Методы решения задач с параметрами

Научно-образовательный форум школьников Республики Мордовия

Лицей федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ 

Секция: Математический калейдоскоп

Саранск

2021

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Задачи с параметрами являются одним из самых трудных разделов школьного курса математики, так как их решение связано с умением проводить сложные, разветвленные логические построения. В школе первые представления о параметре мы получаем при изучении прямой пропорциональности; линейной функции и линейного уравнения; при изучении квадратного уравнения и исследования количества его корней в зависимости от значений параметра.

Актуальность выбранной темы обусловлена тем, что затрагивает современную проблему, знакомую каждому выпускнику, а именно – решение задач единого государственного экзамена. Сдать ЕГЭ на высший балл – одно из самых актуальных желаний старшеклассников, так как это прямым образом влияет на шансы поступить в престижный ВУЗ и получение желаемой профессии. Добиться этого довольно непросто. Учебного времени не всегда хватает для углубленной подготовки к заданиям высокого уровня сложности, к одним из которых относятся уравнения и неравенства с параметрами.

Анализ предыдущих результатов ЕГЭ показывает, что школьники с большим трудом решают задания с параметром, а многие даже не приступают к ним. К решению задачи №18 из КИМ приступают лишь порядка 10% выпускников 11 классов. Причиной этого является отсутствие системы знаний по данной теме.

Статистика решения задачи №18 на ЕГЭ по профильной математике

В школьных учебниках по математике задач с параметрами недостаточно, к тому же, предлагаемые в них примеры слишком просты по сравнению с задачами из ЕГЭ. Поэтому исследование способов решения задач с параметрами является для меня одним из важных шагов в подготовке к единому государственному экзамену по математике профильного уровня. Рассматривая проблему решения 18-го задания по ЕГЭ, хочу определить самый рациональный способ, а точнее, наименее трудоемкий, менее время затратный и удобный метод решения задач с параметрами.

Цель работы заключается в исследование методов решения задач с параметрами и выявление наиболее рациональных, наименее трудоемких способов решения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. познакомится с определением параметра и видами задач, содержащие параметры;
2. исследовать способы решения задач с параметрами и постараться выбрать из них для себя самые оптимальные;
3. приобрести опыт в решении задач, содержащиеся в ЕГЭ по профильной математике.

Гипотеза моего исследования заключается в том, что существуют общие методы решения заданий с параметрами, позволяющие решать задания разных видов.

Объект исследования: задания контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена по математике, содержащие параметр.

Предмет исследования: методы решения заданий с параметрами.

Методы исследования – теоретический анализ и синтез научной и учебной литературы по теме исследования, сравнение, систематизация информации, обобщение, вывод, подбор и решение задач.

Практическая значимость – возможность использования обобщенных данных при подготовке выпускников к сдаче единого государственного экзамена по математике профильного уровня, отработка решения задач, содержащих параметры.

1. Теоретическая часть

1. Основные понятия

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Что означает «решить задачу с параметром»? Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Одним из способов решения задания №18 из ЕГЭ является графический способ, поэтому следует повторить что такое функция, виды функций и их свойства. Понятие функции – одно из ключевых в математике. Под функцией понимают некий закон, по которому одна переменная величина зависит от другой. Согласно определению, если каждому значению переменной х множества Х ставится в соответствие одно определенное значение переменной у множества Y, то такое соответствие называется функцией. Другое определение – однозначное соответствие двух переменных величин на множестве действительных чисел R называется функцией. Существует всего пять типов элементарных функций: степенные, показательные, тригонометрические, обратные тригонометрические.

2. Основные типы задач с параметрами

Выделяют основные 4 больших класса задач с параметрами:

• Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успехи при решении задач всех других основных типов.

• Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

• Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
• Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Наиболее массовый класс задач с параметром – задачи с одной неизвестной и одним параметром.

1.3 Методы решения задач с параметром

В пособиях, посвященных задачам с параметрами, выделяют три метода решений:

• Аналитический метод: это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
• Графический метод: в зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).  
• Метод решения относительно параметра: при решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Иногда также применяется так называемый метод оценки для уравнений и неравенств, где функции, стоящие в левой и правой части, могут быть равны друг другу только в определенной точке, причем одна из них принимает в этой точке наименьшее значение, а другая – наибольшее.

При рассмотрении данных методов я пришел к выводу, что самые распространенные и удобные способы – это аналитический и графический. Рассмотрим их более подробно.

Графический способ. В зависимости от того, какая роль параметру отведена в задаче, можно соответственно выделить два основных графических приёма:

• первый – построение графика на координатной плоскости (х;у),
• второй – построение графика на координатной плоскости на (х;а).

