В ходе изучения в школе простейших элементарных функций я заинтересовался сложными. Что это за функции и как их построить самому? Изучив основные свойства функций и способы их преобразования вдоль осей координат, я приступил к построению сложных функций, состоящих из композиции двух и более функций. Выработал алгоритм построения графиков сложных функций на основе свойств монотонности, который позволит учащимся, глядя на формулу функции, сразу нарисовать ее эскиз.
Вложение | Размер |
---|---|
proekt.doc | 557.5 КБ |
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. Новокузнецк
средняя образовательная школа №56
«ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ»
Автор проекта: Явецкий Константин Дмитриевич
Ученик 11А класса
Руководитель проекта:
Тютикова Ирина Александровна,
Учитель математики
г. Новокузнецк
2024 г.
В ходе изучения в школе простейших элементарных функций, я столкнулся с понятием сложных функций. Ведь такие функции не изучаются в объеме школьной программы. И у меня сразу возник вопрос. А что это за функции и как их можно построить самому? Я прочитал много литературы на эту тему и выделил для себя главную цель – это преобразование графиков сложных функций и выработка простого алгоритма для построения сложных функций на основе свойств монотонности.
Основные задачи:
1. повторить свойства простейших элементарных функций;
2. рассмотреть способы преобразования функций вдоль осей координат;
3. научиться строить сложные функции по промежуткам монотонности и уметь их читать;
4.выработать алгоритм построения сложных функций, состоящий из композиции двух и более функций.
Я повторил свойства простейших элементарных функций, их графики и способы преобразования. В связи с тем, что работу над проектом начал еще в 9 классе, я самостоятельно по учебникам старших классов изучил свойства тригонометрических и обратных к ним функций, показательные и логарифмические функции, их графики и способы преобразования. После этого приступил к построению графиков сложных функций. Определяя промежутки монотонности сложных функций, состоящих из композиции двух функций, именуемых внутренней и внешней, я приступил к их построению. Свои исследования оформлял в виде таблиц с построением схематических графиков. По полученным данным отмечал границы изменения внутренней и внешней функций и находил характер изменения сложной функции. Отмечая полученные результаты в системе координат, и используя контрольные точки, приступал к построению графика сложной функции. На основании исследований и построения графиков более простых композиций сложных функций я выработал алгоритм построения графиков сложных функций на основе свойств монотонности.
Оглавление
Глава 1. Повторение основных понятий и свойств функций, изучаемых в школе.
Глава 2. Самостоятельное изучение свойств тригонометрических и обратных к ним функций, показательных и логарифмических функций.
Глава 3. Преобразование графиков функций.
Глава 4. Построение графиков сложных функций на основе свойств монотонности.
Глава 5. Выработка алгоритма построения сложных функций, состоящего из композиции двух и более функций.
Заключение.
Литература.
1. ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
На основе повторения материала школьной программы я выделил для себя следующие основные понятия.
Функция является одним из основных понятий математического анализа. Приведу ее основные понятия и свойства.
Функция - зависимость переменной Y от переменной X, если каждому значению X соответствует единственное значение Y.
Переменная X - независимая переменная или аргумент.
Переменная Y – зависимая переменная.
Значение функции - значение Y, соответствующее заданному значению X.
Свойства функций:
f (х2) > f (x1) .
f (х2) < f (х1).
7. Монотонная функция это функция, приращение которой не меняет знака, т.е. либо всегда неотрицательно, либо всегда не положительно.
8. Периодическая функция это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям ее аргумента некоторого не равного нулю числа Т. Число Т называется периодом функции у = f (х).
2. ФУНКЦИИ, ИЗУЧАЕМЫЕ В ШКОЛЕ
Вспомнил свойства и графики некоторых основных простейших элементарных функций.
I. Линейная функция - это функция, которая задана формулой y = kx + b,
где k и b-действительные числа [1].
Свойства линейной функции y = kx + b:
II. Прямая пропорциональность - это функция, которая задана формулой
y = kx, где .
Число k называется коэффициентом пропорциональности.
Свойства функции y = kx:
III. Квадратичная функция, это функция, которая задана формулой y = x2.
Свойства квадратичной функции y = x2:
IV. Кубическая функция, это функция, которая задана формулой y = x3.
Свойства кубической функции y = x3:
V. Обратной пропорциональностью называется функция, которая задана формулой , где . Число k называется коэффициентом пропорциональности.
Свойства функции:
VI. Квадратичная функция, это функция, которая задана формулой
y = ax2 + bx + c, где a, b, с – постоянные, .
Свойства функции y = ax2 + bx + c:
VII. Функция y = |x|. Графиком являются биссектрисы первого и второго координатных углов.
Свойства функции y = |x|:
VIII. Функция y = .
Свойства функции y = :
А также самостоятельно изучил свойства и графики тригонометрических, обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций.
