Построение графиков сложных функций

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. Новокузнецк

средняя образовательная школа №56

 «ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ»

Автор проекта: Явецкий Константин Дмитриевич

Ученик 11А класса

Руководитель проекта:

Тютикова Ирина Александровна,

Учитель математики

г. Новокузнецк

2024 г.

В ходе изучения в школе простейших элементарных функций, я столкнулся с понятием сложных функций. Ведь такие функции не изучаются в объеме школьной программы. И у меня сразу возник вопрос. А что это за функции и как их можно построить самому? Я прочитал много литературы на эту тему и выделил для себя главную цель – это преобразование графиков сложных функций и выработка простого алгоритма для построения сложных функций на основе свойств монотонности.

Основные задачи:

1. повторить свойства простейших элементарных функций;

2. рассмотреть способы преобразования функций вдоль осей координат;

3. научиться строить сложные функции по промежуткам монотонности и уметь их читать;

4.выработать алгоритм построения сложных функций, состоящий из композиции двух и более функций.

Я повторил свойства простейших элементарных функций, их графики и способы преобразования. В связи с тем, что работу над проектом начал еще в 9 классе, я самостоятельно по учебникам старших классов изучил свойства тригонометрических и обратных к ним функций, показательные и логарифмические функции, их графики и способы преобразования. После этого приступил к построению графиков сложных функций. Определяя промежутки монотонности сложных функций, состоящих из композиции двух функций, именуемых внутренней и внешней, я приступил к их построению. Свои исследования оформлял в виде таблиц с построением схематических графиков. По полученным данным отмечал границы изменения внутренней и внешней функций и находил характер изменения сложной функции. Отмечая полученные результаты в системе координат, и используя контрольные точки, приступал к построению графика сложной функции. На основании исследований и построения графиков более простых композиций сложных функций я выработал алгоритм построения графиков сложных функций на основе свойств монотонности.

Оглавление

Глава 1. Повторение основных понятий и свойств функций, изучаемых в школе.

Глава 2. Самостоятельное изучение свойств тригонометрических и обратных к ним функций, показательных и логарифмических функций.

Глава 3. Преобразование графиков функций.

Глава 4. Построение графиков сложных функций на основе свойств монотонности.

Глава 5. Выработка алгоритма построения сложных функций, состоящего из композиции двух и более функций.

Заключение.

Литература.

1. ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

На основе повторения материала школьной программы я выделил для себя следующие основные понятия.

Функция является одним из основных понятий математического анализа. Приведу ее основные понятия и свойства.

Функция - зависимость переменной Y от переменной X, если каждому значению X соответствует единственное значение Y.

Переменная X - независимая переменная или аргумент.

Переменная Y – зависимая переменная.

Значение функции - значение Y, соответствующее заданному значению X.

Свойства функций:

1. Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная.
2. Область значений функции (множество значений) - все значения, которые принимает функция.
3. Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (x) = f (-x). График четной функции симметричен относительно оси ОY.
4. Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (-x) = - f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
5. Функция у = f (х) называется возрастающей на промежутке x, если для любых x1 и x2 из x, таких, что x2 > x1, выполняется неравенство

f (х2) > f (x1) .

6. Функция у = f (х) называется убывающей на промежутке x, если для любых х1 и х2 из х, таких, что x2 > x1, выполняется неравенство

f (х2) < f (х1).

7. Монотонная функция это функция, приращение которой не меняет знака, т.е. либо всегда неотрицательно, либо всегда не положительно.

8. Периодическая функция это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям ее аргумента некоторого не равного нулю числа Т. Число Т называется периодом функции у = f (х).

2. ФУНКЦИИ, ИЗУЧАЕМЫЕ В ШКОЛЕ

Вспомнил свойства и графики некоторых основных простейших элементарных функций.

I. Линейная функция - это функция, которая задана формулой y = kx + b,

где k и b-действительные числа [1].

Свойства линейной функции y = kx + b:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел.
2. Четность: функция y = kx + b общего вида, т.е. ни четна, ни нечетна.
3. Монотонность функции: при k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.
4. Графиком линейной функции y = kx + b является прямая.

II. Прямая пропорциональность - это функция, которая задана формулой

y = kx,   где .

Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Свойства функции y = kx:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел.
2. Четность: функция y = kx – нечетная, f(-x) = k(-x) = - kx = - f(x).
3. Монотонность функции: при k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.
4. Графиком функции y = kx является прямая, проходящая через начало координат.

