Презентация “Элементы комбинаторики и теории вероятностей” 1 часть
презентация к уроку

Слайд 1

Автор Гончарова Светлана Павловна Преподаватель математики Краснодарский колледж электронного приборостроения Презентация «Элементы комбинаторики. Теория вероятностей и математическая статистика»

Слайд 2

Содержание: Элементы комбинаторики. Вероятность события. Формула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона. Дискретная случайная величина. Числовые характеристики ДСВ, законы распределения. Непрерывная случайная величина. Числовые характеристики НСВ , законы распределения . Задачи и методы математической статистики.

Слайд 3

2 Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями. Различают три группы основных видов соединений: размещения, перестановки и сочетания. Задачи, в которых производится подсчёт возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики, занимающейся их решением, называется комбинаторикой . 1. Размещения. Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m обозначается символом вычисляется по формуле 2. Перестановки. Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком их расположения. Число перестановок из n элементов обозначается символом Перестановки представляют частный случай размещений из n элементов по n в каждом, т.е. ли ( 2 ) Число всех перестановок из n элементов равно произведению последовательных чисел от 1 до n включительно. Произведение обозначают символом n! ( читается « n -факториал» ) , причём 0!=1, 1!=1. Поэтому (3) и (4) (5) Элементы комбинаторики

Слайд 4

Пример. Вычислить: 1) 5!+6!; 2) Пример. Перед выпуском группа учащихся колледжа в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек? Решение. Группа учащихся составляет множество элементов, участвовавших в обмене фотокарточками, следовательно, n = 30. Каждое размещение есть передача фотокарточки одним учащимся другому. Поэтому m = 2. Таким образом, всех фотокарточек было Пример. Сколькими способами можно выбрать пять человек на пять должностей из восьми кандидатов? Пример. Сколько существует способов рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Слайд 5

3 . Сочетания. Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обозначается (6) При решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний: (7) ( по определению полагают, что ) ; ( 8 ) ( 9 ) Пример. Сколькими способами можно выбрать в группе из 25 учащихся 3 человека на городскую математическую олимпиаду? Решение. Пусть имеется n различных объектов. Чтобы найти число сочетаний из n объектов по m , будем выбирать комбинации из m объектов всеми возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений). Так как n = 25, m = 3, то число способов выбора 3 человек на олимпиаду из 25 учащихся рассчитаем следующим образом, Пример. 1 ) Пример. Сколькими способами можно разделить группу в 12 человек так, чтобы в одной группе было 5 человек, а в другой 7?

Слайд 6

Правила суммы и произведения При решении задач комбинаторики используют следующие правила : Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран n способами, то выбрать либо A , либо B можно m+n способами . Правило произведения: Пусть объект A выбирается m способами, объект B выбирается n способами, то оба объекта можно выбрать m*n способами , то есть количество способов просто умножается друг на друга. Рассмотрим простой пример: сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть двузначным ? Можно составить 90 чисел – первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа (объект В) можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается 9*10=90 чисел . Следующий пример – в чемпионате мира участвуют 18 команд по футболу. Сколькими способами можно распределить золотые, серебряные и бронзовые комплекты? Ясно, что золотые медали может получить любая из команд, значит золотого призера (объект А) можно выбрать 18 способами. Остается два комплекта и 17 команд. Серебряным медалистом может стать одна из 17 команд, а бронзовым – одна из 16 команд. Значит, серебряного и бронзового медалиста можно выбрать 17 и 16 способами. Итого, три комплекта медалей могут распределиться 18*17*16= 4896 способами. можно

Слайд 7

1. Случайные события. Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытаний называется событием. Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, - невозможным. События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании. События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны. Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события. Вероятность события

Слайд 8

2. Классическое определение вероятности. Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. P(A) = m/n (10) Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. Невозможному событию соответствует вероятность P(A) = 0, а достоверному – вероятность P(A) = 1. Пример. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный. Решение. Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Получим P(A) = 200/1000 = 0,2. Пример. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 чёрных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется чёрным. Пример. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 чёрных шара, вынимают наудачу два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся чёрными. Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении двух чёрных шаров, через А. Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов по 2: Число случаев m, благоприятствующих событию А, составляет m Находим вероятность появления двух чёрных шаров: P(A) = 2 8/190 = 0,147 .