IX. Тригонометрическая функция задана формулой y = sin x [2].
Свойства функции y = sin x:
X. Тригонометрическая функция задана формулой y = cos x.
Свойства функции y = cos x:
- < x < +.
XI. Тригонометрическая функция задана формулой y = tg x.
Свойства функции y = tg x:
4. Графиком функции y = tg x является тангенсоида.
XII. Тригонометрическая функция задана формулой y = ctg x.
Свойства функции y = ctg x:
- функция убывает на каждом из промежутков:, n Z.
XIII. Обратная тригонометрическая функция задана формулой y = arcsin x.
Функция является обратной для функции y = sin x. Свойства функции:
XIV. Обратная тригонометрическая функция задана формулой y = arccos x.
Свойства функции y = arccos x. Эта функция является обратной для функции y = cosx.
arccos (- x) arccos x.
XV. Функция y =arctg x.
Эта функция является обратной для функции y = tg x. Свойства функции y = arctg x:
XVI. Функция y = arcctg x. Она является обратной для функции y = сtg x.
Свойства функции y = arcctg x:
XVII. Показательная функция задана формулой y = ax, где a – постоянное положительное число, х – любые действительные значения. Свойства функции y = ax:
XVIII. Логарифмическая функция задана формулой y=logax, где a – постоянное положительное число, . Является обратной к показательной функции.
Свойства функции y=logax:
XIX. Логарифмическая функция задана формулой y=lg x.
Свойства функции y=lg x:
XX. Логарифмическая функция задана формулой y=ln x.
Свойства функции y=ln x:
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Рассмотрел способы преобразования функций вдоль осей координат: параллельный перенос, отображение, растяжение и сжатие.
1. График функции y = f(x)+b получается из графика функции y = f(x) параллельным переносом вдоль оси y вверх, если b > 0, вниз, если b < 0 [3].
2. График функции y = f(x–a) получается из графика функции y = f(x) параллельным переносом вдоль оси x на а единичных отрезков вправо, если a > 0, влево, если a < 0.
3. График функции y = |f (x)| получается из графика функции y = f (x) отображением графика из нижней полуплоскости в верхнюю. Например, y = |x2 -2x|.
4. Чтобы построить график функции y = f (|x|), надо построить график функции y = f (x) для x ≥ 0 и отобразить его относительно оси y.
Например, y = x2 – |x| - 2. Это тоже самое, что y = |x|2 – |x| - 2.
Построим график функции y = x2 – x – 2 для x ≥ 0 и отобразим в левую полуплоскость.
5. График функции y = k f (x) получается из графика функции y = f (x) растяжением вдоль оси y в k раз, если k > 1. Например, y = 2x2.
6. График функции y = f (x) получается из графика функции y = f (x) сжатием к оси x в k раз. Например, y = x2.
7. График функции y = f() получается из графика функции y = f(x) растяжением вдоль оси x в k раз. Например, y = sin .
8. График функции y = f (kx) получается из графика функции y = f (x) сжатием вдоль оси x в k раз. Например, y = sin2x.
4.ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
НА ОСНОВЕ СВОЙСТВ МОНОТОННОСТИ
После этого приступил к построению графиков сложных функций. Свои исследования заносил в таблицы с построением схематичных графиков. Приведу шесть наиболее интересных примеров построения графиков сложных функций.
1. График функции y = arctg 2x [4]. Эта функция является композицией двух функций, внутренней v=v(x) - функция v=2x и внешней y=y(v) - функция y=arctgv.
Значение X | Значение V | Значение Y |
х возрастает на промежутке (- ∞;+ ∞). | v = v (x) = 2x v возрастает на промежутке (0;+ ∞). | y = y (v) = arctg v y возрастает на промежутке (0;+). |
Внутренняя функция является строго возрастающей: при возрастании x от - ∞ до + ∞ v (x) возрастает от 0 до + ∞ [5]. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v соответствует возрастание y от 0 до .
Следовательно, при возрастании x от - ∞ до + ∞ y возрастает от 0 до . Прямые y = 0 и y = - горизонтальные асимптоты.
Для более точного построения графика я находил контрольные точки, выбирая такие значения аргумента x, при которых легко вычислить точные значения y(х). В данном примере, контрольной точкой является (0;).
2. График функции . Эта функция является композицией двух функций, внутренней v = v (x) - функция v = и внешней y = y (v) - функция y = .
Промежутки монотонности внутренней функции: (-∞;0) и (0;+∞).
При возрастании x1 от - ∞ до 0 v (x) убывает от 0 до - ∞. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v1 соответствует убывание y1 от 1 до 0.
