Арифметические прогрессии второго порядка. Вывод формулы

Введение: Прогрессия - последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.  

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

 3, 5, 7, 9, 11…

Как вычислить сумму квадратов последовательных, натуральных n чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36,…,n2)? Прибавлением каждого следующего числа к предыдущему? Да, можно и так, но для достаточного большого количества членов n, этот способ занял бы у нас кучу времени! Поэтому, мы будем выводить формулу для более простого способа нахождения суммы квадратов, последовательных, натуральных n чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36,…,n2). Если задать тот же вопрос, но уже для арифметической прогрессии второго порядка (все члены являются натуральными числами),в которой первый член равен 2, и, такой, что каждый (k-1) член, меньше следующего k члена, на разность, между (k-1) и (k-2) членами, и прибавлением к этой разности +2. Пример этой прогрессии: 2, 6, 12, 20, 30, 42, … число 12 представимо как: 6+(6-2) + 2=12; или число 56= 42 + (42-30) +2, то для достаточно большого числа членов n, ответить быстро на поставленный вопрос мы не сможем, так как вычислять сумму прибавлением к k члену, каждого следующего (k+1) члена способ тоже не из быстрых. Поэтому для данной прогрессии, мы также выведем формулу, опираясь на ту формулу, которую мы сначала докажем, для суммы квадратов последовательных, натуральных n чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36,…,n2), которая также упростит вычисления и сэкономит наше время, для ответа на заданный вопрос! В данной работе я приведу свой способ решения – некоторую так называемую мной “Пирамиду”, о которой я расскажу в основной части работы.

Литература:

1. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э-68 А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.
2. http://ru.wikipedia.org (Википедия)
3. http://dic.academic.ru (Академик)
4. http://ru.math.wikia.com (wikia)

1

Основная часть:

Рассмотрим арифметическую прогрессию второго порядка, такую, что каждый следующий член больше предыдущего на 1, и к тому же все эти члены возведены в квадрат (например: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…), и выведем формулу суммы первых n членов для данной прогрессии. Но, сначала, рассмотрим несколько прогрессий, у которых первый член – разный:

1,4,9,16,25,36,…….                                         и                          16,25, 36,49,64,81,……. ..

Пусть, к примеру, таких членов n=5, тогда их сумма (Sn):

Sn=55                                                                и                                  Sn=190

Формулу суммы (Sn) для данной прогрессии можно вывести, опираясь на то, что последовательность разностей двух рядом стоящих членов сама образует простую арифметическую прогрессию:

1+③=4;                                                            и                           16+⑨=25;

4+⑤=9;                                                                                         25+⑪=36;

9+⑦=16;        36+⑬=49;

16+⑨=25;        49+⑮=64;

. . . . . . .                                                                                          . . . . . . .

На основе этого свойства можно получить некоторую «Пирамиду». Рассмотрим прогрессию: 1,4,9,16,25,36, ….  для n=5. Тогда:

                                                n членов

                                                                       ①+ 4+ 9+  16+  25= 55 (Исходная сумма)

                                                    ① +4 +9 +16

                                                       ①+4+  9

                                                         ①+4

                                                          ①+4

                                                                  =3                                                                                2

В  данной «Пирамиде» в 1-ой строчке даны исходные числа, во 2-ой строчке – разность между соседними числами 1 строчки. В 3-ей строчке получена разность чисел 1-ой и 2-ой строчек (т.е.  4-3=1; 9-4=5; 16-7=9; 25-9=16). Таким образом, в 3-ей строчке стоят все те же исходные числа,  но на одно число меньше (в 3-ей строчке нет числа 25). Значит, в конечном итоге, можно свести всю прогрессию к первому члену прогрессии (как показано в «Пирамиде»). Дальше (с 4-ой строчки) всё снова повторяется.

Тогда данную сумму можно представить как: Sn=24+15+8+3=50, но она отличается от исходной (=55) на 5. В самом деле, так как: Sn=25+16+9+4+1=24+15+8+3+5*1=55. Именно, поэтому цифра 1 в данной «Пирамиде» обведена 5 раз в кружок.

Рассмотрим прогрессию: 16, 25, 36, 49, 64,…   ( при n=5):

                                         ⑯+  25+  36+  49+  64=190 (Исходная сумма)

⑯+25+36+49

⑯+25  +36

⑯+25

⑯

Сумма колонок равна: Sn=48+33+20+9=110, которая отличается на 80 от исходной (=190). Sn=64+49+36+25+16=48+33+20+9+5*16

Итак, можно заметить, что сумма, полученная с помощью «Пирамиды» всегда отличается от исходной. Утверждение: Сумма, полученная с помощью «Пирамиды» всегда будет отличаться от исходной, на сумму произведения количества членов прогрессии на первый член прогрессии. (Приведённое мной утверждение, я докажу дальше). А пока будем считать, что данное утверждение верно при любом  значении первого члена и любом значении n(кол-ва членов прогрессии).

