Определитель 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей.
план-конспект занятия

Определитель 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей.

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

 .                     (1.1)

Определение 1. Определителем или детерминантом второго порядка, соответствующим матрице (1.1), называется число, равное разности произведений элементов стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали (определитель обозначается  или detA).

.

Пример 1.3.  1) ,    2) .

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов:            (1.2)

Определение 2. Определителем или детерминантом третьего порядка, соответствующим матрице (1.2),  называется число равное

Структура этого выражения помогает понять наглядное правило Саррюса. Припишем к элементам определителя справа первый и второй столбцы определителя. Три произведения, соответствующие прямым, параллельным главной диагонали, надо взять со знаком плюс, а остальные три произведения, соответствующие прямым, параллельным побочной диагонали, надо взять его со знаком минус.

Пример 1.  

Свойства определителей

10. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

     ,          

20. Перестановка двух строк или столбцов определителя равносильна умножению его на (-1).

30. Если определитель имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю.

40. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

         ,        

50. Если все элементы некоторого столбца или строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

60. Если элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

70. Если каждый элемент любого столбца или любой строки определителя представлен в виде двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей.

, аналогично для определителей 2-го порядка.

80. Если к элементам некоторой строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на любой общий множитель λ, то величина определителя не изменится.

Определение 3. Минором  элемента  определителя называется определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент, т.е.    i – ой строки и  j – го столбца.

Определение 4. Алгебраическим дополнением  элемента  определителя называется минор этого элемента, умноженный на , т.е. .

Для вычисления алгебраических дополнений элементов определителей третьего порядка знаки легко запомнить по следующей схеме: .

Например:          ;

90. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Например: =.

100. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или строки равна нулю.

 Например:  или    .