III. Квадратичная функция, это функция, которая задана формулой y = x2.

Свойства квадратичной функции y = x2:

1. Область определения функции: вся числовая прямая.
2. Четность: функция y = x2 – четная, f(-x) = (-x)2= x2 = f(x).
3. Монотонность функции: на промежутке [0;+) функция возрастает, а на промежутке (-;0] функция убывает.
4. Графиком квадратичной функции y = x2 является парабола.

IV. Кубическая функция, это функция, которая задана формулой y = x3.

Свойства кубической функции y = x3:

1. Область определения функции: вся числовая прямая.
2. Четность: функция y = x3 – нечетная, f(-x) = (-x)3= - x3 = - f(x).
3. Монотонность функции: возрастает на всей числовой прямой.
4. Графиком функции y = x3 является кубическая парабола.

V. Обратной пропорциональностью называется функция, которая задана формулой , где . Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Свойства функции:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел, кроме 0.
2. Четность: функция  - нечетная, .
3. Монотонность функции: если k > 0, то функция  убывает на промежутке (0;+) и на промежутке (-;0).  Если k < 0, то функция  возрастает на промежутке (-;0) и на промежутке (0;+ ).
4. Графиком функции обратной пропорциональности является гипербола.

VI. Квадратичная функция, это функция, которая задана формулой

y = ax2 + bx + c, где a, b, с – постоянные, .

Свойства функции y = ax2 + bx + c:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел, кроме 0.
2. Четность: при b=0 – функция четная, при  -   ни четная, ни нечетная.
3. Монотонность функции:  если a > 0, то функция y = ax2 + bx + c  убывает на промежутке (-;-] и возрастает на промежутке [-;+).  Если a < 0, то функция y = ax2 + bx + c  возрастает на промежутке (-;-] и убывает на промежутке [-;+).  
4. Графиком функции y = ax2 + bx + c   является - парабола.

VII. Функция y = |x|. Графиком являются биссектрисы первого и второго координатных углов.

Свойства функции y = |x|:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел.
2. Четность: функция y = |x|  - четная, f (-x) = |-x| = |x| = f (x).
3. Монотонность функции: на промежутке [0;+) функция возрастает, а на промежутке (-;0] функция убывает.
4. График функции y = |x|   симметричен относительно оси ординат.

VIII. Функция  y = .

Свойства функции y = :          

1. Область определения функции: [0;+ ∞).
2. Четность: функция ни четна, ни нечетна.
3. Монотонность функции: возрастает на луче  [0;+ ∞).  
4. График расположен в первой координатной четверти.

А также самостоятельно изучил свойства и графики тригонометрических, обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций.

IX. Тригонометрическая функция задана формулой y = sin x [2].

Свойства функции y = sin x:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел,         - < x < +.
2. Четность: функция y = sin x – нечетная, sin (-x) = -sin x.
3. Монотонность функции: функция возрастает от -1 до 1 на промежутках: , n  Z; функция убывает от 1 до -1 на промежутках:  , n  Z.
4. Графиком функции y = sin x   является синусоида.

X. Тригонометрическая функция задана формулой y = cos x.

Свойства функции y = cos x:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел,

- < x < +.

2. Четность: функция y = cos x  - четная,  cos (-x) = cos x.
3. Монотонность функции: функция возрастает от -1 до 1 на промежутках:, n  Z; функция убывает от 1 до -1 на промежутках:, n  Z.
4. Графиком функции y = cos x  является косинусоида.

XI. Тригонометрическая функция задана формулой y = tg x.

Свойства функции y = tg x:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел, кроме чисел x =  + n, n  Z.
2. Четность: функция y = tg x  - нечетная, tg (-x) = - tg x для всех х из области определения.
3. Монотонность функции: функция возрастает на промежутках:, n  Z.

4.  Графиком функции y = tg x   является тангенсоида.

XII. Тригонометрическая функция задана формулой y = ctg x.

Свойства функции y = ctg x:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел, кроме чисел x=n, n  Z.
2. Четность: функция y = ctg x  - нечетная, ctg (-x) = - ctg x для всех х из области определения.
3. Монотонность функции:

- функция убывает на каждом из промежутков:, n  Z.

4. Графиком функции y = ctg x   является  котангенсоида.

XIII. Обратная тригонометрическая функция задана формулой y = arcsin x.

Функция является обратной для функции y = sin x. Свойства функции:

1. Область определения функции: х  . Область значений: .
2. Четность: функция y = arcsin x  - нечетная, arcsin (- x)= - arcsin x.
3. Монотонность функции: функция возрастает на всей области определения.
4. График функции y = arcsin x  получается из графика функции y = sin x, построенного на промежутке  отображением относительно прямой у = х.

