Практическое занятие 3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
план-конспект занятия

Практическое занятие 3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Скачать:


Предварительный просмотр:

Практическое занятие 3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

1. Внимательно изучите материал (устно).

Основной теоретический материал.

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений.

        Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_002.gif неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_003.gif, а свободными членами - числаhttp://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_004.gif

Первый индекс http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_006.gifвозле коэффициентов http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_007.gifуказывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_008.gif- при котором из неизвестным он находится.http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_005.gif

Если определитель матрицы http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_009.gifне равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_011.gif чисел http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_012.gif, которая приhttp://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_013.gif превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной  http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_014.gif Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае - несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_010.gif

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

                 Решение СЛАУ можно найти разными способами, например , по формулам Крамера (метод Крамера)

Теорема  Крамера.  Если определитель http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_015.gifсистемы http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_016.gif линейных алгебраических уравнений с http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_017.gif неизвестными отличен от нуля http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_018.gifто эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:   http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_019.gif http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_020.gif- определители, образованные с http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_021.gif заменой http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_022.gif-го столбца, столбцом из свободных членов.

Если http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_023.gif, а хотя бы один из http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_024.gif отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_025.gif, то СЛАУ имеет множество решений.

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_026.gif

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_027.gif http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_028.gif

Так как http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_029.gif, то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_030.gif http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_031.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_032.gif http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_033.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_034.gif http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_035.gif

По формулам Крамера находим неизвестные http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_036.gif

Итак http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_037.gifединственное решение системы.

Задача 2.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_038.gif

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_039.gif http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_040.gif

Найдем составляющие определителя:

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_041.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_042.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_043.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_044.gif

Подставим найденные значения в определитель http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_045.gif

Детерминант http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_046.gif, следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_047.gif

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_048.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_049.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_050.gif

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_051.gif

По формулам Крамера находим

http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_052.gif

Решение системы http://yukhym.com/images/stories/Slae/Slae1_053.gif

2. Выполните в тетради (письменно).

Решите  систему  уравнений  по  формулам  Крамера                                                                    

                                                                                                                   

          1)    

              2)  

              3)

                               

Критерии оценивания:

Работа оценивается на «3»,если:   самостоятельно полностью и верно решена одна из систем.

Работа оценивается на «4»,если:   самостоятельно полностью и верно решены любые две системы.

Работа оценивается на «5»,если:   самостоятельно полностью и верно решены три системы.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Использование табличного процессора MS Excel для численного решения систем линейных уравнений и вычисления определенного интеграла

Учебно-методическое пособие Использование табличного процессора MS Excel для численного решения систем линейных уравнений и вычисления определенного интеграла разработано для организации самостоятельн...

Презентация к уроку "Решение систем линейных уравнений"

Презентация к уроку по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики по теме "Решение систем линейных уравнений". Тема расчитана на 4 учебных часа....

Решение систем линейных уравнений методами линейной алгебры

Решение систем линейных уравнений методами линейной алгебры...

Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Метод Крамера решения систем линейных уравнений....

Практическое занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Практическое занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса....

Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера.

Практическая работа №6. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера.Для студентов 2 курса специальности "Компьютерные системы и комплексы"...