Теперь рассмотрим данную прогрессию с первым членом = b1, причём таким, что  є N. Пусть в прогрессии n членов. Примем разность между вторым и первым членом за d=b2- b1.

С учётом того, что b2=(+1)2 получим d=b2-b1=(+1)2-b1=2+1.

Для данной прогрессии также составим «Пирамиду»:

3

               + (+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+(+5)2+. . . . . . . . . . . . . . . +(+n-1)2

                              +(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+ . . . . . . . +(+n-2)2

                                   +(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+ . . . +(+n-3)2

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 +(+1)2 

Тогда, если считать, что утверждение верно, то данную сумму Sn=b1+(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+(+5)2+. . . . . . . . .+(+n-1)2

можно представить как: Sn= b1*n+[(d+(n-2))*(n-1) + (d+(n-3))*(n-2) + (d+(n-4))*(n-3) +. . . ]=

4                                                                                                          

b1*n+(d*(n-1) + d*(n-2) + d*(n-3)+. . . . . .) + ((n-1)*(n-2) + (n-2)*(n-3) + (n-3)*(n-4) + . . .) =  

= b1*n + (d*n + d*n + d*n +. . . - d - 2d - 3d - 4d - . . .) + ((n-1)*(n-2) + (n-2)*(n-3) + (n-3)*(n-4) +. . .)=

=b1*n+ d*n*(n-1)–d*(1+2+3+4+. . .)+((n2 – 3*n + 2)+(n2 – 5*n + 6)+(n2 – 7*n + 12) + (n2 – 9*n + 20 + . . .)    

Сумму 1+2+3+4+ . . . выражаю как арифметическую прогрессию                                     

Тогда Sn =b1*n + d*n*(n-1) –  + ((n2 – 3*n) + (n2 – 5*n) + (n2 – 7*n) + . . . + (2+6+12+20+ . . . . ))=

= b1*n+ 0,5*d*n*(n-1) + ((n2 – 3*n) + (n2 – 5*n) + (n2 – 7*n) + . . . + (2+6+12+20+ . . . . ))

Так как (n2 – 3*n) + (n2 – 5*n) + (n2 – 7*n) + . . . = , то

Sn= b1*n+ 0,5*d*n*(n-1) – n*(n-1) + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .)= b1*n+  + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . .)

С учётом того, что d=2+1, получим, что Sn = b1*n+  + (2 +6 +12 +20 +. . .)

Следует учесть, что данная формула справедлива лишь только тогда, когда квадратный корень из k члена +1, равен  квадратному корню из (k+1) члена. Первый же член прогрессии может быть любым. Проверим данную формулу для b1=16 и n=5. S5=16*5 +  + (2 + 6 + 12 + 20)=80 + 70 + 40 =190

Но данная формула, возможно, неверна для некоторого значения b1 или некоторого значения n, так как утверждение ещё не доказано. Данное утверждение будет истинным, если доказать, что для любого n формула Sn = b1*n+  + (2 +6 +12 +20 +. . .)

является верной.

Данную формулу можно доказать с помощью математической индукции.

Но, сначала, рассмотрим последовательность чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, . . . . . . .

Итак, в этой последовательности  каждый (k-1) член, меньше следующего k члена, на

5

разность, между (k-1) и (k-2) членами, и прибавлением к этой разности +2. (пример: число 12 представимо как: 6+(6-2) + 2=12; или число 56= 42 + (42-30) +2).

Также можно заметить, что данную последовательность можно представить в виде: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, . . . . . . . = 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, 5*6, 6*7, 7*8, . . . . . . . . . , k*(k+1).

В самом деле, если в последовательности k членов, то последний член у этой прогрессии ak=k*(k+1).

 Теперь докажем с помощью математической индукции справедливость формулы Sn, то есть докажем справедливость тождества: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+n-1)2 = b1*n+  + (2 +6 +12 +20 +. . .)

1. Проверим базу (для n=1): b1=b1 (База выполняется верно!)
2. Шаг. Пусть для k членов данное тождество является верным, тогда:

b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2 =

=b1*k+  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)).

