Индивидуальный проект "Решение тригонометрических уравнений"(брошюра)

Выпускнику

Система подготовки к ЕГЭ – 2023

                                    ЗАДАНИЕ 5

ЗАДАНИЕ 12

Решение тригонометрических уравнений

Ученик: Уразалинов Данияр Жанатович

              Класс: 10 А

2023

СОДЕРЖАНИЕ

Тема1.  Простейшие тригонометрические уравнения

Цель:

• повторить основные понятия и методы решения простейших тригонометрических уравнений;
• закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Уравнения вида sinx = a , cosx = а ,  tgx = a ,  сtgx = a , где x – переменная, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Пример 1.1.  

Решите уравнение: .

1. По формуле получаем:

;

  .

Ответ: .

Пример 1.2.  

Решите уравнение .

1. ;

    ;

4. ;

Ответ: ;

Примечание: для решения простейших уравнений удобно пользоваться тригонометрической окружностью, в этом случае пользоваться формулами не придётся. Решим уравнение   с помощью окружности (рис.1):

1. Проведём прямую ;
2. Отметим точки пересечения прямой с окружностью и определим их значения;
3. Запишем значения, соответствующие этим точкам:;

Ответ:, .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

Тема 2. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

Цель:

• повторить основные понятия и методы решения уравнений;
• закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Разложить на множители выражение — это значит представить его в виде произведения нескольких множителей. При решении тригонометрических уравнений этим способом мы преобразуем сумму или разность тригонометрических функций в произведение с помощью всех известных способов разложения на множители (вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических формул).

Пример 2.1.  

Решите уравнение:

1. Вынесем sinза скобки, получим: sin (sin -1;
2. Решим совокупность простейших уравнений

sin=0;                  sin-1;

х = ;            sin

                                     х =,

Ответ: ;  ,

Пример 2.2.  

Решите уравнение:.

1. Вынесем  за скобки, получим: -4;
2. Решим совокупность простейших уравнений

 =0;                        -4;

;

                                            х=,

Ответ: ,

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

Тема 3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Цель:

• повторить основные понятия и методы решения уравнений;
• закрепить навыки решения уравнений.

Уравнение вида  или называется тригонометрическим уравнением, сводящимся к квадратным.

Для решения уравнений данного вида следует ввести новую переменную или . В результате приходим к квадратному уравнению bt+c=0. Решаем полученное уравнение относительно переменной t, затем подставляем полученные значения в выражение, которое было обозначено за t.

Если в уравнении присутствуют различные тригонометрические функции, например:

, то для его решения можно представить  как , сведя уравнение к виду: .

Пример 3.1.  

Решите уравнение: .

1. Сведём к одной тригонометрической функции, заменив на .

2(;

2;

2;

2. Введём новую переменную:.

      ;

3. Решим квадратное уравнение:

;

корень не удовлетворяет условию.

4. Обратная замена:

5. Решаем простейшее уравнение с помощью тригонометрической окружности (рис.2).

Ответ: ;

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

Тема 4. Однородные тригонометрические уравнения.

Цель:

• повторить основные понятия и методы решения уравнений;
• закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

            Уравнение вида  называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Уравнение вида  называют однородным уравнением второй степени.

Итак, дано уравнение  ,

где

Разделив обе части уравнения на , получим:

В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:

Рассмотрим теперь тригонометрическое уравнение второй степени:

Разделим обе части уравнения на :

Получившееся уравнение решается путём введения новой переменной  а затем сводится к простейшему.

Если коэффициент a равен нулю, уравнение принимает вид:

.

Данное уравнение решается методом разложения на множители:

или .

Получились два уравнения, одно из которых простейшее, а другое является однородным первой степени и которое сводится к простейшему.

Примечание: делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение не обращается в ноль. Синус и косинус одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю, значит деление на  или  не приведёт к потере корней.

Пример 4.1.

Решите уравнение .

1. Данное уравнение относится к однородным первой степени. Для его решения поделим обе части на .

;

2. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

Ответ: .

Пример 4.2.

Решите уравнение

 =0.

1. Уравнение относится к однородным второй степени. Поделим обе части на

2. Выполним замену переменной:
3. Решаем квадратное уравнение:

4. Обратная замена:
5. Решаем простейшие уравнения.

1);      2)

            Ответ:,

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

Тема 5. Решение тригонометрических уравнений с помощью различных формул преобразования тригонометрических выражений.

Цель:

• повторить основные понятия и методы решения уравнений;
• закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

При решении тригонометрических уравнений применяются следующие формулы тригонометрических преобразований:

Данные формулы позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Но нельзя забывать, что правые части этих формул не определены при . Поэтому, если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, нужно выполнить проверку.

Пример 5.1.

Решите уравнение:

1. Для решения сведём все части уравнения к одному аргументу. Для этого воспользуемся формулой двойного угла.

;

;

2. Разложим уравнение на множители. Для этого вынесем общий множитель  за скобки.

;

или;

3. Решим совокупность простейших уравнений.

;              ;

;          ;

Ответ: , .

Пример 5.2.

Решите уравнение: .

1. Сведём все части уравнения к одной тригонометрической функции. Для этого воспользуемся формулами приведения.