На плоскости (х;у) или (х;а)  функция y=f(x;a) задаёт семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство f обладает определёнными свойствами. Нас же в первую очередь будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости (параллельный перенос, поворот и т.д.) можно перейти от одной прямой к какой-нибудь другой.

Разумеется, не всегда графический образ семейства y=f(x;a) описывается простым преобразованием. Графический метод - всего лишь одно из средств наглядности. Поэтому те случаи, когда результат «прочитан» с рисунка и вызывает сомнение, лучше подкрепить аналитически.

Алгоритм решения задачи с параметром графическим способом состоит из следующих шагов:

1. задачу с параметром будем рассматривать как функцию ; п
2. строим графический образ, т.е. Построим в одной системе координат графики обеих частей уравнения;
3. пересекаем полученное изображение прямыми, параллельными оси абсцисс;
4. считываем нужную информацию.

Если уравнение одной из фигур не зависит от изменяющегося параметра, то график этой фигуры неподвижен относительно системы координат. Если в уравнение другой фигуры входит параметр, то от его изменения зависит расположение и даже форма графика. Тогда суть решения уравнения состоит в определении числа точек пересечения графиков построенных уравнений, а значит в определении количества возможных решений в зависимости от конкретных числовых значений параметра.  Для усложнения заданий эти уравнения искусственно преобразуют, «камуфлируют». Понятно, что каждое семейство обладает определенными характерными свойствами, они-то и помогают решить задачу.  Приведем несколько примеров.  

Аналитический способ. Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Широкое распространение за последние годы в ходе государственной (итоговой) аттестации выпускников средней школы  в формате ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы, предъявляющие повышенные требования к математической подготовке абитуриентов, получили задачи на расположения корней квадратного трехчлена на оси. Для данного типа задач свойствен аналитический метод решения.

Выделим два наиболее распространенных вида задач, связанных с применением графика квадратичной функции. Первый вид – задачи, в которых изучается расположение корней квадратного трехчлена относительно точки с абсциссой, равной m. Второй вид – задачи, в которых выясняется, как расположены корни квадратного трехчлена относительно отрезка.

Первый тип задач предусматривает три случая:

• оба корня меньше m;
• один корень меньше m, а другой больше;
• оба корня больше m.

Для каждого из этих случаев выполним соответствующий рисунок и запишем к нему систему неравенств при условии, что старший коэффициент квадратного трехчлена f (x) = ax2 + bx + c положительный.  В таблице приведена полная система случаев расположения корней уравнения в зависимости от значений выражений, зависящих от коэффициентов уравнения.

Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки с абсциссой, равной  

Рассмотрим расположение корней квадратного трёхчлена относительно отрезка. При этом возможны шесть случаев:

• корни квадратного трёхчлена находятся справа от отрезка;
• корни квадратного трёхчлена находятся слева от отрезка;
• больший корень находится внутри отрезка  
• меньший корень находится внутри отрезка;
• оба корня внутри отрезка;
• отрезок между корнями квадратного трехчлена

Изобразим геометрическую модель каждой из этих ситуаций и составим к каждой из них адекватную систему неравенств при условии, что старший коэффициент квадратичной функции y = ax2 + bx + c больше нуля.

Расположение корней квадратного трёхчлена относительно отрезка

2. Практическая часть

2.1 Примеры решения задач с параметрами ЕГЭ по математике профильного уровня

В ходе исследования я понял, что наиболее универсальным и наглядными для меня оказались графический и аналитический способы решения задач с параметрами. Далее предлагаю провести разбор некоторых задач прошлых лет ЕГЭ по математике профильного уровня.

Пример №1.

Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств  имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].

Преобразуем систему:  

Построим прямоугольную систему координат xOa. Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств.

Гипербола  и график корня пересекаются в точке N(3; 2). Гипербола и прямая  пересекаются в точке M(5; 1). График корня и прямая пересекаются в точке K(6; 4). Множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной системе состоит из точек криволинейного треугольника NMK, не включая границу, лежащую на прямой КМ.

Поскольку система должна иметь хотя бы одно решение на отрезке [4; 5], определим наименьшую и наибольшую ординаты проекции выделенного на рисунке четырехугольника на ось ординат.

Найдём координаты точки P:

 =>

Проекции точек P и M дают искомое множество: заданная система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5] при  (выделено штриховкой на рисунке).

Ответ: (1;

Пример №2.

Найдите все значения , при каждом из которых имеет ровно три различных решения система уравнений

Первое уравнение системы является уравнением окружности с центром в точке  и радиусом 3. График функции  получается параллельным переносом на вектор  графика функции  Поскольку график функции  представляет собой прямой угол с вершиной в точке  и сторонами лежащими на прямых  и  выше оси абсцисс, график функции  также представляет собой прямой угол, но с вершиной в точке  и сторонами, параллельными прямым  Заметим, что прямая  на которой лежит вершина угла, является касательной к окружности.