Проверим является ли наша формула верной для n=k+1: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2  + (+k)2. Считая  формулу –

b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2 =

=b1*k+  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)). – верной для k членов, выполним

Подстановку для n членов. Получим: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2  + (+k)2 =

= b1*k+  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) + (+k)2 = b1*k+  

+ (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) + b1 + 2*k + k2 = b1*(k+1)+ *[(2*k – k - 2 + 1)

+4 + 2k] + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1))= b1*(k+1)+ *(2*k + k + 2 + 1) +

(2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) = b1*(k+1) +   + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1))

 = b1*(k+1) +   + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) = b1*(k+1) +

 +  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) =

6

= b1*(k+1) +  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1))

Таким образом, для n=k+1 мы получили верное равенство: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2  + (+k)2 = b1*(k+1) +

+  + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1)). А значит, данное тождество

верно при любых значениях n и b1. ч.т.д.

Данная формула все же является неудобной для подсчёта большого количества членов n, из-за другой прогрессии (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1)). Поэтому рассмотрим      

эту прогрессию более подробно.

2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1) Итак , попробуем упростить формулу суммы для этой прогрессии, нежели складывать каждое слагаемое (это займет много времени, если число членов в прогрессии уже больше 10!).

Рассмотрим несколько примеров суммы членов данной прогрессии (Sk):

S6=112=(6*7*8)/3

S7=168=(7*8*9)/3

S8=240=(8*9*10)/3

S9=330=(9*10*11)/3

S10=440=(10*11*12)/3

S11=572=(11*12*13)/3

S12=728=(12*13*14)/3

S13=910=(13*14*15)/3

S14=1120=(14*15*16)/3

S15=1360=(15*16*17)/3

Итак, можно заметить, что сумма (Sk) прогрессии вида: 2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1)  с количеством членов k будет равна Sk=.  

Данное утверждение 2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . + k*(k-1) + k*(k+1) =  докажем с помощью математической индукции:

1. Проверим базу (для k=1): 2=2 (База выполняется верно!)

                                                                                                                                                         7

2. Шаг. Пусть для k членов данное тождество является верным, то 2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . + k*(k-1) + k*(k+1) =

Проверим является ли наша формула верной для n=k+1: 2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . + k*(k-1) + k*(k+1) + (k+1)*(k+2) =

Считая, формулу для k членов верной выполним подстановку для n=k+1 членов. Получим:

2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . + k*(k-1) + k*(k+1) + (k+1)*(k+2)=  k*(k+1)*(k+2)/3 + (k+1)*(k+2) =

Таким образом, для n=k+1 членов мы получили верное равенство. А значит, что формула для суммы (Sk) прогрессии вида: 2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1)  с количеством членов k будет равна Sk=.

Таким образом, для достаточно больших значений n сумму квадратов последовательных чисел можно сосчитать намного проще, нежели их складывать.

Подсчитаем, к примеру, сумму квадратов первых, натуральных 50 чисел:

12+22+32+42+52+. . . . . . . . .+492+502=42925

Подсчитаем эту же сумму, используя полученные формулы:

12+22+32+42+52+. . . . . . . . .+492+502= 50*1 +  + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . . .)  

Используя формулу (Sk) получим:

2+6+12+20+. . . . .= =41650

В конечном итоге, получим: Sn= 50 + 25*49 +41650= 42925.

Для больших n пользоваться данными формулами гораздо удобнее. Причём, первый член прогрессии может быть любым!

Подсчитаем сумму квадратов 50-ти последовательных чисел, в которой первый член равен 51.

512+ 522+532+542+ . . . . . .+992+1002 = 512*50 +  + (2+6+12+20+ . . . . . .)

Значение (2+6+12+20+ . . . . . .) = 41650 – подсчитано выше. Тогда 512+ 522+532+542+ . . . . .

+992+1002 =130050+123725+41650= 295425                                                                               8

Данные формулы можно использовать не только для нахождения сумм квадратов натуральных последовательных чисел, но и решать с помощью них различные задачи:

Задача 1. Какое количество натуральных членов (n) находится в прогрессии (1, 4, 9, 16, 25, . . . . n2) , если сумма этих n членов равна 338350?                                                                                                        

Решение: Запишем формулу для суммы квадратов последовательных чисел, Sn= b1*n+  + (2 +6 +12 +20 +. . .+n*(n-1)) = 338350 (по условию). Так как по условию

 b1=1, то перепишем в таком виде Sn= n +   + (2 +6 +12 +20 +. . .+n*(n-1)) = 338350

Сумма (2 +6 +12 +20 +. . .+n*(n-1)) =(n-1)*n*(n+1)/3

Тогда  Sn= n  +   +   = n +  =  = 338350

n*(n+1)*(2n+1)= 2030100

Далее определяем число n, учитывая, что оно является натуральным. Очевидно, что при n<= 50 левая часть уравнения меньше правой, а при n>= 150 левая часть уравнения уже больше правой. Значит 50

Число 2030100 = 22*52*3*67*101 делится на: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 67, 75, 100, 101, …….,125, …..………, 201, …………., 2030100.

