План-конспект открытого урока "Решение показательных уравнений"
план-конспект урока по теме

Ход урока.

1. Проверка домашнего задания (фронтальный опрос):

1. Какая функция называется показательной?

Функция – это функция вида , где фиксированное число а > 0 и х – любое действительное число.

2. Какие два вида показательных функций существует?

      а > 1 и а < 1.

3. Как ведет себя функция при различных а?

Рисунок на плакате:

А) Если а > 1, показательная функция строго монотонно возрастает на R,

а при а < 1 строго монотонно убывает.

Б) Если а > 1, то  и ;

     Если а < 1, то  и .

В) Показательная функция непрерывна на R.

4. Задайте функцию формулой, график которой изображен на доске.

       и

5. Назовите правила оперирования показательными выражениями.

     ;   ; ;   ;   .

2. Устные упражнения:

1. Представьте в виде произведения степеней:

 ;   ;   ;   ;   .

Ответы:  ;   ;   ;      .

2. Вычислить:

;        

Ответы:   ;         .

3. По графику найдите значения переменной х, при которых верны равенства:

        Ответы:    х = 3

                           х = 2

                           х = 0

                         х = -1

                       решений нет

                          решений нет

3. Изучение нового материала.

Итак, с помощью графика функции   вы решили простейшие показательные уравнения.

Запишем тему уроков: "Показательные уравнения".

   Уравнение, где переменная содержится в показатели степени, называется показательным.

Например,

Решение показательных уравнений в основном сводится к решению уравнения            

, где  

Известно, что показательная функция  при  и  либо возрастает, либо убывает. Поэтому каждое свое значение у она принимает только при одном значении аргумента х. Следовательно, из равенства  , где  и  - некоторые функции, следует равенство  Этим утверждением и руководствуются при решении показательных уравнений.

Рассмотрим решение основных видов уравнений.

1. Уравнения вида  

Воспользуемся определением нулевой степени: . Исходное уравнение  равносильно уравнению . Из этого уравнения следует равенство .

Решим несколько примеров.

Пример 1. Решите уравнение  .

Решение. ;   ;   ; ;   .

                                                                                               О т в е т: 2.

Пример 2.  Решите уравнение .

Решение.   ;   ;   .          По формуле  корней квадратного уравнения находим  , отсюда                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

                                            О т в е т: 2;  3.

2. Уравнения вида                                                                                                                                    

Уравнение равносильно уравнению .

Пример 1.  Решите уравнение .

Решение.  ;   ;   ;   ;   .

О т в е т: 3.

 Пример 2. Решите уравнение .

Решение.  Представим числа 9 и 81 через степень с основанием 3:

 и .Тогда уравнение примет вид:  .Воспользовавшись свойством степени , приведем левую его часть к виду :

                                                                                                   О т в е т: 2,5.

3.  Уравнения вида

Уравнения вида , где - числовые коэффициенты,  решаются методом вынесения общего множителя за скобки.

Для этого среди степеней , как правило, выбирается степень с наименьшим показателем и выносится за скобки, затем вычисляется сумма, которая осталась в скобках. После этого число , стоящее в левой части уравнения, следует разделить на эту сумму.

В результате уравнение сводится к виду , причем   может быть и логарифмическим выражением.

Пример 1.  Решите уравнение

Решение. Показатель степени  меньше показателя степени , поэтому вынесем степень  как общий множитель за скобки.

Разделим обе части уравнения на 2, получим

В результате уравнение свелось к виду , где

Значит,

                                                        О т в е т:  4.

Пример 2.   Решите уравнение

Решение. Здесь  поэтому вынесем степень как общий множитель за скобки:

Разделим обе части уравнения на 7:

Так как , то   Значит,

                                                                                                   О т в е т:   4.

4.  Уравнения вида  

Особенностью этих уравнений является то, что у них разные основания степеней, а показатели степеней одинаковые.

Решение такого вида уравнений сводится к решению уравнений вида .

Для этого выражение, стоящее в левой части делится на выражение, стоящее в правой (или наоборот). Так как показатели степеней равны, то можно воспользоваться свойством степени  Тогда справа (или слева) останется единица.

   Пример 1.  Решите уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на :

Данное уравнение свелось к виду , решать которое мы уже умеем.

5. Уравнения вида  

Уравнения вида  , где  - числовые коэффициенты, решаются приведением показательного уравнения к квадратному путем замены выражения  новой переменной. После решения получившегося квадратного уравнения возвращаются к старой переменной и решают простейшее показательное уравнение.

Пример 1.  Решите уравнение

Решение.  Сделаем замену переменной.

Пусть  Тогда  Получим:

Так как , то подходят оба корня,  поэтому сделаем обратную замену:

1. если  то
2. если , то

                                                                       О т в е т:  0;  1.

Пример 2.  Решите уравнение

Решение.  Сделаем замену переменной. Пусть   Тогда  Получим:

Так как , то первый корень не подходит, поэтому

                                               О т в е т:  .

IV   Закрепление пройденного материала

1. Работа по карточкам (I и II вариант)

Определить к какому типу относятся данные уравнения (Приложение 1)

2. Решим уравнения из учебника Н.В.Богомолова "Практические занятия по математике":

 Стр. 64, №27(2,3)

       Ответ: 2;  6.

     Ответ: - 1; 3.

Стр.64, №28(1)

Ответ: 4.

Стр.64, №30(1)

Пусть

Сделаем обратную замену:

                                               - корней нет

                                               Ответ:

3. Решить тест.

Тестовые задания составлены по материалам ЕГЭ (Приложение 2).

4. Подведение итогов уроков.
5. Домашнее задание:

Каждый студент получает краткую методическую разработку, в которой еще раз подробно рассмотрены на примерах основные способы решения показательных уравнений и даны задания для самостоятельного решения (Приложение 3).  

План открытого урока по математике на первом курсе в группе 1-2ТА1

10.12.2009 г.

Преподаватель: Пересыпкина Е.В.

Тема урока: "Решение показательных уравнений"(2 часа)

Цели урока:

1. Использовать свойства показательной функции для решений показательных уравнений, выработать навыки решения уравнения вида , рассмотреть решение уравнений с помощью вынесения за скобки общего множителя и уравнений, сводящихся к решению квадратных.
2. Развитие у студентов логического мышления, умения устанавливать причинно-следственные связи, делать выводы.
3. Воспитание желания познавать новое, культуры общения, самоконтроля.

ТСО: 1. Наглядное пособие (плакат) с графиками показательной функции и  

              ее свойствами;

1. Учебные пособия для закрепления новой темы;
2. Карточки с дифференцированными заданиями для самостоятельной работы.

План урока.

1. Проверка домашнего задания (теоретический материал)
2. Устный счет
3. Объяснение нового материала:

         -  определение показательного уравнения

         -  основные способы решения показательных уравнений

         -  рассмотрение примеров на каждый способ решения

4.  Закрепление

5.  Подведение итогов

6. Домашнее задание.