XIV. Обратная тригонометрическая функция задана формулой y = arccos x.

Свойства функции y = arccos x. Эта функция является обратной для функции y = cosx.

1. Область определения функции: х  . Область значений:.
2. Четность: функция y = arccos x  - ни четная, ни нечетная,

arccos (- x)  arccos x.

3. Монотонность функции: функция убывает на всей области определения.
4. График функции y = arccos x   получается из графика функции y = cos x, построенного на промежутке  отображением относительно прямой у = х.

XV. Функция y =arctg x.

Эта функция является обратной для функции y = tg x. Свойства функции y = arctg x:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел. Область значений .
2. Четность: функция y = arctg x  - нечетная, arctg (- x)= - arctg x.
3. Монотонность функции: возрастает на всей области определения.
4. Асимптоты функции Y= . График функции y = arctg x   получается из графика функции y = tg x, построенного на промежутке  отображением относительно прямой у = х.

XVI. Функция  y = arcctg x. Она является обратной для функции y = сtg x.

Свойства функции y = arcctg x:

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел. Область значений .
2. Четность: функция y = arcctg x  - ни четная, ни нечетная.
3. Монотонность функции: убывает на всей числовой оси.
4. Асимптоты функции Y = 0, Y = . График функции y = arcctg x   получается из графика функции y = ctg x, построенного на промежутке  отображением относительно прямой у = х.

XVII. Показательная функция задана формулой y = ax, где a – постоянное положительное число, х – любые действительные значения. Свойства функции y = ax:

1. Область определения функции: - ∞ < x < + ∞ (т.е. x  R).
2. Четность: функция y = ax  - ни четная, ни нечетная.
3. Монотонность функции: возрастает при  а > 1 и убывает при 0 < a < 1 на всей области определения.
4. Асимптоты функции Y = 0.

XVIII. Логарифмическая функция задана формулой y=logax, где a – постоянное положительное число, . Является обратной к показательной функции.

Свойства функции y=logax:

1. Область определения функции: х  > 0.
2. Четность: функция y=logax - ни четная, ни нечетная.
3. Монотонность функции: возрастает при а > 1 и убывает при 0 < a < 1.
4. Графиком функции y=logax является поворот графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

XIX. Логарифмическая функция задана формулой y=lg x.

Свойства функции y=lg x:

1. Область определения функции: от (0; + ∞).
2. Четность: функция y=lg x - ни четная, ни нечетная.
3. Монотонность функции: возрастает на (0; + ∞).
4. Графиком функции y=lg x является поворот графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

XX. Логарифмическая функция задана формулой y=ln x.

Свойства функции y=ln x:

1. Область определения функции: от (0; + ∞).
2. Четность: функция y=ln x  - ни четная, ни нечетная.
3. Монотонность функции: возрастает на (0; + ∞).
4. Графиком функции y=ln x является поворот графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Рассмотрел способы преобразования функций вдоль осей координат: параллельный перенос, отображение, растяжение и сжатие.

1. График функции y = f(x)+b получается из графика функции  y =  f(x) параллельным переносом вдоль оси y вверх, если b > 0,  вниз, если b < 0 [3].

2. График функции y = f(x–a) получается из графика функции  y =  f(x) параллельным переносом вдоль оси x на а единичных отрезков вправо, если a > 0, влево, если a < 0.

3. График функции y = |f (x)| получается из графика функции  y =  f (x) отображением графика из нижней полуплоскости в верхнюю. Например, y = |x2 -2x|.

4. Чтобы построить график функции y = f (|x|), надо построить график функции           y =  f (x) для x ≥ 0 и отобразить его относительно оси y.

Например, y = x2 – |x| - 2. Это тоже самое, что y = |x|2 – |x| - 2.

Построим график функции y = x2 – x – 2 для x  ≥ 0 и отобразим в левую полуплоскость.

5. График функции y = k f (x) получается из графика функции  y =  f (x) растяжением вдоль оси y в k раз, если k > 1. Например, y = 2x2.

6. График функции y = f (x) получается из графика функции  y =  f (x) сжатием к оси x в k раз. Например, y = x2.

7. График функции y = f() получается из графика функции  y = f(x) растяжением вдоль оси x в k раз. Например, y = sin .

8. График функции y = f (kx) получается из графика функции  y =  f (x) сжатием вдоль оси x в k раз. Например, y = sin2x.

