Системы линейных уравнений
план-конспект занятия
Предварительный просмотр:
Перед тем, как перейти к написанию лекции. ОБЯЗАТЕЛЬНО посмотрите видеоурок. для того, чтобы понимать способы решения ЛУ.
Системы линейных уравнений
Определение 1. Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
где числа aij – называются коэффициентами системы, числа bij – свободными членами.
Определение 2. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
В последенем случае каждое решение системы называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если совместна, найти ее общее решение.
1.2 Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:
Матрица А = , составленная из коэффициентов при неизвестных хi (i = 1,2,…n), называется матрицей системы.
Матрица B = , составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, называется расширенной матрицей.
Определение 4. Матрица А называется матрицей треугольного вида, если все ее элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю.
Например, А = или В = - матрицы треугольного вида.
Метод Гаусса удобно использовать при решении систем с большим количеством уравнений. Этот метод заключается в последоваетльном исключении неизвестных. Систему линейных уравнений приводят к системе с треугольной матрицей с помощью эквивалентных преобразований. Затем из полученной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.
К эквивалентным преобразованиям относят следующие:
- умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число, отличное от нуля.
- Сложение и вычитание уравнений.
- Перестановка уравнений.
- Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты равны нулю.
Пример 1
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Выпишем расширенную матрицу системы:
Для упрощения вычислений поменяем первую и вторую строки местами:
Умножим первую строку на –3 и сложим ее со второй строкой. Первую строку умножим на –4 и сложим с третьей сторокой, получим эквивалентную матрицу:
Умножим вторую строку на –1:
Умножим вторую строку на 5 и сложим с третьей строкой:
Разделим третью строку на –11:
Получили матрицу треугольного вида (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Выпишем систему уравнений треугольного вида:
Ответ: х = -1, у = 3, z = 2
1.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Для решения систем линейных уравнений с большим количеством уравнений применяют метод Гаусса. Если же уравнений в системе не так много, то удобнее использовать метод Крамера. Этот метод основан на вычислении определителей.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
Составим определитель матрицы системы:
Заменим в определителе Δ первый столбик, соответствующий переменной х1, на столбец свободных членов b1, b2, …,bn, получим определитель Δх1:
Заменим в определителе Δ второй столбик, соответствующий переменной х2, на столбец свободных членов b1, b2, …,bn, получим определитель Δх2:
Аналогично поступаем с третьим, четвертым, …, n –ым столбцами определителя Δ. В итоге получим n+1 определитель. Для того, чтобы найти неизвестные х1, х2 , …, хn используем формулы Крамера:
, , …,
При вычислении определителей могут возникнуть следующие случаи:
- если определитель матрицы системы Δ отличен от 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение;
- если определитель матрицы системы Δ равен 0, а среди определителей Δх1, Δх2, …, Δхn есть хотя один отличный от 0, то система линейных уравнений не имеет решений;
- если определитель матрицы системы Δ равен 0 и все определители Δх1, Δх2, …, Δхn равны 0, то система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.
Пример 3.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Выпишем определитель матрицы системы Δ и вычислим его:
Так как Δ0, то система имеет единственное решение.
Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δх :
Заменим в определителе Δ второй столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δу :
Найдем значения переменных х и у по формулам Крамера:
,
Ответ: (-3;1)
Пример 4.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Выпишем определитель матрицы системы Δ и вычислим его:
Так как Δ0, то система имеет единственное решение.
Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δх :
Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δу :
Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δz :
Найдем значения переменных х , у и z по формулам Крамера:
, ,
Ответ: (-1; 1; -2)
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация "Методы решения системы линейных уравнений"
Данная презентация может быть использована на учебном занятии по изучению методов решения системы трёх линейных уравнения с тремя неизвестными, а также на практических занятиях по закреплению данного ...
Матрицы и определители. Системы линейных уравнений.
Матрицы и определители. Системы линейных уравнений....
"Системы двух линейных уравнений с двумя переменными" - тест
Тест предназначен для проверки знания теории по теме "Системы двух линейных уравнений с двумя переменными" на уроках алгебры в 7 классе...
Решение систем линейных уравнений методами линейной алгебры
Решение систем линейных уравнений методами линейной алгебры...
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Методическая разработка по теме "Решение систем линейных уравнений методом Гаусса"...
Контрольная работа №1 «Системы линейных уравнений».
Контрольная работа №1 «Системы линейных уравнений»....
Практическое занятие "Линейные уравнения и системы линейных уравнений"
Линейные уравнения и системы линейных уравнений...