Теорема Пифагора "Доказательство методом бесконечно малых"

Слайд 1

Слайд 2

Д оказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди , жившему в первой половине XX века .

Слайд 3

Годфри Харолд Харди Родился 7 февраля 1877, Кранли , Великобритания — английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе.

Слайд 4

Биография Родился в небольшом городке на юге Англии в семье учителей, оба родителя имели склонность к математике, хотя и преподавали другие предметы. Математические способности самого Харди начали проявляться еще в возрасте двух лет . В 1896 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета. Всего после двух лет учебы он занял четвертое место на конкурсе выпускников. В 1900 году Харди становится сотрудником факультета, а с 1906 года становится лектором с нагрузкой в 6 часов в неделю, что давало много свободного времени для собственных исследований. В 1919 году он занял пост профессора математики в Оксфордском университете. В 1931 году Харди вернулся в Кембридж, где пробыл на посту профессора до 1942 года.

Слайд 5

Математические работы Харди предпочитал называть свою работу чистой математикой, в отличие от математики имевшей прикладное, особенное военное значение. В своей книге «Апология математика» он говорит: Я никогда не делал чего-нибудь «полезного». Ни одно мое открытие не принесло или могло бы принести, явно или не явно, к добру или к злу, малейшего изменения в благоустройстве мира . В теории чисел он занимался теорией простых чисел и теорией дзета-функции, а также проблемой Варинга. Вместе с Литлвудом они доказали несколько условных результатов, а также выдвинули две важные гипотезы о распределении простых чисел. Совместно с M.Райт нашел два решения задачи о четырех кубах (формулы Харди и Райт). Совместно с Рамануджаном им была получена асимптотика числа разбиений .

Слайд 6

В теории функций занимался теорией тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Ряд работ посвящен теории интегральных преобразований и теории интегральных уравнений. Харди также является одним из авторов закона Харди — Вайнберга в популяционной генетике.

Слайд 7

Доказательство: Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a , мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Слайд 8

Доказательство методом бесконечно малых Пользуясь методом разделения переменных, находим

Слайд 9

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем

Слайд 10

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Слайд 11

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет ). Тогда для константы интегрирования получим