Бином Ньютона

Слайд 1

Слайд 2

Содержание 1.Введение 2. Биномиальные коэффициенты 2.1 Сочетания и их свойства 2.2 Понятие биномиального коэффициента 3. Бином Ньютона 3.1 Краткая биография Ньютона 3.2 Выведение и доказательство формулы 3.3 Треугольник Паскаля 4. Практическая часть 4.1 Примеры решения задач с использованием бинома Ньютона 4.2 Составление программ на Python 5. Заключение 6. Список используемых источников и литературы

Слайд 3

Введение В курсе алгебры 7 класса мы изучали формулы сокращенного умножения и говорили о квадрате и кубе суммы (разности). Эти формулы являются частными случаями бинома Ньютона, а коэффициенты перед слагаемыми называют биномиальными коэффициентами. Основные задачи: Изучить бином Ньютона, закономерность биномиальных коэффициентов, а также треугольник Паскаля. Разобраться в доказательстве и выведении формул. Применить на практике полученные знания.

Слайд 4

Сочетания и их свойства В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данного множества, содержащего n различных элементов. Так выглядит формула для определения числа сочетаний (без повторений!):

Слайд 5

Сочетания и их свойства Сочетанием с повторениями называются наборы, в которых каждый элемент может участвовать несколько раз . С войства сочетаний: 1. ( свойство симметрии). 2. (свойство треугольника Паскаля). 3.

Слайд 6

Понятие биномиального коэффициента Б иномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона (1+ x ) n по степеням x , где n -натуральное число. Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных действительных чисел a.

Слайд 7

Бином Ньютона. Краткая биография Ньютона Исаак Ньютон(1642-1727) – английский математик, астроном, физик, механик, заложивший основы классической механики. Он объяснил движение небесных тел – планет вокруг Солнца и Луны вокруг Земли. Самым известным его открытием был закон всемирного тяготения. В 1687 г. он опубликовал свой грандиозный труд «Математические начала натуральной философии» («Начала»).

Слайд 8

Доказательство формулы С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид: ( a + b ) n = C . a n + C . a n −1 ⋅ b + C . a n −2 ⋅ b 2 +...+ C . a ⋅ b n −1 + C ⋅ b n , где имеем, что C - биномиальные коэффициенты, где есть n по k, k=0, 1, 2,…, а "!" является знаком факториала. Для доказательства необходимо применить метод математической индукции .

Слайд 9

Доказательство формулы Для этого нужно выполнить несколько пунктов : 1. Проверка справедливости разложения при n=3. Имеем , что : ( a+b) 3 =(a+b)(a+b)(a+b)=(a 2 +ab+ba+b 2 )(a+b)=(a 2 +2ab+b 2 )(a+b)=a 3 +2a 2 b+ab 2 + a 2 b+2ab 2 +b3=a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 =C a 3 +C a 2 b+C ab 2 +C b 3 2. Предположить, что равенство верно для n -1, то есть, что справедливо равенство: (a+b) n−1 =C ⋅a n−1 +C ⋅a n−2 ⋅b+C ⋅a n−3 ⋅b 2 +...+C ⋅a⋅b n−2 +C ⋅b n−1 3. Доказать, что верно равенство ( a + b ) n = C ⋅ a n + C ⋅ a n −1 ⋅ b + C ⋅ a n −2 ⋅ b 2 +...+ C ⋅ a ⋅ b n −1 + C ⋅ b n , основываясь на предположении второго пункта.

Слайд 10

Треугольник Паскаля Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму . Назван в честь Блеза Паскаля(1623-1662г.) .

Слайд 11

Примеры задач с использованием бинома Ньютона. Задача 1 Возведите в степень: (u - v) 5 . Решение : У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля: 1 5 10 10 5 1 (u - v) 5 = (u + (- v)) 5 = 1(u) 5 + 5(u) 4 (-v) 1 + 10(u) 3 (-v) 2 + 10(u) 2 (-v) 3 + 5(u)(-v) 4 + 1(-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .

Слайд 12

Задача 2 Найдите 5-й член в выражении (2x - 5y) 6 . Решение : Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет Найдите 8-й член в выражении (3x - 2) 10 . Решение : Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет (k + 1) член выражения (a + b) n есть C a n - k b k

Слайд 13

Задача 3 Решить уравнение : Решение : Поскольку , то получим квадратное уравнение. Учитывая, что , получаем решение n =4.

Слайд 14

З адача 4 Доказать, что значение выражения 5 n +28 n -1 , где n – натуральное число, делится на 16 без остатка . Решение : представим первое слагаемое выражение как 5 n =(4+1) n и воспользуемся формулой бинома Ньютона: 5 n +28 n -1= (4+1) n +28 n -1= C 4 n + C 4 n -1 1+…+ C 4 2 1 n -2 + C 4 1 n -1 + C 1 n +28 n -1=4 n + C 4 n -1 +…+ C 4 2 +4 n +1+28 n -1=4 n + C 4 n -1 +…+ C 4 2 +32 n =16(4 n -2 + C 4 n -3 +…+ C +2 n )

Слайд 15

Создание программ на Python Сочетание чисел Треугольник Паскаля Бином Ньютона

Слайд 16

Список используемых источников и литературы https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник_Паскаля https://ru.wikipedia.org/wiki/Сочетание https://ru.wikipedia.org/wiki/Бином_Ньютона https://ief-usfeu.ru/otkrytie-i-chem-proslavilsya-isaak-nyuton-kratko-zhizn-i-otkrytiya-isaaka/ http://www.cleverstudents.ru/expressions/binomial_theorem.html https://cartalana.org/050book-168.php http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/veroiatnost-i-kombinatorika-novoselov-o-v-skiba-l-p/10-svoistva-sochetanii https://fb.ru/article/340690/treugolnik-paskalya-svoystva-treugolnika-paskalya https:// fb.ru/article/340690/treugolnik-paskalya-svoystva-treugolnika-paskalya Прасолов В.В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. — М.:МЦНМО, 2007 Спивак А.В. Арифметика. – М.: Бюро Квантум, 2007