Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 16 г. Бирюсинска

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по математике

«Извлечение квадратного корня»

Автор проекта: Немкина Арина,

ученица 11 класса

ФИО Руководитель проекта:

Григорьева Надежда Владимировна, учитель математики и информатики

г. Бирюсинск, 2022 г.

ПАСПОРТ ПРОЕКТА

Проблема: как на ЕГЭ по профильной математике извлечь квадратный корень, если не предоставляется таблица квадратов?

Тема: извлечение квадратного корня.

Цель: изучить методы извлечения квадратного корня без калькулятора и таблицы квадратов и выбрать самые лёгкие варианты для практического применения.

Задачи:

1. Найти методы извлечения квадратного корня;
2. Изучить и оценить степень сложности каждого метода;
3. Отобрать самые практичные методы;
4. Показать применение полученных знаний.

Гипотеза: возможно ли извлечь квадратный корень, не используя калькулятор и таблицу квадратов?

Объект исследования: квадратный корень.

Предмет исследования: методы извлечения квадратного корня.

Актуальность: хорошо сдать экзамен ЕГЭ по профильной математике.

Методы:

1. Изучение литературы и других источников информации;
2. Анализ и обобщение информации.

Продукт проектной деятельности: пособие с описанием методов.

Содержание

Введение        4

Основная часть        5

1.        Что такое квадратный корень?        5

2.        Способы извлечения квадратного корня        5

2.1.        Разложение на простые множители        5

2.2.        Процесс усреднения        5

2.3.        При помощи деления в столбик        6

2.4.        Метод Ньютона.        7

2.5.        Геометрический метод.        8

2.6.        Арифметический метод.        9

2.7.        Метод вычисления квадратного числа на 25.        10

Заключение        11

Литература и сайты интернета        12

Введение

Данная работа посвящена извлечению квадратного корня. На экзамене по профильной математике не предоставлена таблица квадратов и это усложняет работу. Достаточно сложно вычислить число из его квадратного корня, особенно если оно большое. На его вычисление потребуется время, которое драгоценно на экзамене, поэтому нужно найти решение этой проблемы. Для меня лично работа актуальна тем, что я хочу на ЕГЭ по профильной математике сделать всё и получить высокие баллы. Проект реализуется в следующих предметных рамках: математика.

Тип моего проекта- исследовательский.

По продолжительности- краткосрочный. Объектом проекта является квадратный корень.

Предметом- извлечение квадратного корня.

На основании вышеизложенного сформулирована следующая цель: изучить методы извлечения квадратного корня без калькулятора и таблицы квадратов и выбрать самые лёгкие варианты для практического применения.

Гипотеза исследования заключается в том, что возможно ли извлечь квадратный корень, не используя калькулятор и таблицу квадратов?

Проверка гипотезы предполагает выполнение следующих задач:

1.        Найти методы извлечения квадратного корня;

2.        Изучить и оценить степень сложности каждого метода;

3.        Отобрать самые практичные методы;

4.        Показать применение полученных знаний.

В исследовании были использованы следующие методы:

1.        Изучение литературы и других источников информации;

2.        Анализ и обобщение информации.

Практическая значимость данной работы состоит в том, что с помощью методов извлечения квадратного корня помогут на ЕГЭ по профильной математике.

Основная часть

1. Что такое квадратный корень?

Квадратным корнем из числа С называется такое число, квадрат которого равен С. Квадратный корень обозначается , т.е. получаем:

2. Способы извлечения квадратного корня

1. Разложение на простые множители

Чтобы извлечь квадратный корень, можно разложить число на простые множители, из которых легко извлечь квадратный корень. К примеру, возьмём число 7056 и разложим его на множители:

Возьмем следующее число 8649:

А что делать дальше с числом 961? Тогда мы можем записать, как 3, но это не натуральное число. Этот способ занимает много времени, и следует быть внимательным при подсчётах. И также он не дает уверенности, что в конце получится идеальный результат.

2. Процесс усреднения

Найдём квадратный корень из 98. Так как , а , значит ответ находится между этими числами. Сначала возьмем 9 и выполним следующие действия:

98÷9=10,9

У нас получилось . Для проверки возведем 9, 8995 в квадрат:

= 98

Теперь возьмем число 10 и проведем те же действия:

У нас также получилось число 9,8995.

Этот способ вычисления квадратного корня кажется легким, но можно запутаться что к чему прибавлять и что делить, но он всегда даст хороший результат.

3. При помощи деления в столбик

Этот метод аналогичный процессу деления в столбик. Нам надо провести две линии: вертикальную и к ней горизонтальную. Возьмем число 23716 и запишем его сверху, разделив на пары чисел справа налево (2 37 16).

Дальше подберем такое наибольшее число, квадрат которого меньше или равен первой паре чисел (или одному числу) слева. Само число напишем сверху справа, а квадрат числа вычитаем из первой пары чисел. На нашем примере первое число 2. , но 4>2, значит берем число 1. И под горизонтальной чертой напишем . После вычитания из первого числа квадрата числа 2-1=1 и переносим 37. Затем удваиваем число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением пропусков.

