КГБ ПОУ «Хорский агропромышленный техникум»

Математика

Исследовательская работа

Тема: Удивительная симметрия

Автор:

Журавлев Евгений

МСХ-311

Руководитель:

Тешабаева Галина Владимировна,

преподаватель математики.

п. Хор

2024 год

Аннотация

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия. Работа посвящена изучению свойств симметрии и использование свойств симметрии при построении эффективных алгоритмов при решении задач и построении графиков функций. Автор познакомился с видами симметрии, изучил историю возникновения симметрии, показывает примеры использования симметрии при решении симметрических уравнений и построении графиков функций.

В работе определена цель исследования, выдвинута и проверена гипотеза.

Оглавление

Введение        3

Теоретическая часть        4

История возникновения симметрии.        4

Виды симметрии.        4

Практическая часть        8

Симметрия графиков функций.        8

Системы симметрических уравнений        10

Заключение        12

Литература        12

Введение

Актуальность темы.

Сейчас понятие симметрии в алгебре, в частности построение графиков функций, системы симметрических уравнений встречается лишь в профильном обучении школьников и затрагивается поверхностно, поэтому целью данной работы является построение графиков функций, используя свойства симметрии, решение симметрических уравнений. В работе показано, как упрощается решение различных задач в алгебре с помощью свойств симметрии.

Проблема: можно ли используя свойства симметрии, упростить решение различных алгебраических задач, а значит затратить на выполнение алгебраических заданий меньше времени и сделать меньше ошибок.

Гипотеза: предположим, что можно применяя свойства симметрии в алгебре тратить на выполнение заданий меньшее количество времени.

Цель проекта:

Показать симметрию в алгебре и её практическое применение при решении алгебраических заданий.

Задачи проекта:

•        Изучить понятие «Симметрия», виды и типы симметрии;

•        Показать симметрию четных и нечетных функций.

•        Показать, что симметрия в алгебре является одним из самых рациональных способов при построении графиков функций и решении систем симметрических уравнений.

Предмет исследования:

Симметрия в алгебре.

Объект исследования:

 Симметрия

Методы исследования:

•        Изучение, анализ.

•        Построение.

Теоретическая часть

История возникновения симметрии.

Впервые понятие симметрия появляется в VI веке до нашей эры в первой научной школе в истории человечества, у последователей Пифагора Самосского, пытавшихся связать симметрию с числом.

Каждой вещи, учили пифагорейцы, соответствует определенное отношение чисел, которое они называли логосом. Пифагорейцы предпочитали вместо слова «симметрии» пользоваться словом «гармония».

Ученые древности, изучающие симметрию, любили обращаться к правильным многогранникам (грани у которых правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны). Древние греки установили, что существует всего пять правильных выпуклых многогранников - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр. Все правильные многогранники обладают зеркальной симметрией.

Виды симметрии.

• Осевая симметрия

Осевая симметрия - это симметрия относительно прямой Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно этой прямой точка также принадлежит фигуре.

• Вращательная симметрия

Вращательная симметрия — симметрия объекта относительно всех или некоторых собственных вращений. Преобразование, при котором каждая точка A фигуры поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра O, называется вращением или поворотом плоскости. Точка O называется центром вращения, а угол α – углом вращения.

• Центральная симметрия

Характеризуется наличием центра симметрии — точки O, обладающей определенным свойством: точка O является центром симметрии, если при повороте вокруг нее на 180° фигура переходит сама в себя. Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм.

• Трансляционная симметрия

При определении трансляционной (переносной) симметрии используются понятия поворота и параллельного переноса.

Поворот. Преобразование, при котором каждая точка фигуры поворачивается на один и тот же угол вокруг заданного центра.

Параллельный перенос. Преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

• Скользящая симметрия

Скользящая симметрия – преобразование, при котором последовательно выполняется осевая симметрия и параллельный перенос.

