Творческая работа
Пропорция.Обратная пропорциональная зависимость. Графики.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 презентация | 576.25 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Пропорция Равенство двух отношений называют пропорцией 20 : 4 0,5 : 0,1 5 5 = =
Если величины находятся в прямо пропорциональной зависимости, то отношения соответствующих им значений равны между собой. Пусть, например, величины Х и у связаны зависимостью у = 3х, тогда можно составить такую таблицу соответствующих значений этих величин : Х 2 3 5 8 10 у 6 9 15 24 30 Из этой таблицы получаем: отношение соответствующих значений Х и у равны между собой, например 6 : 2 = 9:3 или 15 : 5 = 30 : 10. Вот такие равенства двух отношений называются пропорциями.
Внимание! Когда говорят об отношении, не указывая, какое оно ( разностное или кратное), то имеют в виду кратное отношение. Слово «пропорция» означает «соразмерный, имеющий правильное соотношение частей». Пропорции можно читать по – разному, например,5 : 2 = 10 : 4 можно прочитать так: 5 так относится к 2, как 10 относится к 4», «5 во столько раз больше 2, во сколько раз 10 больше 4» В общем виде пропорцию можно записать так: a : b = c : d
Рассмотрим некоторые свойства пропорций. Пусть дана пропорция, например 6 : 3 = 8:4. Перемножим отдельно крайние и средние члены. Произведение крайних членов равно 6͘͘͘͘͘͘͘×4=24, произведение средних 3×8=24. Видим, что эти произведения равны. Таким образом, получили следующее основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних ее членов. Верно и обратное свойство: Если произведение двух чисел равно произведению двух других чисел, то эти числа образуют пропорцию.
Например, 12×10=4×30. Из этих четырех чисел можно составить пропорцию: 12:4=30:10 или 12:30=4:10. Можно было взять за крайние члены 4 и 30, а за средние 12 и 10, тогда получили бы такие пропорции: 4:12=10:30 и 4:10=12:30. Как видите, если мы имеем равенство двух произведений ab=cd , то из этих четырёх чисел можно составить несколько различных пропорций: a : c=d : b , b :с = d : a, c : a=b : d, d : a=b : c. Основное свойство пропорций позволяет находить неизвестный член пропорций. Пусть, например, неизвестен первый крайний член пропорции x :4=15:3. По основному свойству получим: 3× x=4×15 , или 3х=60, отсюда: х=60:3=20
Рассмотрим другой пример: 70:х=21:3. В этой пропорции неизвестен средний член. Но его нахождение производится точно также. По основному свойству пропорции получим: 7 0×3=х×21 , или 210= 21х, отсюда: х=210:21=10. Из этих примеров получаем такое правило: неизвестный крайний (средний) член пропорции равен произведению средних крайних членов, делённому на известный крайний (средний). Часто удобно пользоваться ещё одним свойством пропорций. Дана пропорция: 120:30=60:15. Уменьшив оба члена первого отношения в 10 раз, получим: 12:3=60:15. Проверим, является ли это равенство пропорцией. Для этого достаточно убедиться, что произведение крайних членов равно произведению средних. В данном случае имеем: 12͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘͘×15=3×60 , значит, получили пропорцию. Теперь увеличим члены первого отношения в 2 раза, получим такую пропорцию: 24:6=60:15. Следовательно, запишем следующее свойство пропорций: пропорция не нарушится, если одновременно увеличить или уменьшить члены одного или обоих отношений пропорции в одно и то же число раз.
Проверим знания… Задания.
Задание №1: Запишите в виде пропорций следующее предложения: а) 8 так относится к 16 , как 2 относится к 4 ; б) 72 во столько раз больше 12 , во сколько раз 54 больше 9 ; в) число 13 составляет такую часть от 65 , какую число 19 составляет от 95 . Задание №2: Из чисел, входящих в равенство, составьте несколько пропорций: а) 2×25=5×10; б) 3×24=8×9; в) 3/4×1/5=5/12×9/25 .
Задание №3 (задача): сплав состоит из золота и меди , масса меди относится к массе золота в сплаве как 5:6. Определите массу золота в сплаве, если меди в нём 75 грамм.
« Обратная пропорциональная зависимость» Понятия и правила…
Если путь, который должен пройти лыжник, постоянный ( один и тот же), то время, которое он затратит на этот путь, зависит от его скорость. Какая это зависимость ? Изучим ее. Пусть путь равен 60 км. Тогда составим таблицу времени t , за которое лыжник пройдет этот путь в зависимости от скорости U : Скорость U , км Время t, ч 6 8 10 15 10 7,5 6 4 Мы видим, что с увеличением скорости, время уменьшается .
