Проект по геометрии «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида»

Введение

Геометрия (от др.-греч. γῆ — Земля и μετρέω — «мерю») — раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения. Сейчас геометрия стала неотъемлемой частью нашей жизни.

Становление геометрии как математической науки произошло позднее и связано с именами греческих ученых Фалеса (ок. 625—547 гг. до н. э.), Пифагора (ок. 580—500 гг. до н. э.), Демокрита (ок. 460—370 гг. до н. э.), Евклида (III в. до н. э.) и др.

В развитии геометрии важную роль сыграла аксиома, которая в «Началах» Евклида называлась пятым постулатом.

В конце XVIII в. у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказать пятый постулат. Решение этого вопроса было найдено великим русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792—1856). Я решил узнать, в чем заключалось доказательство этого постулата и чем он отличается от Евклидовой аксиомы.

Итак, цель моего проекта: Сравнить геометрию Лобачевского и геометрию Евклида.

Объект моего исследования стали теоремы, аксиомы и чертежи.

Задача: изучить литературу и интернет ресурсы по данной теме, рассмотреть различие между геометрией Евклида и Лобачевского.

Методы исследования:

теоретические: метод сравнительно-исторического анализа литературы, восхождение от абстрактного к конкретному;

математические: статистические методы, метод визуализации данных, метод оценивания и сравнения.

Проблемы исследования: В чём заключаются различия двух геометрий?

Главная идея этой работы – найти сходство и различия двух геометрий.

1. ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвлений математики, получившим название «Евклидова геометрия». В школах всего мира, долгие столетия геометрия преподавалась по «Началам» Евклида.

На протяжении около двух тысячелетий этот труд остаётся основой систематического курса геометрии.

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами

Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα — «доказательство, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, выводимое в рамках рассматриваемой теории из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода.

Основные постулаты Евклида:
1.Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;

I постулат. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
2.Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;

II постулат.И чтобы каждую прямую можно было неограниченно продолжить.
3.Из любого центра можно описать окружность любого радиуса;

III постулат. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любого радиуса.
4.Все прямые углы равны;

IV постулат. И чтобы все прямые углы были равны.
5.Через точку не лежащую на данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну.

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов.

На базе этих постулатов шло успешное развитие геометрии, но в то время как другие постулаты считались совершенно очевидными, очевидность пятого постулата оспаривалась. Много веков усилия большого числа ученых были направлены на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму. Ученые думали, что пятый постулат можно доказать как теорему.

Именно геометрию Евклида мы изучаем до сих пор, но я решил пойти дальше и узнал о «другой» геометрии, которую открыл Н. И. Лобачевски

2. НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ

Николай Иванович Лобачевский-русский математик, создатель неевклидовой геометрии, деятель университетского образования и народного просвещения.

Лобачевскому было всего 34 года, когда он решил «многовековую» проблему V постулата из «Начал» Евклида и построил свою, неевклидову геометрию. Анализируя попытки доказать V постулат, Лобачевский сделал чрезвычайно смелый вывод о его недоказуемости. Раз V постулат недоказуем как теорема, то принципиально возможна другая геометрия, отличная от евклидовой,- неевклидова геометрия, отправной точкой которой является отрицание V постулата.

24 февраля 1856 года Лобачевского не стало. Какого-нибудь десятка лет не дожил он до всеобщего признания своих идей.

        «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?»

Евклидова аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Аксиома Лобачевского о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Вывод: геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства.

Мы провели сравнительный анализ геометрии Евклида и геометрии Лобачевского, и вот какие результаты мы получили:

Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.

Две геометрии – один мир.

                 4.ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХ ГЕОМЕТРИЙ В ЖИЗНИ

Сам Лобачевский применял неевклидову геометрию для вычисления определенных интегралов при нахождении длины, площади или объема фигуры в своей геометрии. Но применение новых знаний не ограничилось математикой.

Также геометрия Лобачевского используется в астрономии: при описании голографической Вселенной или черных дыр.

Интересно применение в игровой индустрии: игра «Жизнь» (модель зарождения жизни во «Вселенной») или HyperRogue (гибрид паззла и рогалика на гиперболической плоскости).

Применяется геометрия Лобачевского в живописи.

Пример неевклидового пространства в работах Эшера — гравюра «Относительность».

Деконструктивизм и теория нелинейной архитектуры подчиняются формулам геометрии Лобачевского. Творчество Фрэнка Гери тому доказательство. Его здания похожи друг на друга словно детали «конструктораиз титана»: футбольный стадион "Казань-арена",

музей в г.Сидней.

В реальном мире тоже можно легко найти модели гиперболических поверхностей. Не стоит далеко ходить , достаточно рассмотреть в качестве        

гиперболической поверхности седло для верховой езды.

В обычной спальне я провел небольшой эксперимент, чтобы понаблюдать,как в гиперболическом мире движутся различные предметы. Нам потребовалась кровать с ровной поверхностью, как на евклидовой плоскости. На нее мы поставили подвижный объект (см. рисунок ниже). Рядом с ним положил тяжелый предмет, так чтобы постель прогнулась. Теперь поверхность уже неявляется плоской, она искривилась. Из-за этой кривизны подвижный объект будет скользить к тяжелому предмету. Поверхность постели вокруг тяжелого предмета похожа на гиперболическую поверхность.

Гиперболические пространства (т.е. пространства, в которых действуют законы гиперболической геометрии) встречаются и в самой природе. Например: Геометрия Лобачевского проглядывается в структурах кораллов, в организации клеточных структур у растении, у некоторых цветков.

А вот профессор Университета Корнелла в Нью-Йорке Дайна Тайминя разрешила столетнюю проблему неевклидовой геометрии по визуализации гиперболических плоскостей. Свою первую модель гиперболической плоскости она связала крючком в 1997 году, чтобы использовать в студийном курсе неевклидовой геометрии.

Применение геометрии Лобачевского не ограничивается одной математикой, существуют и другие области ее применения. Благодаря зрительным искажениям, существует искусство (живопись, архитектура).

5.ВЫВОД РАБОТЫ

1.Геометрия Евклида работает на маленькой поверхности, а геометрия Лобачевского на развернутой плоскости с учетом кривизны поверхности.
2. Треугольники геометрии Евклида мы встречаем в учебниках, в науках, а треугольники Лобачевского мы можем увидеть в окружающем мире.
3.Геометрия Лобачевского (в том числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло). 
4.Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

6.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

        Данная исследовательская работа меня заинтересовала. В ходе работы я погрузился в историю развития математики, нашел и изучил много  сведений об учёных, развивавших математику. Мне пришлось провести анализ основных принципов построения геометрии Евклида и геометрии Лобачевского. С помощью анализа и сопоставления я нашел принципиальное отличие двух геометрий.  Чтобы лучше представить плоскость Лобачевского, я смоделировал ее с помощью подручных средств.  В ходе работы над проектом, я научился классифицировать сведения, выбирать главное. В реализации проекта важно всё: составления плана работы, поиска и отбор информации, освоение теории вопроса. В моей исследовательской работе я решил все поставленные задачи, значит цель, которую я ставил достигнута.

Содержащиеся в работе сведения, дают мне возможность для рассмотрения ее в дальнейшем, в плане практического применения. Исследование расширило мои знания и кругозор по геометрии, по истории развития геометрии, а также в корне изменило мое мнение относительно геометрии, изучаемой в школе. Самой большой трудностью  для меня стало само понимание геометрии Лобачевского, потому как это нарушало мои представления  о геометрии , полученные в школе.