Ровно три общие точки фигуры имеют в следующих случаях:

1. Вершина прямого угла лежит в точке  касания окружности и прямой , а его стороны пересекают окружность в двух точках (первый случай). Это возможно, только если .

2. Одна из сторон прямого угла пересекает окружность в двух точках, а другая касается окружности в точке  (второй случай) или в точке (третий случай). Найдём значения параметра для этих двух случаев. Поскольку радиус окружности, проведённый в точку касания окружности и прямой, перпендикулярен прямой, четырёхугольник  является квадратом со стороной и диагональю . Тогда . Следовательно, для случая касания в точке  получаем  Для касания стороны угла и окружности в точке  аналогично получаем ещё одно значение параметра:  

При  или  прямой угол имеет не более двух общих точек с окружностью.

При  или  прямой угол имеет четыре общие точки с окружностью.

Ответ:

Пример №3.

Найдите все значения параметра  при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение на интервале (0;

Обозначим в исходном уравнении  .

Пример №4.  

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение меет ровно два различных корня на промежутке

Сделаем замену тогда получим: .

Выполним обратную замену:  =>  Дискриминант этого уравнения равенпоэтому оно при всех значениях  имеет ровно два различных корня. Положим  Так как  оба корня уравнения  принадлежат промежутку  тогда и только тогда, когда  и  то есть когда  и Значит, уравнение  имеет ровно два различных корня на промежутке  при

Ответ:

Пример №5.

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение  имеет ровно один корень на отрезке

Преобразуем уравнение:  => Рассмотрим эти случаи:

Первый случай:  при условиях:

=>  

Число  лежит на отрезке  если  Тогда для первого случая получаем: .

Второй случай:  при условии :

 => =>

Число  лежит на отрезке , если  Тогда для второго случая получаем:

Корень  равен  если

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке  при   

Ответ:   

Пример №6.

Найдите все значения , для каждого из которых уравнение  имеет единственное решение.

Аналитический способ решения:

;

Пусть   = t >0, тогда:  

(*)

Исходное уравнение будет иметь единственное решение:

1 случай: еcли уравнение (*) имеет единственное решение (D=0);

2 случай: если уравнение (*) имеет два корня (D>0), один из которых меньше нуля или равен нулю.

Пусть n=a+6, m=5+3|a|;

1 случай:

 =>  =>  =>  => ;

если a<0, то  => ; если a>0, то  => .

2 случай:

; ;

если n>m, то:

  ;

если n

; ;

 система не имеет решений, т.к. выражение 3|a|+5 всегда положительно.

 =>  =>

или  =>  =>

или  =>   => система не имеет решений.

Ответ:  ;  ; .

Графический способ:

Преобразуем исходное уравнение:

 =>
 =>   или .

Построим графики функций   на координатной плоскости xOa:

На чертеже заметим, что система имеет единственное решение при ,  и . Найдём  и :

Если a>0, то:  => => .

Если а<0, то: =>  => .

Ответ:  ;  ; .

Важно помнить:

• при использовании только графического метода, так же, как и только аналитического, может быть допущена ошибка, поэтому необходимо последовательно и внимательно указывать ход своего решения. При возможности выполнить проверку полученного результата, применяя другой способ решения;
• ответ, полученный только с помощью графика, может быть сомнителен, поэтому необходимо подкрепить его с помощью аналитического вывода, что в первую очередь подтвердит правоту выбранного пути решения и полученный ответ.

Заключение

Работая над своей темой исследования, я провел большую работу: изучил литературу по выбранной теме; разобрался, что такое параметр и задачи с параметрами; познакомился с методами их решения.

Выполняя практическую часть, было решено много уравнений, неравенств и их систем, я приобрел опыт и научился решать определённый круг задач и пришёл к некоторым выводам.

Решение каждого задания требует к себе индивидуального подхода, но при этом задачи с параметрами чем-то похожи на детский конструктор. Разобрав много таких примеров, можно заметить, как решение «собирается» из мелких деталей – хорошо знакомых нам фактов.

Для себя я выделил два основных способа решения №18 из ЕГЭ: аналитический и графический.

Графический способ является наиболее наглядным, простым и доступным способом решения задач с параметрами. Если задачу с параметром можно нарисовать – рисуем. То есть применяем графический метод. Размытость в решение уравнения, неравенства или их системы с помощью графика, можно подкрепить аналитическим выводом, что поможет подтвердить правоту выбранного решения и ответа.

Сочетание аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом формированию элементов исследовательской деятельности.

Думаю, что данная работа будет интересна моим сверстникам. Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность.

Список использованных источников