Поскольку n-число натуральное, то 2n+1 является числом нечетным, а значит с условием, что 50

Из данных чисел найдем, что единственное подходящее значение n=100

Ответ: 100.

Задача 2. Найти 10 член прогрессии (b1, (+1)2, (+2)2, (+3)2, (+4)2, (+5)2, . .  . , (+n-1)2, причём  ∈ N), если число членов n = 50 , а их сумма (Sn) равна 295425?

Решение: Запишем формулу для суммы данной прогрессии: Sn= 50*b1+25*49*(2 - 1) + (2+6+12+20+  . . . .). Сумма (2+6+12+20+ . . . .) = 41650 подсчитана выше (см. стр.8)

Тогда Sn= 50*b1+25*49*(2 - 1) + 41650 = 295425 ⇔ 50*b1+2450*  = 255000

b1+49* -5100 = 0

( -51)( +100) = 0 → b1=512                                                                                                9

Выполним проверку: при b1=512 имеем: (295425=295425) – верно.

Проверкой убеждаемся, что b1=51. Тогда b10=(+9)2=602=3600

Ответ: 3600.

                                                                                                                                                       10

Формула

b1+(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+(+5)2+. . . . . . . . . . . . . . . +(+n-1)2= b1*n+

 + (2 +6 +12 +20 +. . .) все же является частным случаем нахождения суммы,

квадратов последовательных членов, поскольку разность между  и все же постоянна и равна 1. Теперь рассмотрим общий случай, когда разность между  и

равна d, количество членов n, а первый член прогрессии равен . Но сначала, рассмотрим  «Пирамиду» , на примерах нескольких чисел, при n =5, у данной прогрессии:

   + 42 + 72 + 102 + 132 =335  (Исходная сумма)

                                              + 42 + 72 + 102

                                                 + 42 + 72

                                                     +  42

В данной прогрессии разность d= - =3, также можно заметить, что в арифметической прогрессии 15+  33+  51+   69 шаг прогрессии равен 18, т.е. 2*d2

   + 52 + 92 + 132 + 172 =565  (Исходная сумма)

                                              + 52 + 92 + 132

                                                 + 52 + 92

                                                     +  52

11

В данной прогрессии разность d= - =4, также можно заметить, что в арифметической прогрессии 24+  56+  88+   120  шаг прогрессии равен 32, т.е. 2*d2       

   + 62 + 112 + 162 + 212 =855  (Исходная сумма)

                                              + 62 + 112 + 162

                                                 + 62 + 112

                                                     +  62

В данной прогрессии разность d= - =5, также можно заметить, что в арифметической прогрессии  35+  85+  135+   185  шаг прогрессии равен 50, т.е. 2*d2       

   + 72 + 122 + 172 + 222 =855  (Исходная сумма)

                                              + 72 + 122 + 172

                                                 + 72 + 122

                                                     +  72

В данной прогрессии так же, как и в предыдущей, разность d= - =5, также можно заметить, что в арифметической прогрессии  45+  95+  145+   195  шаг прогрессии равен 50, т.е. 2*d2

Итак, в данных примерах можно заметить, что шаг арифметической прогрессии равен 2*d2

Утверждение 2: В арифметической прогрессии первого порядка,  полученной с помощью последовательности разностей двух рядом стоящих членов прогрессии вида: b1+ (+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+(+4*d)2+. . . . . . . . . . +(+(n-1)*d)2, шаг прогрессии будет равен 2*d2.                                                                                                     12

Данное утверждение, я так же докажу позже, с помощью математической индукции, а пока будем считать, что данное утверждение верно!

Теперь рассмотрим «Пирамиду» для первого члена =b1, разности d= -   и количеством членов n. Тогда в арифметической прогрессии первого порядка,  первый член будет равен = b2 – b1 = (+d)2 – b1= 2*d* + d2. Получим «Пирамиду»:

               + (+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+(+4*d)2+. . . . . . . .  . . . . . .+(+(n-1)*d)2

                            + (+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+. . . . . . . . . . . . . . . . . . .+(+(n-1)*d)2

                                   +(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+ . . . +(+n-3)2

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 +(+d)2 

13

Тогда, если считать, что утверждение 2 верно, и используя уже доказанное утверждение 1 , то данную сумму: Sn=b1+(+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+(+4*d)2+(+5*d)2+. . . . . .+(+(n-1)*d)2

Можно представить как: Sn= b1*n + [(d*(2+d*n) – d2)*(n-1) + (d*(2+d*n) – 2*d2)*(n-2) + d*(2+d*n) – 3*d2)*(n-3) + . . . . . . . .] =

= b1*n+ [d*(2+d*n)*n+ d*(2+d*n)*n+ d*(2+d*n)*n+ . . . .] - d*(2+d*n)*[1  + 2 + 3 +  4 + 5 + . . . . . . . ] -

-d2*n*[1+2+3+4+5+ . . . . . .] + d2*[1+4+9+16+25+ . . . . . . .]