Далее надо найти такое наибольшее число на место прочерков (нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева. Если мы поставим вместо прочерков 6, то получим , но 156>137, значит нам подойдет число 5. От 137 отнимаем 125 и получаем 12, сносим 16. Удваиваем число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа 30 (). Находим такое наибольшее число на место прочерков справа (нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева. В нашем примере . При вычитании у нас получилось 0. 4 сносим в правый верхний угол. У нас получилось число 154.

Проверяем: .

Этот метод универсальный и применим ко всем числам, в том числе и дробным. Однако подбор чисел требует логики и внимательности и даёт точный результат.

4. Метод Ньютона.

Пусть -первое приближение числа . Число  — это значение квадратного корня из натурального числа, не превосходящего С. Далее находим число , оно будет приближение числа . Его находим по формуле:

 будет еще точным приближенным числом:

И можем вычислять до тех пор, пока на достигнете той точности, которая вам требуется.

Возьмём, к примеру число 630. Ближайшее число, из которого извлекается квадратный корень число 625, корень которого 25.

Указанный способ позволяет извлекать квадратный корень из любого числа с точность, которая требуется, даже если он не вычисляется ровно. Минусами этого метода служат большое вычисление, и также требуются знания таблицы квадратов, чтобы начать вычисление.

5. Геометрический метод.

Данный метод опирается на утверждение, что высота в прямоугольном треугольнике, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, вычисляется, как среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза высотой.

,

Алгоритм действий:

1. Построить окружность с центром О и r=x+1 и в ней построить диаметр АВ

2. На АВ отложить ВН =1. Провести к АВ перпендикуляр CD (где С- точка пересечения CD с окружностью). Соединить АС и СВ.

Этот метод достаточно простой, но в нём есть один недостаток: его невозможно использовать для вычисления больших чисел, так как х-это число, из которого нам надо найти корень. Если х=676, то придется чертить НВ длиной 1 см, а АН 676 см. На экзамене это не получится сделать.

6. Арифметический метод.

Если внимательно посмотреть, то квадраты чисел равны сумме нечетных чисел.

И так далее.

Чтобы найти целую часть квадратного корня, надо вычитать нечетные числа по порядку, пока остаток не станет меньше вычитаемого числа или равен нулю и посчитать сколько действий сделано. Их количество и будет равно числу.

Возьмем число 676.

И так вычитаем числа 7,9,11,13,15,17 и т.д. Последние два действия получились следующими:

Получилось 26 действий, значит корень из числа  равен 26.

Данный метод позволит узнать только целую часть квадратного корня, но не точнее. В тоже время этот способ легкий в вычислении и с ним справится любой ученик.

7. Метод вычисления квадратного числа на 25.

Любое число в квадрате, заканчивающееся на 25, можно вычислить таким способом:

, где S – произведение числа n на n+1

К примеру, возьмем число 4225:

Данный метод легкий на практике. Если 25 стоит после запятой, то корень числа можно вычислить. Однако этот метод применим только на числа, заканчивающиеся на 25.

Заключение

В ходе данного исследования и поиска материалов данные методы извлечения квадратного корня встречаются во многих источниках. Так выяснилась изученность этой темы, что помогло найти не один способ извлечения квадратного корня, а несколько. Все найденные способы были просмотрены и выбраны самые простые в применении на практике. Во время поиска встретился способ быстрого возведения числа в квадрат, оканчивающегося на 5. Обратного способа я не нашла в источниках и расписала его, как извлечение числа из квадратного корня. У всех способов разная степень сложности, так же они не входят в школьный курс по математике, но они доступны для понимания. Данные методы позволят быстро вычислить квадратный корень, когда под рукой нет калькулятора или таблицы квадрата, как, например, на ЕГЭ по профильной математике. Так же данным материалом могут воспользоваться те, кто заинтересуется этой темой и овладеть навыками вычисления квадратного корня без вычислительной техники. Теперь, зная методы вычисления квадратного корня, я могу быть уверенна в том, что на экзамене я справлюсь с этой задачей и мои одноклассники, которым я предоставлю пособие с подробным описанием данных методов.

Литература и сайты интернета

1. Универсальный справочник старшеклассника [Текст] : [русский язык, литература, английский язык, алгебра, геометрия, физика : для старшего школьного возраста] / [Агеносов В. В. и др.] ; [науч. ред. Рыжаков М. В.]. - Москва : ОЛМА Медиа Групп, 2010. - 797, [1] с.; 21 см + CD-ROM.; ISBN 978-5-373-01699-5
2. Математические кружки в 8-10 классах : Кн. для учителя / И. С. Петраков. - М. : Просвещение, 1987. - 223,[1] с. : ил.; 22 см.; ISBN (В пер.) (В пер.) : 60 к.
3. https://ru.wikihow.com/извлечь-квадратный-корень-без-калькулятора
4. https://webhamster.ru/mytetrashare/index/mtb0/1684
5. https://www.sites.google.com/site/yshanchikpro100/home/resenie-kvadratnogo-korna
6. http://spacemath.xyz/algoritm-izvlecheniya-kvadratnogo-kornya/