При возрастании x2 от 0 до + ∞ v (x) убывает от + ∞ до 0. Такому изменению v2 соответствует убывание y2 от +∞ до 1. В системе координат XOY для x (-∞;0) и (0;+∞) чертим соответствующие кривые.
Если x2 возрастает от 0 до +∞, то v2 (x) убывает от +∞ до 0, y2 убывает от +∞ до 1. Если x1 возрастает от -∞ до 0, то v1 (x) убывает от 0 до -∞, y1 убывает от 1 до 0. Контрольные точки y (x): (1;2), (0,5;4), (-1;).
3. График функции . Функция четная.
Эта функция является композицией двух функций, внутренней v = v (x) - функция v =x2+1 и внешней y = y (v) - функция y = .
Значение X | Значение V | Значение Y |
x1 возрастает на промежутке (0;+∞), x2 возрастает на промежутке (- ∞;0). | v = v (x) = x2+1 v1 возрастает на промежутке (1;+ ∞), v2 убывает от + ∞ до 1. | y = y (v) = y1 убывает на промежутке от 1 до 0, y2 возрастает на промежутке от 0 до 1. |
При возрастании x1 от 0 до +∞ v(x) возрастает от 1 до +∞. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v1 соответствует убывание y1 от 1 до 0.
При возрастании x2от -∞ до 0 v(x) убывает от +∞ до 1, такому изменению v2 соответствует возрастание y2 от 0 до 1.
В системе координат XOY изображаем график функции y = y(x) при x0. Используя четность функции v(x) изобразим график функции y = y(x) при x0 .
Контрольные точки y(x): (1;0,5), (-1;0,5).
4. График функции y=ln (x2 - 3x + 2). Эта функция является композицией двух функций, внутренней v = v (x) - функция v = x2 - 3x + 2 и внешней y = y (v) - функция y = ln v.
Определим интервалы внутренней функции:
x2 - 3x + 2>0
(x-1)(x-2)>0
D (v) = (- ∞;1) (2;+∞).
Значение X | Значение V | Значение Y |
x1 возрастает на промежутке (- ∞;1), x2 возрастает на промежутке (2;+∞). | v = v (x) = x2 - 3x + 2 v1 убывает на промежутке (+ ∞;0), v2 возрастает на промежутке (0;+ ∞). | y = y (v) = ln v y1 убывает на промежутке (+ ∞;-∞), y2 возрастает на промежутке (- ∞;+∞). |
При возрастании x1 от -∞ до 1 v(x) убывает от +∞ до 0. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v1соответствует убывание y от +∞ до -∞.
При x [1;2] v (x) 0, функция y = f (v(x)) при этих значениях x не определена.
При возрастании x2 от 2 до +∞ v (x) возрастает от 0 до +∞. Такому изменению v2 соответствует возрастание y от -∞ до +∞.
В системе координат XOY изображаем график функции y=ln (x2 - 3x + 2). По графику видно, что область определения сложной функции y = f(v(x)) уже области определения внутренней функции. Контрольные точки y (x): (0,5;-0,3), (2,5;-0,3), (6;3), (-3;3).
5. График функции y=arctg ln x. D (y) = (0;+ ∞).
Эта функция является композицией двух функций, внутренней v = v (x) - функция v = ln x и внешней y = y (v) - функция y = arctg v .
Значение X | Значение V | Значение Y |
x возрастает на промежутке (0;+ ∞). | v = v (x) = v=lnx v возрастает на промежутке на (-∞; +∞). | y = y (v) = arctg v y возрастает на промежутке (-;+). |
При возрастании x от 0 до +∞ v (x) возрастает от -∞ до +∞. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v соответствует возрастание y от - до +. В системе координат XOY изображаем график функции y=arctg ln x.
Контрольная точка функции y (x): (1; 0).
6. График функции y = arctg , где х0. Функция нечетная. Значит, построим график функции при х>0 и отобразим относительно (0;0). Эта функция является композицией двух функций, внутренней v = v (x) - функция v = и внешней y =y (v) - функция y = arctg v .
Значение X | Значение V | Значение Y |
x1 возрастает на промежутке (0;+∞), x2 возрастает на промежутке (- ∞;0). | v = v (x) = v1 убывает на промежутке (+ ∞;0), v2 убывает на промежутке (0;- ∞). | y = y (v) = arctg v y1 убывает на промежутке (+;0), y2 убывает на промежутке (0;-). |
Промежутки монотонности внутренней функции: (- ∞;0) (0;+∞).
При возрастании x от 0 до +∞ v (x) убывает от +∞ до 0. По графику внешней функции определяем, что такому изменению v соответствует убывание y от + до 0.
При возрастании x от -∞ до 0 v (x) убывает от 0 до - ∞. Следовательно, такому изменению v соответствует убывание y от 0 до -.
