Презентация "Функции многих переменных"
учебно-методическое пособие

Слайд 1

Функции нескольких переменных Понятие функции одной переменной легко обобщается на случай двух и большего числа аргументов. В случае функции двух переменных будем рассматривать множество упорядоченных пар ( x,y ), где числовые значения x и y принадлежат множествам x∈X , y∈Y . Если задан закон, согласно которому каждой паре ( x,y ) соответствует единственное числовое значение z, то говорят, что задана функция двух переменных . Обычно такая функция обозначается в виде z=z( x,y ), z=f( x,y ), z=F( x,y ) и т.д. Аналогичным образом определяется функция n переменных .

Слайд 2

Геометрический смысл функции 2-х переменных . Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например , – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью , но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (прямые) либо даже единственную точку.

Слайд 3

Частные производные первого порядка Для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производной функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы. Например, для функции двух переменных z=f( x,y ) рассматриваются частные производные по переменной x и по переменной y. Они обозначаются следующим образом:

Слайд 4

Каждая частная производная (по x и по y ) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной : ; Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной , считая при этом другую переменную постоянной (константой).

Слайд 5

Пример 1. Найти частные производные функции Решение. Находим частную производную по переменной "икс ": ; Находим частную производную по переменной "игрек ": ). Пример 2. Дана функция Найти частные производные и и вычислить их значения в точке А (1; 2 ) . Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции . При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции, а второго – как производная постоянной :

Слайд 6

Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2) : Пример 3. Найти частные производные функции . Решение : Находим

Слайд 7

Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных. Если каждому набору значений ( x ; y ; ...; t ) независимых переменных из множества D соответствует одно определённое значение u из множества E , то u называют функцией переменных x , y , ..., t и обозначают u = f ( x , y , ..., t ). Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы . Пример 4. Найти частные производные функции Решение. 4y; Найти частные производные функции: u

Слайд 8

Полный дифференциал Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так: Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством + Пример 6 . Найти полный дифференциал функции . Решение. Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области . Пример 10. Найти полный дифференциал функции трёх переменных x , y , z .

Слайд 9

Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Определение производной по направлению. Предел отношения при и обозначается Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению , следующая : . Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных , причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной .

Слайд 10

Примеры нахождения производной по направлению . Пример 1. Найти производную функции в точке по направлению вектора . Решение. Найдём частные производные функции в точке : = =- 2; = = 1; = = 4. Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов : = Следовательно, Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле : = Пример 2. Найти производную функции в точке - точка с координатами (3;0).

Слайд 11

Градиент функции Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста. Как найти градиент? Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , этой функции в соответствующей точке : То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей , в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная. Для градиента функции двух переменных формула короче: Пример 4. Найти градиент функции Решение. Найдём частные производные функции в точке : (2;4)= 2 ; (2;4)= .

Слайд 12

Двойные интегралы – это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как z = f ( x , y ). Записывается двойной интеграл так : Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x , а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y . Вычислить двойной интеграл - значит найти число, равное площади упомянутой фигуры D . В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D - криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше. Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D , которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.

Слайд 13

В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D - криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше. Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D , которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла. Случай прямоугольной области : Случай криволинейной области :

Слайд 14

А это уже решение знакомых нам определённых интегралов , в которых заданы верхний и нижний пределы интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D , будут пределами интегрирования для обычных определённых интегралов . Сведение двойного интеграла к повторному Случай прямоугольной области Пусть дана функция двух переменных f ( x , y ) и ограничения для D : D = {( x ; y ) | a ≤ x ≤ b ; c ≤ y ≤ d }, означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают прямые x = a и x = b , а снизу и сверху - прямые y = c и y = d . Здесь a , b , c , d - числа. Пусть для такой функции существует двойной интеграл Чтобы вычислить этот двойной интеграл , нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала - внутренний (правый) интеграл, затем - внешний (левый).

Слайд 15

Пример 1. Вычислить двойной интеграл . Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу . На чертеже строим область интегрирования : Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем . Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого ):

Слайд 16

Пример 2. Вычислить двойной интеграл Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу На чертеже строим область интегрирования : Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Слайд 17

Пример 3. Вычислить двойной интеграл если область D ограничена прямыми . Пример 4. Вычислить двойной интеграл если область D ограничена прямыми . Случай криволинейной или треугольной области Пусть снова дана функция двух переменных f ( x , y ), а ограничения для D : уже несколько другого вида : D = {( x ; y ) | a ≤ x ≤ b ; ≤ y ≤ } . Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае прямолинейной области - прямые x = a и x = b , но снизу и сверху - кривые, которые заданы уравнениями и Пусть для такой функции также существует двойной интеграл Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид .

Слайд 18

Здесь пределы интегрирования a и b - числа, а и – функции. В случае треугольной области одна из функций или - это уравнение прямой линии . Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем - левый определённый интеграл. Точно так же можно поменять ролями x и y . Тогда повторный интеграл будет иметь вид . Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала - внутренний (правый) интеграл, затем - внешний (левый ) . Пример 5. Вычислить двойной интеграл где D = {( x ; y ) | 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ x-1 } . Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу . На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная :

Слайд 19

Пример 5. Вычислить двойной интеграл где D = {( x ; y ) | 0 ≤ x ≤ 2 ; -4 ≤ y ≤ 4- } . Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу На чертеже строим область интегрирования: Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем : . Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого ):

Слайд 20

Смена порядка интегрирования Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования. Тогда, если левый интеграл у нас по переменной x , а правый - по y , то после смены порядка интегрирования всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для "нового" игрека нужно "позаимствовать" у "старого" икса, а пределы интегрирования для "нового" икса получить в виде обратной функции , разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека. Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла Решение. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет левым, а интеграл по иксу - правым. Пределы интегрирования для "нового" игрека позаимствуем у "старого" икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний - единице. Пределы интегрирования для "старого" игрека заданы уравнениями Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса : Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так :