Музыка и математика

Пифагор (VI в. до н.э.)

Первым обнаружил математические закономерности в музыкальных интервалах. Установил, что consonant интервалы соответствуют простым числовым отношениям (октава - 2:1, квинта - 3:2, кварта - 4:3).

Средневековье

Музыка входила в квадривиум - четыре "математических" искусства наряду с арифметикой, геометрией и астрономией.

Эпоха Возрождения

Композиторы использовали математические пропорции (золотое сечение) для построения музыкальной формы.

И.С. Бах

Использовал математические принципы в построении фуг и других контрапунктических форм.

XX век

Появление додекафонии и серийной техники, основанных на математических permutations.

Современность

Цифровая обработка звука, алгоритмическая композиция, спектральный анализ.

Интервал

Соотношение частот

Математическое выражение

Октава

2:1

f × 2

Квинта

3:2

f × 3/2

Кварта

4:3

f × 4/3

Большая терция

5:4

f × 5/4

Малая терция

6:5

f × 6/5

Проблема

Чистые квинты (3:2) и октавы (2:1) не сходятся математически: (3/2)^12 ≠ 2^7

Решение

Равномерное деление октавы на 12 равных полутонов с соотношением частот 2^(1/12)

Математическая формула

f_n = f_0 × 2^(n/12), где n - количество полутонов от исходной ноты

Историческое значение

Позволило свободно модулировать между тональностями, что стало основой западной музыки

Длительности нот

Представляют собой дроби от целой ноты: половинная (1/2), четвертная (1/4), восьмая (1/8) и т.д.

Тактовые размеры

Математические дроби, где числитель - количество долей, знаменатель - длительность каждой доли

Полиритмия

Одновременное сочетание различных ритмических patterns, часто основанных на наименьшем общем кратном

Фрактальные ритмы

Некоторые традиционные африканские и азиатские ритмы демонстрируют фрактальные properties

Симметрия

Многие музыкальные формы построены на принципах симметрии (периоды, двух- и трехчастные формы)

Золотое сечение

Обнаруживается в произведениях Дебюсси, Бартока, Штокхаузена как точка кульминации

Числа Фибоначчи

Используются для построения музыкальных фраз и sections (например, в музыке Бетховена)

Групповая теория

Применяется в серийной и додекафонной музыке для transformations тоновых рядов

Цифровой звук

Дискретная математика и теория сигналов лежат в основе цифровой записи и обработки звука

Алгоритмическая композиция

Создание музыки с помощью математических алгоритмов и искусственного интеллекта

Акустика помещений

Математическое моделирование распространения sound waves в пространстве

Анализ музыки

Статистические методы и машинное обучение для анализа музыкальных произведений

Теория информации

Применяется для сжатия аудиоданных (MP3, FLAC и другие форматы)

Пифагор

Заложил основы музыкальной акустики и теории гармонии

Леонард Эйлер

Разработал математическую теорию музыкальной темперации

Жозеф Фурье

Его work по гармоническому анализу легла в основу спектрального анализа звука

Готфрид Лейбниц

Считал музыку "бессознательным упражнением души в арифметике"

Ианнис Ксенакис

Архитектор и композитор, применявший теорию вероятностей и теорию множеств в музыке

Расчет мензуры

Длина струны или трубки инструмента рассчитывается по формуле f = 1/(2L) × √(T/μ)

Синтез звука

Аддитивный синтез основан на представлении сложных волн как суммы простых синусоид

Транспозиция

Переход в другую тональность - математическая операция умножения частот

Спектральный анализ

Преобразование Фурье позволяет разложить сложный звук на составляющие частоты

Расчет мензуры

Длина струны или трубки инструмента рассчитывается по формуле f = 1/(2L) × √(T/μ)

Синтез звука

Аддитивный синтез основан на представлении сложных волн как суммы простых синусоид

Транспозиция

Переход в другую тональность - математическая операция умножения частот

Спектральный анализ

Преобразование Фурье позволяет разложить сложный звук на составляющие частоты