Сумму 1+2+3+4+5+  . . . . . . .= подсчитываю, как

арифметическую прогрессию. Сумму 1+4+9+16+25+ . . . . . . . можно подсчитать,

благодаря уже доказанной формуле (Sn) для частного случая: 1+4+9+16+25+. . . =1*(n-1) +  + (2 + 6 + 12 + 20+. . . . . .) =

= + (2 + 6 + 12 + 20+. . . . . .)

Тогда получим, что Sn=b1*n+  - ++d2*(2+6+12+ 20+. . .)

= b1*n+  - +d2*(2+6+12+ 20+. . .) = b1*n+  + d2*(2+6+12+ 20+. . .)

Таким образом, я получил формулу Sn= b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 + (+5*d)2 + . . . . . . . + (+(n-1)*d)2  = b1*n+  + d2*(2+6+12+

20+.  . . . . . . . .)

Данная формула, возможно является неверной для некоторого значения b1, n, или d, так как утверждение 2 ещё не доказано!

Доказать утверждение можно, если доказать что для любого n формула Sn является верной. Докажем справедливость данной формулы с помощью математической индукции.

Сделаем такое преобразование над формулой Sn:

14

b1*n+  + d2*(2+6+12+20+.  . . . . . . . .)= b1*n+  + d2*(2+6+12+

20+.  . . . . . . . .) – n*(n-1)

1. Проверим базу (для n=1): b1=b1 (База выполняется верно!)
2. Шаг. Пусть для k членов данное тождество является верным, тогда:

b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 + (+5*d)2 + . . . . . . . + (+(k-1)*d)2  = b1*k+  + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .)

Проверим, является ли наша формула верной для n=k+1: b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 + (+5*d)2 + . . . . . . . + (+(k-1)*d)2+ (+k*d)2 =

= b1*k+  + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) + (+k*d)2= b1*(k+1)  +

 + d*k*(2 + k*d) + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = b1*(k+1)  +

  + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = b1*(k+1)  +  +

+ d2*k*(k-1) + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) = b1*(k+1)  +  + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .)

Таким образом, для n=k+1 мы получили верное равенство: b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 +. . . . . + (+(k-1)*d)2+ (+k*d)2 = b1*(k+1) +  

+ d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) .  

Поскольку, (2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .) =

то окончательно получим конечную формулу: Sn= b1*n+  + d2*(2+6+12+ 20+.  . . . . . . . .)= b1*n+  + d2*= b1*n+

15

Задача 3. Найти разность между десятым и девятым членом прогрессии вида: 72 , (7+d)2, (7+ 2*d)2, (7+3*d)2, . . . . . . . . . (7+(n-1)*d)2, если при n=40 сумма данной прогрессии равна 570060?

Решение:

Запишем формулу для суммы квадратов данной прогрессии: Sn = b1*n+ . Подставляем значения b1 и n в формулу, получим:

Sn =1960 + 260*d*(42+79d) = 570060

Тогда получим, что 20540d2+10920d – 568100= 0 ⇔ d = 5 или d= -  (не подходит условию, что d>0)

Значит b10 – b9=(7+9*5)2  - (7+8*5)2 = 2704 – 2209 = 495

Ответ: 495.

16

Заключение: Итак, я доказал справедливость формул:  b1+(+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+(+4*d)2+(+5*d)2+. . . . . . . . . . . . . . . +(+(n-1)*d)2=

b1*n+ .

А также, формулу для суммы другой  арифметической прогрессии второго порядка  (2 +6 +12 +20 +. . .).  Sk=.  ( = )

Благодаря этим формулам, я показал, как гораздо быстрее найти сумму квадратов последовательных, натуральных n членов; как быстро найти сумму другой арифметической прогрессии второго порядка (2 +6 +12 +20 +. . .).  Привёл довольно интересные  и занимательные задачи, связанные с этими прогрессиями.

17

Список литературы:

1. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э-68 А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.
2. http://ru.wikipedia.org (Википедия)
3. http://dic.academic.ru (Академик)
4. http://ru.math.wikia.com (wikia)

18