4.ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

 НА ОСНОВЕ СВОЙСТВ МОНОТОННОСТИ

После этого приступил к построению графиков сложных функций. Свои исследования заносил в таблицы с построением схематичных графиков. Приведу шесть наиболее интересных примеров построения графиков сложных функций.

1. График функции  y = arctg 2x [4]. Эта функция является композицией двух функций, внутренней v=v(x) - функция v=2x и внешней y=y(v) - функция y=arctgv.

Внутренняя функция является строго возрастающей: при возрастании x           от - ∞ до + ∞ v (x) возрастает от 0 до + ∞ [5]. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v  соответствует возрастание y от 0 до .

Следовательно, при возрастании x от - ∞ до + ∞ y возрастает от 0 до . Прямые y = 0 и y =  - горизонтальные асимптоты.

Для более точного построения графика я находил контрольные точки, выбирая такие значения аргумента x, при которых легко вычислить точные значения y(х). В данном примере, контрольной точкой является (0;).

2. График функции .  Эта функция является композицией двух функций, внутренней v = v (x) -  функция v = и внешней  y = y (v) -  функция y = .

Промежутки монотонности внутренней функции: (-∞;0) и (0;+∞).

При возрастании  x1  от - ∞ до 0  v (x) убывает от 0 до - ∞. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v1 соответствует убывание y1 от 1 до 0.

При возрастании  x2  от 0 до + ∞ v (x) убывает от + ∞ до 0. Такому изменению v2 соответствует убывание y2 от +∞ до 1. В системе координат XOY для x  (-∞;0) и (0;+∞) чертим соответствующие кривые.

Если x2 возрастает от 0 до +∞, то v2 (x) убывает от +∞ до 0, y2 убывает от +∞ до 1. Если  x1 возрастает от -∞ до 0, то v1 (x) убывает от 0 до -∞, y1 убывает от 1 до 0. Контрольные точки y (x): (1;2), (0,5;4), (-1;).

3. График функции . Функция четная.

Эта функция является композицией двух функций, внутренней v = v (x) - функция v =x2+1 и внешней  y = y (v) - функция y = .

При возрастании x1 от 0 до +∞ v(x) возрастает от 1 до +∞. По графику внешней функции определяем, что такому  изменению v1 соответствует убывание y1 от 1 до 0.

При возрастании x2от -∞ до 0 v(x) убывает от +∞ до 1, такому  изменению v2 соответствует возрастание y2 от 0 до 1.

В системе координат XOY изображаем график функции  y = y(x) при x0. Используя четность функции v(x) изобразим график функции  y = y(x) при x0 .

Контрольные точки y(x): (1;0,5), (-1;0,5).

4. График функции y=ln (x2 - 3x + 2). Эта функция является композицией двух функций, внутренней v = v (x) - функция v = x2 - 3x + 2 и внешней  y = y (v) - функция y = ln v.

Определим  интервалы внутренней функции:

x2 - 3x + 2>0

(x-1)(x-2)>0

D (v) = (- ∞;1)  (2;+∞).

При  возрастании x1 от -∞ до 1 v(x) убывает от +∞ до 0. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v1соответствует убывание y от +∞ до -∞.

При x [1;2]  v (x)  0, функция y = f (v(x)) при этих значениях x не определена.

При  возрастании x2 от 2 до +∞ v (x) возрастает от 0 до +∞. Такому изменению v2 соответствует возрастание y от -∞ до +∞.

В системе координат XOY изображаем график функции y=ln (x2 - 3x + 2). По графику видно, что область определения сложной функции y = f(v(x)) уже области определения внутренней функции. Контрольные точки y (x): (0,5;-0,3), (2,5;-0,3), (6;3), (-3;3).

5. График функции y=arctg ln x. D (y) = (0;+ ∞).

Эта функция является композицией двух функций, внутренней v = v (x) - функция v = ln x и внешней  y = y (v) - функция y = arctg v .

При  возрастании x от 0 до +∞ v (x) возрастает от -∞ до +∞. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v соответствует возрастание     y от - до +. В системе координат XOY изображаем график функции y=arctg ln x.

Контрольная точка функции y (x): (1; 0).

6. График функции y = arctg , где х0. Функция нечетная. Значит, построим график функции при х>0 и отобразим относительно (0;0). Эта функция является композицией двух функций, внутренней v = v (x) - функция v = и внешней y =y (v) -  функция y = arctg v .

Промежутки монотонности внутренней функции: (- ∞;0)  (0;+∞).

