жизни сам Паскаль обнаружил далеко не все свойства арифметической треугольной таблицы, названной его именем. Вот только некоторые из них [3, 4]:

1. Сумма чисел каждого ряда в треугольнике Паскаля равна степени двойки, с показателем степени равной номеру строки (см. Приложение В, рис. В.1).

2. Цифры, расположенные в каждой строке треугольника Паскаля, образуют последовательные значения степени числа 11 (см. Приложение В, рис. В.2).

3. Сумма чисел любой диагонали равна числу, расположенному снизу и слева от последнего слагаемого (см. Приложение В, рис. В.3).

4. В каждой строке треугольника Паскаля сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах (см. Приложение В, рис. В.4).

5. Если чётные числа в треугольнике Паскаля закрасить одним цветом, а нечётные другим, получиться фрактал известный под названием треугольник Серпинского (см. Приложение В, рис. В.5). Фрактал – самоподобное множество.

В своей исследовательской работе я привожу далеко не все свойства треугольника Паскаля. Он обладает свойствами, применимыми в курсе школьной алгебры, но поскольку алгебру я еще не изучаю, пока оставляю эти свойства без внимания.

Глава 2. Решение комбинаторных задач с применением треугольника Паскаля

Комбинаторика – раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданного набора объектов.

Выбором объектов и расположением их в определенном порядке приходится заниматься во многих областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому – агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях и т.д. Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, кости.

В Приложении Г приведены различные типы задач, которые можно решить с помощью треугольника Паскаля [5].

Глава 3. Моделирование пирамиды

Для демонстрации арифметического треугольника Паскаля и некоторых из его свойств я создала макет трёхгранной пирамиды (см. Приложение Д). Пирамида состоит из 120 трёхгранных призм. Это число расположено в третьей диагонали и десятой строке треугольника Паскаля. Напомню, что третья диагональ – это пирамидальные числа, показывающие, сколько шаров, а в моём случае призм, можно сложить в виде пирамиды.

Первая грань макета пирамиды– треугольник Паскаля.

Вторая грань – треугольник Серпинского.

Третья грань – треугольник Лейбница.

Гармонический треугольник Лейбница - бесконечная таблица дробей вида 1/n, где n – натуральное число. Треугольник обладает свойствами, аналогичными свойствам треугольника Паскаля.

Этот треугольник я рассматриваю как возможную тему для моих будущих исследований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализируя результаты своего исследования, я пришла к выводу, что треугольник Паскаля, несмотря на кажущуюся простоту, обладает множеством свойств, знание которых будет полезно при изучении школьного курса математики. Треугольник Паскаля очень прост в построении, записать его сможет даже ученик начальных классов, но с его помощью не зная таблицы умножения можно, например, вычислить значения степеней чисел «2» и «11», не зная формул теории вероятности и комбинаторики решать олимпиадные и логические задачи.

Гипотеза, сформулированная мною в начале исследования, подтверждена.

Работа по данной теме оказалась очень полезной и интересной. Материалы данной работы и модель пирамиды (Приложение Д) могут быть использованы в качестве дополнительного материала на уроках математики и спецкурсах по решению нестандартных математических задач.

В следующем году я планирую расширить  работу над этой темой, а именно изучить возможность применения треугольника Паскаля для решения задач в области физики, алгебры, геометрии.

Список используемой литературы

1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав.ред. М.Д. Аксенова; метод. И отв.ред. В. Володин. – М.: Аванта+, 2004. – 688 с.: ил.

2. SiteKid.ru. Большая энциклопедия для детей и взрослых. Треугольник Паскаля. URL: http://sitekid.ru/matematika/treugolnik_paskalya.html.

3. Фоксфорд. Учебник. Свойства треугольника Паскаля.

URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/treugolnik-paskalya.

4. ОриентМикс. Вариации на тему «Треугольник Паскаля».

5. Соловьева О. А. Комбинаторные приложения треугольника Паскаля // Молодой ученый. — 2016. — №11. — С. 75-79. URL https://moluch.ru/archive/115/30958.

Приложение Г. Типы задач, решаемые с помощью треугольника Паскаля

ЗАДАЧА №1 (комбинаторная):

Пусть подбросили 3 монеты. Каковы исходы бросания монет?

ЗАДАЧА №2 (комбинаторная):

Сколькими различными способами можно составить букет из 3-х различных цветов, если имеется 5 наименований цветов?

ЗАДАЧА №3 (олимпиадная):

В город можно попасть по единственной дороге. На каждом перекрестке дорога расходится на две, как показано на рисунке ниже. В город вошли 128 (27) человек. На каждом перекрестке они делятся пополам. Сколько человек окажется на каждом перекрёстке, когда они уже не смогут разделиться?

РЕШЕНИЕ

ОТВЕТ: на перекрёстках окажется 1; 7; 21; 35; 35; 21; 7; 1 человек.

Ответ находится в седьмой строке треугольника Паскаля.

Приложение Д. Модель пирамиды

Рис. Д.1 – Первая грань пирамиды – треугольник Паскаля

Рис. Д.2 – Вторая грань пирамиды – треугольник Серпинского

Рис. Д.1 – Третья грань пирамиды – треугольник Лейбница