;

;

2. Воспользуемся формулой преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

;

;

3. =0       или   ;

Ответ: ,     -.        

Пример 5.3.

Решите уравнение: .

1. Поделим обе части уравнения на вспомогательный аргумент 2;

;

2. и  соответствуют табличному значению

;

3. По формуле синуса суммы получаем:

;

4. Решаем простейшее уравнение:

;

.

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

Тема 6. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью вспомогательного аргумента.

Цель:

• повторить основные понятия и методы решения уравнений;
• закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

1. Для решения тригонометрических уравнений вида , где  (относительно переменной x) используется метод  введения вспомогательного аргумента:

1. Найти коэффициент (вспомогательный аргумент);

Разделить обе части уравнения на найденный коэффициент.(вспомогательный аргумент).

Получаем:

При этом коэффициенты перед синусом и косинусом обладают следующими свойствами:

, ;

2. Раскладываем уравнение по формулам синуса или косинуса суммы и разности аргументов.

То есть мы можем обозначить  за , а  за , где  – вспомогательный угол.Тогда уравнение приобретает вид:

По формуле синуса суммы можно получить уравнение вида:

3. Решаем простейшее уравнение

Где  или .

Если

Пример 6.1.

Решить уравнение 3 cosx+ 5 sinx=4.

1. Делим обе части уравнения на

2. Пусть , а , тогда

где

Ответ:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

Тема 7. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью универсальной подстановки.

Цель:

• повторить основные понятия и методы решения уравнений;
• закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение.

Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью универсальной подстановки - уравнения, при решении которых используется подстановка:

Данные формулы позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Но нельзя забывать, что правые части этих формул не определены при . Поэтому, если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, нужно выполнить проверку.

Пример 7.1.

Решить уравнение sin 2x + tgx =2.

1. Используя универсальную обстановку:

2. Пусть , тогда:

3. Умножим обе части уравнения на

, тогда:

4. Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Переходим к совокупности двух простейших уравнений:

или        

Так как дискриминант во втором уравнении меньше нуля, то уравнение не имеет корней. Значит, уравнение  имеет только один корень .

5. Выполняем обратную замену, получаем: tg x= 1.
6. Решаем простейшее уравнение с помощью тригонометрической окружности (рис.3)

Рис.3

x=

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало tg x.  Значит, корень проверять не нужно.

Ответ:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

Тема 8. Тригонометрические уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Цель:

• повторить основные понятия и методы решения уравнений;
• закрепить навыки решения уравнений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Определение. 

             Тригонометрические уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции- уравнения, содержащие функции:

 ,

Для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, необходимо знать:

1. Уравнения, обе части которых представляют одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов.

2. Уравнения, обе части которых представляют разноимённые обратные тригонометрические функции (использование тождеств).

Примечание: при решении уравнений видов, обозначенных в таблице номерами 1-4, их корнем может быть число, для которого   и  .

Пример 8.1.

Решить уравнение

 .

1. Преобразуем уравнение: ;

1. По определению арктангенса: )=;

);

;

;

2. Решаем квадратное уравнение:

;

; .

Ответ: 4; -1.

Пример 8.2.

Решить уравнение

Решим равносильную систему:

;

Получаем:

;

Ответ: -0,5.

Пример 8.3.

Решить уравнение .

1. Решим равносильное уравнение:

;

2. Получаем:

;  

3. При выражение меньше нуля, следовательно этот корень посторонний.

Ответ: 1.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

Тема 9. Задание № 5 ЕГЭ.

Цель:

• закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.

Пример 9.1.

1. Найдите корни уравнения:  В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Последовательно получаем:

Значениям  соответствуют положительные корни.

Если  то  и 

Если  то  и 

Значениям  соответствуют меньшие значения корней.

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число 

Ответ: −4.

Пример 9.2.

Решите уравнение  В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Последовательно получаем:

Значению  соответствует  Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.

Ответ: −1.

Пример 9.1.

Решите уравнение  В ответе напишите наименьший положительный  корень.

Последовательно получаем:

Значениям  соответствуют отрицательные корни.

Если  то  и 

Если  то  и 

Значениям  соответствуют большие положительные корни.

Наименьшим положительным решением является 0,5.

Ответ: 0,5.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

Тема 10. Задание № 12 ЕГЭ.

Цель:

• закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.

Пример 10.1.

1. Дано уравнение .

а) Решите уравнение;

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а) Используем формулу приведения:

;

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

;

Вынесем общий множитель:

;

или ;

;

;

б) Существует несколько способов отбора корней. Применим графический способ отбора корней на координатной прямой (рис.4)

1) Отметим на прямой отрезок ;

2) Отметим точки ,, ;

3) Отсчитываем от этих точек соответственно до тех пор, пока не попадём в отрезок .

4) Получаем точки .

Рис.4

Пример 10.1.

Решите уравнение .

1. Определим область допустимых значений:

.

2. Покажем ОДЗ

на тригонометрической окружности (рис.4).

3. Решаем уравнение:

;

 или

4. С учётом ОДЗ получаем:

 (рис.5)

     Ответ: .

-

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

ДЛЯ ЗАМЕТОК