При  возрастании x от 0 до +∞ v (x) убывает от +∞ до 0. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v соответствует убывание y от + до 0.

При  возрастании x от -∞ до 0 v (x) убывает от 0 до - ∞. Следовательно, такому изменению v соответствует убывание y от 0 до -.

В системе координат XOY изображаем график функции  y = y (x). Контрольные точки y (x): (1; ), (; ), (;).

5. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Таким образом, я самостоятельно построил более 15 графиков сложных функций. На основе полученных результатов составил простую схему построения графика сложной функции y=f (v (x)), т.е. выработал свой алгоритм:

1. начертить графики внутренней v = v(x) и внешней y = f(v) функций и систему координат XOY;

               2. определить промежутки монотонности внутренней функции v = v(x);

        3. определить промежутки монотонности внешней функции y = f(v);

               4. на каждом промежутке определить границы изменения v = v(x) и выбрать те значения v(x), которые попадают в область определения функции       y = f (v);

               5. по графику внешней функции y = f(v) найти характер изменения функции y;

               6. построить график сложной функции в системе координат XOY с учетом промежутков монотонности х, y и контрольных точек.

Работая по этой схеме, мне стало легче читать графики сложных функций.

Но я на этом не остановился, а стал составлять функции, представляющие собой композицию 3-х функций. Приведу один пример.

График функции .

Эта функция является композицией трех функций:  внутренней №1 u = u (x), это функция u = x2-4x+3,  внутренней №2 v = v (u), это функция v = , внешней           y = y (v), это функция y = 2v.

Найдем область определения внутренней функции №1: (x-3)(x-1)>0 для любого значения x.

x2 - 4x + 30, x3,  x1, х=1, х=3 – точки разрыва. Функция четная.

В связи с тем, что внешняя функция y=2v>0 на всей области определения, то график сложной функции будет расположен в верхней полуплоскости.

По графику внутренней функции u(x)=x2-4x+3 определяю промежутки монотонности и отмечаю их границы изменения на графике , выбирая те значения, которые попадают в область определения функции v (x).

Получается, что если x возрастает от [2; +∞), то v (x) убывает от [-1; -∞)  (+ ∞;0), и если x возрастает от (-∞; 2], то v (x) возрастает от (0;+∞)  (-∞;-1]. Отсюда график функции v (х) представлен в виде трех кривых, расположенных в верхней и нижней полуплоскостях.

Аналогично определим промежутки монотонности внешней функции y (v). Так как она является строго возрастающей, следовательно, при возрастании v от -∞ до +∞ y возрастает на промежутке (1;+∞).

Итак, по графику внешней функции y (v) видим, что при возрастание v на промежутках (0;+ ∞)  (-∞;-1] y возрастает на (1;+ ∞)  (0;], а при убывании v на промежутках [-1; -∞)  (+ ∞;0) y убывает  [;0)  (+ ∞;1). Отсюда чертим график y(x). Контрольные точки: (1;0), (2;),  (3;0).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, я

- повторил простейшие элементарные функции, их свойства и графики,

- рассмотрел способы преобразования функций вдоль осей координат,

- научился составлять и строить графики сложных функций, представляющих собой композицию двух функций,

- выработал алгоритм построения графиков сложных функций,

-приступил к построению графика сложной функции, представляющего собой композицию трех функций.

Цель достигнута. Следуя намеченному плану, я получил представление о сложных функциях, научился элементарными способами строить их графики и даже выработал алгоритм, используя который, мне стало легче проводить исследование и соответственно строить графики сложных функций, состоящих из композиции двух и более функций.

Считаю, что данный алгоритм будет служить учащимся основой для построения графиков сложных функций и в дальнейшем, используя эти умения, это позволит, глядя на формулу функции, сразу нарисовать ее эскиз. В этом направлении я в настоящее время и работаю.

Презентация проектного продукта была представлена на ознакомление одноклассникам, которые на примере рассмотренных сложных функций смогли оценить пользу выработанного мною алгоритма для построения сложных функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра:Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковская. -6-е изд. – М.: Просвещение, 1999. – 271 с.

2. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений/ (А.Н.Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.); под ред. А.Н.Колмогорова.- 17 изд. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с.

3. Евдокимова Н.Н. Алгебра и начала анализа в таблицах и схемах. – СПб.: Издательский Дом «Литера», 2008. – 96 с.

4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1977.-528 с.

5. Гусев В.А., Мордкович А.Г.  Математика: Справ. материалы: Кн. Для учащихся.-М.: Просвещение, 1988. – 416 с.