Слайд 9

Пример. В партии из 18 деталей 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными. Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5: Число выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2: Число выборки трёх качественных деталей из 14 имеющихся равно числу сочетаний из 14 по 3: Число исходов m , благоприятствующих событию А, равно Искомая вероятность события А равна: P(A) = 2184/8568 = 0,255 .

Слайд 10

3. Теорема сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных (никакие два из них не могут произойти в данном опыте вместе) событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В); Теорема сложения вероятностей совместных событий . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А+В) = Р(А) + Р(В ) – Р(АВ). Для трёх совместных событий имеет место формула Событие противоположное событию А (т.е. ненаступления события А), обозначают Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: Р(А) + Р( ) = 1.

Слайд 11

Пример. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причём пять из них стандартные. Рабочий берёт наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А ). Решение. 1 способ. Одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдёт любое из трёх несовместных событий: В – одна деталь стандартная, две нестандартные; С - две детали стандартные, одна нестандартная; D – три детали стандартные. Таким образом, событие А можно представить в виде суммы трёх событий: A = B + C + D. По теореме сложения имеем P(A) = P(B) + P(C) + P(D) . Находим вероятность каждого из этих событий Сложив найденные величины, получим P(A) = +

Слайд 12

2 способ. События А (хотя бы одна из трёх взятых деталей оказалась стандартной) и (ни одна из взятых деталей не оказалась стандартной) являются противоположными; поэтому Р(А) + Р( ) = 1 или Р(А) = 1 - Р( ). Вероятность события составляет Р( ) = Следовательно, искомая вероятность есть Р(А) = 1 - = Пример. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо 5, либо тому и другому одновременно. Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а В – в том, что это число кратно 5. Найдём Р (А+В). Так как А и В совместные события, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Всего имеется 90 двузначных чисел: 10,11, …, 98,99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствует наступлению события А ); 18 – кратными 5 (благоприятствует наступлению события В ) и 6 – кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствует наступлению события АВ ). Таким образом, Р(А) = 30/90 = 1/3, Р(В) = 18/90 = 1/5, Р(АВ) = 6/90 = 1/15, Р(А+В) = 1/3 + 1/5 – 1/15 = 0,467.

Слайд 13

События А, В, С, … называются независимыми в совокупности , если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации. Вероятность наступления события А , вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается (А ) или Р (А/В). 4. Теоремы умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ ) = Р(А) · Р(В ). Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности , вычисляется по формуле Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго: Р(АВ ) = Р(А) · ( В ) = Р(В) · ( А ).

Слайд 14

Пример. В одной урне находятся 4 белых и 8 чёрных шара, в другой – 3 белых и 9 чёрных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Решение. Пусть А – появление белого шара из первой урны, а В - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события А и В независимы. Найдём Р (А) = 4/12 = 1/3, Р (В) = 3/12 = 1/4. По формуле Р(АВ) = Р(А) · Р(В ) получим Р(АВ) = Пример. В ящике находятся 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берёт наугад одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными. Решение. Событие А – первая взятая деталь стандартная; В - вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет Р (А) = 8/12 = 2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события В , равна (В) = 7/11. Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий: Р(АВ) = Р(А) · (В) =

Слайд 15

Формула полной вероятности Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий которые образуют полную группу несовместных событий , то вероятность события А вычисляется по формуле Эта формула называется формулой полной вероятности . Рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами . Тогда по формуле полной вероятности

Слайд 16

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез По теореме умножения вероятностей откуда Аналогично, для остальных гипотез Полученная формула называется формулой Байеса ( формулой Бейеса ). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями , тогда как - априорными вероятностями .

