Разработки уроков в старшей школе (ФГОС)

Тема: Построение таблиц истинности.

Цель: Приобретение учащимися опыта логического мышления при решении задач с использованием таблиц истинности.

Мотивационная часть.

«Тысячи путей ведут к заблуждению, к истине — только один» Ж. Ж. Руссо.

Решать логические задачи – это значит найти истинное высказывание, соответствующее правильному ответу на поставленный вопрос.

Обучающимся предлагается определить цвет и марку автомобиля, на котором скрылся преступник. Если известно следующая информация: Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. В ходе следствия Браун сказал, что преступники были на синем "Бьюике", Джонс сказал, что это был черный "Крайслер", Смит утверждал, что это был "Форд", но не синий. Каждый указал неправильно либо марку, либо цвет автомобиля.

Обучающиеся, скорее всего, будут просто угадывать. Свои предполагаемые ответы записывают в тетрадь. Решая эту задачу дома, методом, который мы разберём сегодня, вы сравните полученные ответы.

Структура содержания

Высказывания и их взаимосвязи в задаче бывают очень сложными, так что разобраться в них без специального аппарата достаточно сложно.

Одним из мощных методов решения логических задач является решение с помощью таблиц истинности.

Этот способ предполагает составление логического выражения, удовлетворяющего всем условиям задачи, построение таблицы истинности  и дальнейший анализ этой таблицы.

Для решения логических задач таким методом, необходимо (алгоритм демонстрируется ч/з экран или возможно как раздаточный материал):

1. изучить условие;
2. выделить простые высказывания и обозначить их с помощью латинских букв;
3. записать условие задачи, используя  аппарат символьной логики, соединить простые высказывания в сложные используя логические операции: ¬ (отрицание),→ (импликация), ↔(эквиваленция), ˄ (конъюнкция),˅ (дизъюнкция);
4. подсчитать количество всех возможных переборов N=2ⁱ (i - количество простых высказываний)
5. заполнить таблицу истинности для полученного выражения (-ий);
6. анализ полученной таблицы позволит получить ответ на поставленный вопрос.

Пример. Воспользуемся данным алгоритмом при решении логической задачи.

Пример разбирается фронтально.

Задача 1 «Кто виноват?»

1. По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов, Петров, Сидоров. Следствием установлено:

1. Если Иванов невиновен или Петров виновен, то Сидоров виновен.
2. Если Иванов невиновен, то Сидоров невиновен. Виновен ли Иванов?

2. Выделим простые высказывания:

А – Иванов виновен;

В - Петров виновен;

С - Сидоров виновен.

3. Запишем выражения соответствующие условию задачи:

1. (¬А ˅ В)→ С;
2. ¬А → ¬В.

В условии задачи говорится, что Следствием установлено, а это значит, что оба эти выражения истинны, и их можно объединить в одно с помощью операции конъюнкция. Окончательно получим:

 F(А,В,С) = ((¬А ˅ В)→ С) ˄ (¬А → ¬В).

4. Подсчитаем количество всех возможных переборов N=2ⁱ (i=3), отсюда N=2³=8
5. Составим таблицу истинности:

6. Решить задачу это значит указать при каких значениях А это сложное высказывание истинно. И если хотя бы в одном случае F=1 при А=0 (Иванов невиновен), то у следствия недостаточно фактов, чтобы обвинить Иванова. Из таблицы видно, что сложное высказывание истинно  только когда А – истинно, т.е. Иванов виновен в преступлении.

Использование табличного процессора для решения логических задач.

В состав встроенных функций Excel входят и логические функции, что позволяет более широко использовать табличный процессор для решения логических задач.

Рассмотрим решение примера №1 в программе Excel. Учитель напоминает логические функции необходимые для нахождения значений логических выражений.

Ключевые ситуации (которые обучающиеся должны уметь делать с учетом полученного содержания).

Практическая работа. Задача №1 решается по алгоритму с самопроверкой.

Обучающиеся получают задачу, работают в парах начиная с 3 пункта алгоритма. Проверку осуществляют у учителя, каждого этапа алгоритма. Учитель координирует действия обучающихся по необходимости.

Задача №1  «Финансовый прогноз».

1. Три подразделения - А, В, С - торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:

1. А получит максимальную прибыль только тогда, когда получат максимальную прибыль В и С.
2. Либо А и С получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат.
3. Для того чтобы С получило максимальную прибыль, необходимо чтобы и В получило максимальную прибыль.

По завершении года оказалось, что одно из трех предположений ложно. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль?

2. Выделим простые высказывания:

А – (А получит максимальную прибыль);

В – (В получит максимальную прибыль);

С – (С получит максимальную прибыль).

3. Запишите самостоятельно прогнозы, высказанные экономистами на языке математической логики и сравните полученные формулы:

1. F1=А → В ˄ С;
2. F2=А ˄ С ˅ ¬А ˄ ¬С;
3. F3=С → В.

4. Подсчитайте количество всех возможных переборов (8)

5. Составьте таблицу истинности для F1, F2, F3 и сравните полученный результат.

6.         Проанализируйте условие задачи. Какой из прогнозов оказался ложным? (Эта ситуация соответствует четвертой строке таблицы).

Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль? ( В и С получат максимальную прибыль).

Задача №2 решается по алгоритму самостоятельно и проверяется с использованием табличного процессора.

Задача 2. «Вступительные экзамены».

Перед сдачей вступительного экзамена в институт Миша предполагал, что

1. если он сдаст математику, то информатику он сдаст только при условии, что не завалит диктант;
2. не может быть, что он завалит и диктант и математику;
3. достаточное условие завала по информатике – это двойка по диктанту.

После сдачи экзаменов оказалось, что из трех высказанных предположений только одно было ложным. Как Миша сдал экзамены?