Это явно не прямая пропорциональная зависимость (ведь при прямой пропорциональной зависимости при увеличении одной величины увеличивается во столько же раз и другая), а здесь другая величина не только не увеличивается, а, наоборот, уменьшается, притом во столько же раз. Действительно , когда скорость была равна 6км/ч, то время было равно10 ч., когда же скорость увеличилась в два раза и стала равна 12км/ч, то время уменьшилось тоже в 2 раза и стало равно 5ч. Поэтому эту зависимость называют обратной пропорциональной зависимостью. Найдём математическую модель этой зависимости. Мы знаем, что путь 60 км равен произведению скорости на время, значит, получаем такую формулу: 60= Ut . Обобщим этот пример. Пусть рассматривается такое явление, в котором одна величина сохраняет всё время постоянное значение k , а две другие величины х и у, характеризующие то же явление, таковы, что их произведение равно k . Получаем формулу: х у = k . Отсюда у = k : х. Это и есть математическая модель обратной пропорциональной зависимости между х и у. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Рассмотрим свойства обратной пропорциональной зависимости . Пусть k = 12. Тогда формула (*) имеет вид: у = 12:х. Составим таблицу значений у в зависимости от х: х у х у 1 2 3 4 5 12 6 4 3 2,4 6 8 10 12 2 1,5 1,2 1 Из этой таблицы видим, что: Каждому значению х ( за исключением х=0, так как на нуль делить нельзя) соответствует вполне определённое значение у; Произведение соответствующих значений х и у равно коэффициенту обратной пропорциональности; Если х увеличивается( уменьшается) в несколько раз, то у уменьшается (увеличивается) во столько же раз, так как их произведение остаётся неизменным.
Из формулы х у = k следует не только, что у = k :х, но и ,что х = k :у. А это значит, что если у обратно пропорционален х, то и х обратно пропорционален у, т.е. они взаимно обратно пропорциональны, и при том коэффициент обратной пропорциональности у них один и тот же.
Мы видели, что если х и у связаны прямой пропорциональной зависимостью, то отношение двух любых значений х равно отношению соответствующих значений у. Рассмотрим пары соответствующих значений х и у, связанных обратной пропорциональной зависимостью. Возьмём из приведённой выше таблицы два каких-либо значения х, например 3 и 6. Соответствующие им значения у равны 4 и 2. Отношение 3:6 не равно отношению 4:2. Если эти значения х обозначить через х 1 и х 2 , а соответствующие значения у обозначить через у 1 и у 2 , то получаем такую пропорцию: х 1 :х 2 =у 1 :у 2 . Значит, если х и у связаны обратной пропорциональной зависимостью, то отношение двух любых значений величины х равно обратному отношению соответствующих у.
Проверим знания… задания
Задание 1: Известно, что Х. и у связаны обратной пропорциональной зависимостью с коэффициентом пропорциональности k . Заполните таблицы: Х у Х у 2 3 25 25 50
Задание 2: Известно, что величины ч и у обратно пропорциональны. Заполните таблицы:
Графики прямой и обратной пропорциональности Изучение графиков…
Мы уже знаем, что зависимость между временем движения автомашины и пройденным ею расстоянием при данной скорости есть прямая пропорциональная зависимость. Пусть скорость автомашины равна 50 км/ч. Построим график зависимости пройденного автомашиной расстояния от времени движения. Для этого сначала составим таблицу соответствующих значений t и s : Время, ч 1 2 3 4 Расстояние s , км 50 100 150 200
Теперь построим координатный угол, ось абсцисс примем за ось времени, а ось ординат – за ось расстояния. Масштабы на осях возьмем разные( рис. 1) Построим в координатном угле точки, координатами которых являются соответствующие значения t и s из нашей таблицы: О( 0; 0), А ( 1; 50), B ( 2; 100), C ( 3; 150), и D (4; 200). Затем эти точки соединим отрезками. Видим, что все они лежат на одном луче ОА. Луч ОА и есть график прямой пропорциональной зависимости: s = 50 t Рис. 1 Рис. 2
Этот вывод справедлив для любой прямой пропорциональной зависимости : графиком любой прямой пропорциональной зависимости у = k x является луч с началом в начале координат и проходящий через точку ( 1; k ). Подумайте, почему через эту точку. Теперь рассмотрим какую – либо обратную пропорциональную зависимость, например зависимость между основанием и высотой прямоугольника, площадь которого равна 6 м2 . Если основание прямоугольного обозначить через х, а высоту – через у, то ху = 6 Чтобы построить график этой обратной пропорциональной зависимости, составим таблицу соответствующих значений х и у: х 1 2 3 4 5 6 8 у 6 3 2 1,5 1,2 1 0,75 Построим в координатном угле точки, координаты которых являются соответствующими значениями х и у, и соединим их последовательно плавной линией ( рис. 2). Полученная кривая линия и есть график обратной пропорциональной зависимости.
Подведем итоги… Заключение
Итог Сформулируйте основное свойство пропорции. Какие перестановки членов пропорции снова приводят к верным пропорциям? 2 1 Останется ли пропорция верной, если оба средних члена поменять местами с крайними членами? Проверьте ваш ответ на пропорции 3:4=9:12. 3
Успехов в дальнейшей учебе! Спасибо за урок !
Рыжие листья
Сказочные цветы за 15 минут
Серебряное копытце
Нора Аргунова. Щенята
Как представляли себе будущее в далеком 1960-м году