Слайд 17

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта. Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям. Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях : Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность :

Слайд 18

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком. Решение . Возможны три гипотезы : - на линию огня вызван первый стрелок , - на линию огня вызван второй стрелок , - на линию огня вызван третий стрелок. Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен , то В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны : П о формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта :

Слайд 19

Повторные испытания. Формула Бернулли. При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли . Примеры повторных испытаний: бросание монеты или игрального кубика (вероятности выпадения герба/решки или определенной цифры одинаковы в каждом броске); извлечение из урны шара при условии, что вынутый шар после записи его цвета кладется обратно в урну (то есть состав шаров в урне не меняется и не меняется вероятность вынуть шар нужного цвета); включение приборов (ламп, станков и т.п.) с заранее заданной одинаковой вероятностью выхода из строя каждого; повторение стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой и т.д.

Слайд 20

Пусть в результате испытания возможны два исхода : либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой p , т.е. p = P(A), а вероятность противоположного события ( событие A не наступило ) – буквой Тогда вероятность того, что событие A появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения .

Слайд 21

Пример 1. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6 (ничьи во внимание не принимаются ). Решение. Так как шахматисты по условию равносильные, а ничьи не учитываются, считаем, что выигрыш и проигрыш может наступить с равной вероятностью. Поэтому Применяем формулу Бернулли и получаем : Нужно вычислить две вероятности, для каждой из которых применяем формулу (1 ). В первом случае n=4, k=2, а во втором – n=6, k=3. Получаем . Число 0,375 больше, чем 0,313. Поэтому вероятнее выиграть 2 партии из 4 . Пример 2. Играет два равных по силе игрока, какая вероятность выше: выиграть одну партию из трех, или три из пяти.

Слайд 22

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p. Производится n выстрелов. Найти вероятность того, что цель будет поражена в точности k раз (будет k попаданий). Применяя формулу Бернулли получаем: Пример 3. Произвели 7 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,705. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 5 попаданий . Решение. Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (выстрелах по мишени), всего производится n=7 выстрелов, вероятность попадания при каждом p=0,705, вероятность промаха q=1-p= 1-0,705=0,295. Нужно найти, что будет ровно k=5 попаданий. Подставляем все в формулу (1) и получаем : 21 Пример 4. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,3. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах мишень будет поражена от трех до шести раз.

Слайд 23

Куплено n лотерейных билетов. Вероятность выигрыша для каждого билета одинакова и равна p (проигрыша – q=1-p). Найти вероятность того, что окажется ровно k выигрышных билетов (и соответственно , n-k без выигрышных билетов ). Применяя формулу Бернулли получаем: (1) Пример 5. Вероятность того, что на один лотерейный билет выпадет выигрыш, равна 0,2. Куплено 5 билетов. Найти вероятность того, что выиграют 2 билета . Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (покупках билетов), всего куплено n=5 билетов, вероятность выигрыша p=0,2, вероятность проигрыша q= 1-p = 1 – 0,2 = 0,8. Нужно найти, что будет ровно Нужно найти, что будет , если k=2 . Подставляем все в формулу (1) и получаем : =10 = 0,205 Пример 6. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,3. Вы купили 8 билетов. Найти вероятность того, что а) хотя бы один билет выигрышный; б) менее трех билетов выигрышные.

Слайд 24

Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью p, q = 1 – p ( условия схемы Бернулли ) . Обозначим как и раньше, через вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях. К роме того, пусть – вероятность того, что число появлений события А находится между . Локальная теорема Лапласа. Если n – велико , а р – отлично от 0 и 1, то , где - функция Гаусса. Интегральная теорема Лапласа. Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то где - функция Лапласа. Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами , которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций : . п ри больших .

Слайд 25

Пример 1 . Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества. Решение. По условию откуда По таблицам найдем Искомая вероятность равна : Пример 2 . В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий: В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий; С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20 Решение. Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А – изделие бракованное – с вероятностью Находим Можно применять формулы Лапласа : Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.