В системе координат XOY изображаем график функции y = y (x). Контрольные точки y (x): (1; ), (; ), (;).
Таким образом, я самостоятельно построил более 15 графиков сложных функций. На основе полученных результатов составил простую схему построения графика сложной функции y=f (v (x)), т.е. выработал свой алгоритм:
1. начертить графики внутренней v = v(x) и внешней y = f(v) функций и систему координат XOY;
2. определить промежутки монотонности внутренней функции v = v(x);
3. определить промежутки монотонности внешней функции y = f(v);
4. на каждом промежутке определить границы изменения v = v(x) и выбрать те значения v(x), которые попадают в область определения функции y = f (v);
5. по графику внешней функции y = f(v) найти характер изменения функции y;
6. построить график сложной функции в системе координат XOY с учетом промежутков монотонности х, y и контрольных точек.
Работая по этой схеме, мне стало легче читать графики сложных функций.
Но я на этом не остановился, а стал составлять функции, представляющие собой композицию 3-х функций. Приведу один пример.
График функции .
Эта функция является композицией трех функций: внутренней №1 u = u (x), это функция u = x2-4x+3, внутренней №2 v = v (u), это функция v = , внешней y = y (v), это функция y = 2v.
Найдем область определения внутренней функции №1: (x-3)(x-1)>0 для любого значения x.
x2 - 4x + 30, x3, x1, х=1, х=3 – точки разрыва. Функция четная.
В связи с тем, что внешняя функция y=2v>0 на всей области определения, то график сложной функции будет расположен в верхней полуплоскости.
Значение X | Значение V, внутренняя №2 | Значение Y, внешняя |
x1 возрастает на [2; +∞), x2 возрастает на (-∞;2]. | v = v (u) = v1 убывает на [-1; -∞) (+ ∞;0), v2 возрастает на | y = y (v) = 2v y1 убывает [;0) (+ ∞;1), y2 возрастает (1;+ ∞) (0;]. |
По графику внутренней функции u(x)=x2-4x+3 определяю промежутки монотонности и отмечаю их границы изменения на графике , выбирая те значения, которые попадают в область определения функции v (x).
Получается, что если x возрастает от [2; +∞), то v (x) убывает от [-1; -∞) (+ ∞;0), и если x возрастает от (-∞; 2], то v (x) возрастает от (0;+∞) (-∞;-1]. Отсюда график функции v (х) представлен в виде трех кривых, расположенных в верхней и нижней полуплоскостях.
Аналогично определим промежутки монотонности внешней функции y (v). Так как она является строго возрастающей, следовательно, при возрастании v от -∞ до +∞ y возрастает на промежутке (1;+∞).
Итак, по графику внешней функции y (v) видим, что при возрастание v на промежутках (0;+ ∞) (-∞;-1] y возрастает на (1;+ ∞) (0;], а при убывании v на промежутках [-1; -∞) (+ ∞;0) y убывает [;0) (+ ∞;1). Отсюда чертим график y(x). Контрольные точки: (1;0), (2;), (3;0).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, я
- повторил простейшие элементарные функции, их свойства и графики,
- рассмотрел способы преобразования функций вдоль осей координат,
- научился составлять и строить графики сложных функций, представляющих собой композицию двух функций,
- выработал алгоритм построения графиков сложных функций,
-приступил к построению графика сложной функции, представляющего собой композицию трех функций.
Цель достигнута. Следуя намеченному плану, я получил представление о сложных функциях, научился элементарными способами строить их графики и даже выработал алгоритм, используя который, мне стало легче проводить исследование и соответственно строить графики сложных функций, состоящих из композиции двух и более функций.
Считаю, что данный алгоритм будет служить учащимся основой для построения графиков сложных функций и в дальнейшем, используя эти умения, это позволит, глядя на формулу функции, сразу нарисовать ее эскиз. В этом направлении я в настоящее время и работаю.
Презентация проектного продукта была представлена на ознакомление одноклассникам, которые на примере рассмотренных сложных функций смогли оценить пользу выработанного мною алгоритма для построения сложных функций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебра:Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковская. -6-е изд. – М.: Просвещение, 1999. – 271 с.
2. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений/ (А.Н.Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.); под ред. А.Н.Колмогорова.- 17 изд. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с.
3. Евдокимова Н.Н. Алгебра и начала анализа в таблицах и схемах. – СПб.: Издательский Дом «Литера», 2008. – 96 с.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1977.-528 с.
5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. Для учащихся.-М.: Просвещение, 1988. – 416 с.
Лесная сказка о том, как согреться холодной осенью
Зимний дуб
Пока бьют часы
Астрономы получили первое изображение черной дыры
Развешиваем детские рисунки дома