• Зеркальная симметрия

В стереометрии вводится еще один вид симметрии: симметрия относительно плоскости. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры. Такую симметрию называют зеркальной.

• Винтовая симметрия

Винтовая симметрия – совмещение фигуры со своим первоначальным положением после поворота на угол ϕ вокруг оси и дополнительным сдвигом вдоль той же оси. Если ϕ/360° – рациональное число, то поворотная ось оказывается также и осью переноса.

Практическая часть

Симметрия графиков функций.

1. Симметрия четных функций

Здесь наглядно представлена осевая симметрия, и осью симметрии является ось ОУ.

2. Симметрия нечетных функций

Графики нечетных функций симметричны относительно начала координат т.О(0;0)- центральная симметрия

3. Симметрия обратных функций.

Графики обратных функций симметричны относительно прямой у=х. Это осевая симметрия

4. Симметричность графиков с модулем.

Системы симметрических уравнений

Примеры симметрических многочленов.

1)    2)       3)     4)

   Все эти системы имеют одно общее свойство —левые части уравнений являются многочленами, в которые x и y входят одинаковым образом. Многочлены, в которые x и y входят одинаковым образом, называют симметрическими. Точнее говоря: многочлен от x и y называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x. Многочлен  +  — симметрический. Напротив, многочлен  не является симметрическим: при замене x на y, а y на x он превращается в многочлен  , который не совпадает с первоначальным. Приведем важнейшие примеры симметрических многочленов.  Как известно из арифметики, сумма двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т. е. x + y = y + x для любых чисел x и y. Это равенство показывает, что многочлен x + y является симметрическим. Точно так же из закона коммутативности умножения xy = yx следует, что произведение xy является симметрическим многочленом. Симметрические многочлены x + y и xy являются самыми простыми. Их называют элементарными симметрическими многочленами от x и y. Для них используют специальные обозначения:                      
                                                         ,    

Кроме  и , нам часто будут встречаться так называемые степенные суммы, т.е. многочлены , , …., , … Принято обозначать многочлен  через . Таким образом,

Решение систем уравнений.

    Мы уже говорили, что очень часто встречаются системы уравнений, левые части которых симметрично зависят от неизвестных x, y. В этом случае удобно перейти к новым неизвестным  = x + y и  = xy. Выгода такой замены неизвестных заключается в том, что степени уравнений после замены уменьшаются (поскольку  = xy является многочленом второй степени от x, y). Иными словами, как правило, решение системы относительно новых неизвестных ,  проще, чем решение первоначальной системы.

Приведем примеры.

1. Решить систему уравнений

Решение. Введем две новые переменные , . Воспользуемся при этом полученным выше выражением  через  и :

                                                     
Тогда заданная система примет вид:

                                                 

Выразим  из второго уравнения:  Подставим полученное выражение вместо  в первое уравнение системы:

                                         
Соответственно находим  Осталось решить две простые системы уравнений:
                                                         

Первая система не имеет действительных решений, из второй находим два решения (1;2); (2;1).

Заключение

Выводы: если задача содержит тот или иной вид симметрии, то её можно решить рациональней и проще методом, основанном на её свойствах.

Литература

• Глейзер Г.Д. Геометрия. – 12-ое изд.- М., «Просвещение», 1992.

• Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макро мире.- М., Наука, 1978. с. 276.
• Наливкин Д.В. Элементы симметрии органического мира. – Изв. Биол. Науч – исслед. ин-та при Пермском ун-те, т. 3, 1952, вып. 8, с. 291-297.
• Опарин А.И. Возникновение жизни на Земле.- М., 1987, 458 с.
• Руденко В. Н. Геометрия 7-9 классы  - М.: Просвещение, 1994.
• Скопец З.А. Геометрические миниатюры.- М., «Просвещение» , 1990.
•  Тарасов Л. В. Этот удивительный симметричный мир. – М.: Просвещение,          1982.
• Урманцев Ю.А. Симметрия в природе и природа симметрии. М., Мысль, 1974. с. 230.