Слайд 26

Задача 1. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков . Задача 2. Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна p. Найти вероятность, что за смену откажут m элементов. p=0,024; m=6. Задача 3. На конвейер за смену поступает 300 изделий. Вероятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна, равна 0,75. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно 240 . Задача 4. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8 Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень ровно 75 раз. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.

Слайд 27

Пример 3 . Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане? Решение. Будем считать, что событие A произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи Нас интересует такое наименьшее число посетителей m , что вероятность одновременного прихода не менее чем m туристов из числа n=100 с вероятностью успеха p=0,5 приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е . 1-0,99=0,01. Таким образом, нас интересует такое наименьшее число m, что Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа . В нашем случае : m - неизвестно , Тогда Используя таблицы для функции , находим , Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.

Слайд 28

Задача 5 . Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз . Задача 6 . Вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Произведено 500 деталей. Какое число годных деталей вероятнее получить: а) менее 390; б) от 390 до 410 ? Задача 8. Вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Произведено 500 деталей. Какое число годных деталей вероятнее получить: а) менее 390; б) от 390 до 410?

Слайд 29

При большом числе испытаний n и малой вероятности p формулой Бернулли пользоваться неудобно, например , вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n- велико ) событие произойдет k раз , используют формулу Пуассона : Здесь обозначает среднее число появлений события в n испытаниях. Эта формула дает удовлетворительное приближение для События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими , так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001 ). При больших np рекомендуется применять формулы Муавра-Лапласа. Пример 4. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента. Решение. По условию дано Искомая вероятность после подстановки в формулу :

Слайд 30

Пример 9 . Вероятность того, что ПК дает сбой при нажатии клавиши, равна 0,0002. Определить вероятность того, что при наборе текста, состоящего из 5000 знаков, не произойдет ни одного сбоя . Пример 10 . Автомат по продаже воды не срабатывает в среднем в одном случае из тысячи. Какова вероятность того, что он не сработает в трех случаях из ста . Пример 11 . Вероятность сбоя в работе банкомата при каждом запросе равна 0,0019. Банкомат обслуживает 2000 клиентов за неделю. Определить вероятность того, что при этом число сбоев не превзойдет 3.

Слайд 31

Дискретная случайная величина Дискретная случайная величина задается своим рядом распределения: перечнем значений , которые она может принимать, и соответствующих вероятностей . Количество значений случайной величины может быть конечным или счетным. Для определенности будем рассматривать случай Тогда табличное представление дискретной случайной величины имеет вид : При этом выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице Графически ряд распределения можно представить полигоном распределения (или многоугольником распределения ). Для этого на плоскости откладываются точки с координатами и соединяются по порядку ломаной линией. . . . . . . . . . . . .

Слайд 32

Числовые характеристики ДСВ Математическое ожидание: Свойства математического ожидания: Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной : M Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: . Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий : . Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий : . Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С , то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число : . Дисперсия : Среднее квадратическое отклонение : Коэффициент вариации :

Слайд 33

Функция распределения ДСВ По ряду распределения можно составить функцию распределения дискретной случайной величины . Эта функция задает вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее некоторого числа x. Свойства функции распределения ДСВ: Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку Свойство 2. - неубывающая функция, т.е . равна приращению функции распределения на этом интервале : Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю .

Слайд 34

Пример 1 . Случайная величина X задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу

Слайд 35

Задача 1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения : Построить многоугольник распределения и функцию распределения Вычислить : Решение. Строим многоугольник распределения 1 2 3 4 5 6 7 0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16 1 2 3 4 5 6 7 0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16

Слайд 36

Используемая литература и источники: Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. – М.: Высшее образование, 2008. – 479 с. Прохоров Ю.В., Прохоров А.В. Курс лекций по теории вероятностей и математической статистике. – Издательство: МЦМНО, 2019. – 144 с. Семенов В. А. С30 Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Стандарт третьего поколения. – СПб.: Питер , 2013. — 192 с. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Е.А. Коган, А.А. Юрченко. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 250 с. https://www.matburo.ru/st_subject .